1、3.3 垂径定理（1）,创设情境,引入新课,复习提问:,（）正三角形是轴对称性图形吗？,（）什么是轴对称图形,（）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？,如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。,有几条对称轴？,是,探究：,1、右图是轴对称图形吗？,2、图中有哪些相等的线段和相等的弧？,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对 的两条弧。,条件：,垂直于弦的直径,过圆心（直径、半径）,垂直于弦,结论：,平分弦,平分劣弧,平分优弧,垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧,垂径定理的几何语言叙述:,E,分一
2、条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.,过圆心（直径、半径）,垂直于弦,平分弦,平分劣弧,平分优弧,垂径定理的几个基本图形,深入理解：,看下列图形，是否能使用垂径定理？,O,作法：, 连结AB., 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点,C,D,A,B,E,巩固：,1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB 于E，则下列结论中不成立的是（ ）,A、COE=DOE,B、CE=DE,C、OE=AE,C,弦心距：圆心到圆的_叫弦心距如图331所示，OE是弦AB的弦心距,一条弦的距离,O,A,B,E,圆心到弦的距离、半径、弦的一半构成直角 三角形，便将问题转化为直角
3、三角形的问题。,半径,半弦,弦心距,想一想：在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？,答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短; 弦心距越短,所对应的弦就越长.,C,A,B,O,D,.,1、如图，在O中，弦AB的长为8cm，OEAB于E，OE=3cm，求O的半径。,O,A,B,E,例题2：,2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。,D,C,10,8,8,解:作OCAB于C,由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.516=8.由勾股定理得:,圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.,例如,上图中,OC的长就
4、是弦AB的弦心距.,想一想:排水管中水最深多少?,答:截面圆心O到水面的距离为6.,题后小结：,1作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；,2 半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：,1(知识点2)已知O的半径为5，弦AB的弦心距为3，则AB的长是 ( ) A3 B4 C6 D8,【对点自测】,D,2(知识点2)如图333所示，O的半径为5，弦AB8，OCAB于C，则OC的长等于_.,图333,【解析】 由垂径定理可得AC4，连结AO，如图所示，由勾股定理，得OC3.,3,3(知识点3)在直径为10 cm的O中，有长为5 cm的弦AB，则O到AB
5、的距离等于 ( ),D,.同心圆中，大圆的弦与小圆交于， 两点，判断线段与的大小关系，并说明 理由,与相等。理由如下：,解：,过点作AB于点，,则，,所以，,即,O,C,D,同心圆是指两个 圆的圆心相同,研 一 研,类型之一 垂径定理如图所示，在RtABC中，C90 ，AC5 cm，BC12 cm，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边于D，求AD的长,【点悟】 遇到与弦有关的问题往往要过圆心作垂直于弦的直径,E,1. 如图，O的直径CD10，弦AB8，ABCD，垂足为M，则DM的长为_.,8,2如图所示，AB为O的直径，且弦CDAB于E，CD16，AE4，求OE的长,3、如图，ACBO，AC=8c
6、m，BA=5cm，则O的半径为 ，AC的弦心距为 。,D,适度拓展,、已知O的半径为10cm，点P是O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ ）,(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm,D,10,8,6,最长的弦是 cm,整数弦长有 条,2如图，O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）A3OM5 B4OM5 C3OM5 D4OM5,A,B,O,M,适度拓展,例2 已知圆的半径为13 cm，两弦ABCD，AB24 cm，CD10 cm，则两弦AB，CD的距离是多少？,【点悟】(1)本题主要是渗透分类思想，培养严密性思维和解题
7、方法：确定图形分析图形数形结合解决问题；(2)学会作辅助线的方法,O,C,D,A,B,C,D,证明：如图所示作OGAB，分别交AB，CD和圆于点E，F，G.,E,F,G,类型之二 垂径定理在实际生活中的应用 例3 “圆材埋壁”是我国古代著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”答曰：“26寸” 题目用现在的数学语言表达是：“如图339所示，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为E，CE1寸，AB10寸，求直径CD的长”,【点悟】 解决此类问题的关键是要由这一实际问题抽象出弦心距、弦长一半及半径构成的直角三角形这一几何模型,小结：,1、垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形,2、在解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距,3、为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足过圆心；垂直于弦；则可得平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。,半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：,
