1、 59 第四章 二 阶 线性偏微 分方程 的分类 与总结 1 二 阶 方 程的分类 1 证明两个自 变量的 二阶线 性方程经 过可逆 变换后 它的类型 不会改 变，也 就是说， 经可逆 变换后 22 11 2 12 a a a = 的符号不变。 证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx = + + + + + 2 1 22 12 11 2 经可逆变换 = = ) , ( ) , ( y x y x x x0 ) , ( ) , ( y x D D x化为 f u c u b u a u a u a = + + + +
2、x xx 2 22 12 11 2 其中 + + = + + + = + + = 2 22 12 2 11 22 22 12 11 12 2 22 12 2 11 11 2 ) ( 2 y y x x y y x y y x x x y y x x a a a a a a a a a a a a x x x x x x x x所以 y x y x y x y x x y y x a a a a a a a x x x x x x 22 11 11 2 2 2 2 12 2 22 11 12 2 2 2 ) ( + + = = 2 2 22 11 12 2 2 2 2 2 22 11 ) , (
3、 ) , ( ) )( ( ) ( = = + y x D D a a a a a x y y x y x y x x x x x x 因 0 ) , ( ) , ( 2 y x D D x ，故 与 同号，即类型不变。 2 判定下述方程的类型 （1） 0 2 2 = yy xx u y u x （2） 0 ) ( 2 = + + yy xx u y x u （3） 0 = + yy xx xyu u （4） ) 0 1 0 0 0 1 (sgn 0 sgn 2 sgn = = + + x x x x xu u yu yy xy xx(5) 0 4 2 4 = + + + zz yy xz x
4、y xx u u u u u 解：(1) 0 2 2 = yy xx u y u x 因 0 2 2 = y x 当 0 , 0 y x 时 0 , 0 = x 或 0 = y 时 0 = 。 即在坐标轴上方程为抛物型， 其余处为双曲型。 （2） 0 ) ( 2 = + + yy xx u y x u 因 0 ) ( 2 + = y x ，在直线 0 = + y x 上， 0 = 为抛物型，其余处 0 ，为双曲型。 （4） 0 sgn 2 sgn = + + yy xy xx xu u yu 因 , sgn sgn 1 y x = 在坐标轴上 0 ，为双曲型；在一，三象限内 0 = ，为抛物型
5、；在二，四 象限内 0 ， 为双曲型。 （5） 0 4 2 4 = + + + zz yy xz xy xx u u u u u 因对应二次型为 2 3 2 2 3 1 2 1 2 1 4 2 4 x x x x x x x + + + 相应对称矩阵为 1 0 1 0 4 2 1 2 1其特征方程为 60 0 ) 4 4 6 ( 1 0 1 0 4 2 1 2 1 2 3 = + + = 记 ) 4 4 6 ( ) ( 2 3 + + = f 经计算得： 28 ) 6 ( 1 ) 5 ( , 4 ) 2 ( , 3 ) 1 ( , 4 ) 0 ( , 7 ) 1 ( = = = = = = f
6、 f f f f f说明 A 的三个特征值分别在区间 ( ) ( ) ( ) 6 , 5 , 2 , 1 , 0 , 1 中，故方程为双曲型的。 3 化下列方程为标准形式 （1） 0 2 5 4 = + + + + y x yy xy xx u u u u u （2） 0 2 2 2 = + + yy xy xx u y xyu u x （3） 0 = + yy xx yu u （4） 0 ) sin 3 ( cos 2 2 = + y yy xy xx yu u x xu u （5） 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 = + + + + + y x yy xx yu xu u y u x
7、解 ：（ 1） 0 2 5 4 = + + + + y x yy xy xx u u u u u 因 0 1 5 4 = = ，方程为椭圆型。 特征方程为 0 5 4 2 = + dx dy dx dy解之得 2 1 2 , ) 2 ( , 2 c ix x y c x i y i dx dy = + + = = 因此引变换 = = x y x x 2有 x + = u u x u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 ) 2 ( 2 x x x x x + + = + + + = u u u u u u u x u) 1 ( = x u y u2 2 2 2 2
8、 2 ) 1 ( ) 1 ( x x = = u u y u x x x x = + = u u u u y x u 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 代入化简即得： 0 2 2 2 2 = + + x u u u0 2 ) 2 ( 2 2 = + + yy yy xx u y xyu u x 因 0 2 2 2 2 = = y x y x , 方程为抛物型. 特征方程为 0 2 ) ( 2 2 2 = + y dx dy xy dx dy x 解之得 cx y x y dx dy = = , 因此引变换 = = x x y x有 x + = u x y u x u
9、) ( 22 2 2 2 3 2 2 4 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 x x x x + + + + = u x y u x y u x y u x y u x ux u y u 1 x = x x x x + = = u x x u x y u y x u x u y u 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ) ( 1代入化简即得 ) 0 ( 0 0 2 = = x u u x (3) 0 = + yy xx u u 61 因 = 0 0 0 0 0 0 y y y y 当 y0 为椭圆形. 特征方程为 0 ) ( 2 = + y dx dy , 解之得
10、1 2 , 2 , c y xi c xi y i y dx dy = + = = 因此引变换 = = y x 2 x有 x = u x u2 2 2 2 x = u x u2 1 = y u y u ) 2 1 ( 2 3 1 2 2 2 2 + = y u y u y u 代入化简得 0 1 = + xx u u u (4) 0 ) sin 3 ( cos 2 2 = + y yy xy xx yu u x xu u 因 0 4 ) sin 3 ( cos 2 2 = + + = x x 为双曲型. 特征方程为 0 ) sin 3 ( cos 2 ) ( 2 2 = + + x dx dy
11、 x dx dy解之得 2 cos = x dx dy = + + = + + = + + = 2 1 2 1 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin c x x y c x x y c x x y c x x y因此引变换 = + + = y x x y x x sin 2 sin 2 x有 ) cos 2 ( ) cos 2 ( x u x u x u + + = x x x x + + + + = u x u x u x u x u x x u sin sin ) cos 2 ( ) cos 4 ( 2 ) cos 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x = u u
12、y u2 2 2 2 2 2 2 2 x x + = u u u y u2 2 2 2 2 2 ) cos 2 ( ) cos 2 ( ) cos 2 ( x x + + = u x u x u x y x u代入化简得 0 ) ( 32 2 = x x x u u u(5) 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 = + + + + + y x yy xx yu xu u y u x 因 0 ) 1 )( 1 ( 2 2 + + = y x 为椭圆形。特征方程为 62 0 1 1 ) ( 2 2 2 = + + + x y dx dy即 2 2 1 1 x y i dx dy + + = 解之得
13、 1 2 2 ) 1 ln( ) 1 ln( c x x i y y + + + = + + 因此引变换 + + = + + = ) 1 ln( ) 1 ln( 2 2 y y x x x有 2 1 2 ) 1 ( + = x u x u xx x + + + = u x x u x x u ) ) 1 ( ( 1 1 2 3 2 2 2 2 2 22 1 2 ) 1 ( + = y u y u + + + = u y y u y y u ) ) 1 ( ( 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2代入化简得 0 2 2 2 2 = + x u u4. 证明两个自变量的二 阶常系数 双曲型 方程
14、或椭 圆型方程 一定可 以经过自 变量的 变换及函 数变换 v e u u x + = 将它化成 f cv v v = + xx 的形式. 证: 已知可通过某个可逆变换将双曲型或椭圆型化为标准型 0 1 = + + + + + f bu bu bu au u u x xx其中 a,b,c 当原方程为常系数时为常数. 再令 x x , ( v e u u + = ) 有 ) ( v v e v e v e u u u u x x x x x x + = + = + + +) ( uv v e u u + = + x ) 2 ( ) 2 ( 2 2 v u uv v e u v v v e u u
15、 u + + = + + = + + x x xx x xx 代入方程得 0 ) ( ) 2 ( ) 2 ( 1 2 2 = + + + + + + + + + + + f v d bu a u v u b v a v v e u x xx x因 x u e + 不等于零, 且取 2 , 2 b u a = = , 消去 x u e + 得 0 ) 2 2 4 4 ( ) ( 1 2 2 2 2 = + + + + + x xx u e f v d b a b a v v 记 c b a d = 4 4 2 2 , f e f u = + ) ( 1 x 即得所求. 2 二 阶 方 程 的 特
16、 征 理 论 1、 求下列方程的特征方程和特征方向 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 ( x u x u x u x u + = + 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 ) 2 ( x u x u x u t u + + = 2 2 2 2 ) 3 ( y u x u t u + = 解： 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 ( x u x u x u x u + = + 特征方程 2 4 2 3 2 2 2 1 + = + 又 1 2 4 2 3 2 2 2 1 = + + + 所以 2 1 2 4 2 3 2 2 2 1 = + = +
17、 引实参数 , 得特征方向为 sin 2 1 , cos 2 1 , sin 2 1 , cos 2 12 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 ) 2 ( x u x u x u t u + + = 特征方程 0 ) ( 2 3 2 2 2 1 2 0 = + + 又 1 2 3 2 2 2 1 2 0 = + + + 63 所以 2 1 2 3 2 2 2 1 2 0 = + + = 2 1 2 0 = 即任一点特征方向与 t 轴交角为 4 。 2 2 2 2 ) 3 ( y u x u t u = 特征方程 0 2 2 2 1 = 又 1 2 2 2 1 2 0 = + + 所以
18、1 2 2 1 2 0 = + 引实参数 , 得特征方向为 sin 2 1 , sin 2 1 , cos 2、证明经过 可逆的坐标 变换 ) , , 1 )( , , ( 1 n i y y f x n i i = = ，原方程的特征 曲面变为 经变换后 的新方程的特征曲面，即特殊性征曲面关于可逆坐标变换具有不变性。 证： 讨论的是二阶线性方程 F Cu x u B x x u A n i i i n j i j i ij = + + = = 1 1 , 2它的特征曲面 0 ) , , ( 1 = n x x G 的法矢量满足 = = n j i j i ij x G x G A 1 , 0
19、 对任一可逆的坐标变换： = 存在 且 i j n n n i i x y y y D x x D y y f x 0 ) , , ( ) , , ( ) , , ( 1 1 1 将求导式 t l n l l i x y y u x u = =1j t l n l l j k t l n k j l k j i x x y y u x y x y y y u x x u + = = = 2 1 1 , 2 2代入原方程，得 u 关于 n y y , , 1 的方程： = = = + n j i j t l n l l j k t l n l k l k ij x x y y u x y x y
20、 y y u A 1 , 2 1 1 , 2F cu x y y u B n i t l n j l i = + + = = 1 1交换求和次序，简写二次求导以下的项，得 = = = = + + n l l l n l k l k n j i j k i l ij ij F cu y u B y y u x y x y A A 1 1 , 2 1 ,设它的特征曲面为 0 ) , , ( 1 * = n y y G 则其法向 n y G y G * 1 * , 满足： ) 1 ( 0 * * 1 , 1 , = = = l k n l k n j i j k i l ij y G y G x y
21、 x y A 另一方面对原方程的特征曲面经同样变换得特征曲面为： ) , , ( ) , , ( , ), , , ( ( 1 1 1 1 1 n n n n y y G y y f y y f G 从 j k n l h i t l n l l i x y y G x G x y y G x G = = = = 1 1 1 1代入所满足的方程得 ) 2 ( 0 1 1 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 1 1 = = = = = = = = = k l n l k j k i l ij n j i n j i n j i n k j k k n l l l l ij j i ij y
22、G y G x y x y A x y y G x y y G A x G x G A由（1），（ 2）知 * 1 G G = 即经可逆坐标变换后特征曲面不变。 3 证二阶偏微分方程解的 m 阶弱间断 （即直至 1 m 阶导数为连续，m 阶导数间断） 也只可能 沿着特征发生。 64 证： 二阶线性偏微分方程 m 阶弱间断 解沿 0 ) , , ( 1 = m x x 发生这个问题与 下面的提法 相当: 如果在 0 ) , , ( 1 = n x x 上给定了函数 u 及其所有直到 1 m 阶导数的值( 应不相矛盾), 能不能利用这 些值以及方程: = = = + + n i i i n j i
23、 j i ij f cu x u b x x u a 1 1 , 2来唯一确定 u 的 m 阶偏导数在 0 ) , , ( 1 = m x x 上的数值。易见, 如果能够唯一地确定 u 的 m 阶导 数 之值，则 0 ) , , ( 1 = n x x 就不能为阶弱间断面。 现用反正 法。设 m 阶偏导 数间断 在 0 ) , , ( 1 = n x x 上发生， 0 ) , , ( 1 = n x x 为非特征 曲面, 即 = n j i j i ij x x u a 1 , 2引入新变量 n x x , , 1 代替 n x x , , 1 , 即 ( ) n i i x x x x ,
24、, 1 = 且使 x = n , 而当 0 = n x 时得 ( ) ) , , 1 ( , , 1 n i g x n i i = = x x 恰为曲面 0 = 的参数表示. 。 这时有 t k n k k i x u x u = = x x 1 + = = = = j l t kl n l k l k i kl n k k j j i x x u x u x x x u x x x x x x 1 , 2 1 2 ) ( 代入原方程得 u 关于 n x x , , 1 的方程 = = = = = + + + n i i k k n k i n j i j l t kl n l k l k
25、ij f cu x u b x x u a 1 1 1 , 1 , 2 x x x x x x 或 f u x x a n n j i j n i n j i = + = 2 2 1 , , x x x = = f u x x a n n j i j n i n j i 2 2 1 , , x x x其中省略的项仅含有 u u, 的一阶偏导数, 二阶内导数以及 u 的只含有一次外导数的项。 在 0 ) , , ( 1 = n x x 上, 因 0 = = x n , 由假定 = n j i j n i n j i x x a 1 , , 0 x x由此得 = = n j i j n i n j
26、 i n x x a f u 1 , , 2 2 ) ( x x x 在此式两边对 n x 求 2 m 阶导数得 = m n m u x其中右边 省略号 仅含有 u u, 的直到 1 m 阶的偏 导数, 以及 u 的直到 m 阶但上 导数最 多到 1 m 阶的 偏导数. 因 此右边 的项在 0 ) , , ( 1 = n x x 上为已 知, 从而 由此等 式知 u 的 m 阶偏导 数也唯 一确定, 与 假定矛盾, 即得所证。 4、 试定义 n 阶线性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面。 解： k 个自变量的 n 阶线性偏微分方程一般形式为 ) 1 ( 0 1 1 1 1 = + = +
27、 + n l l l k l l l k k n x x u A 以上仅写出最高阶偏导数的项。设 有空间曲面 0 ) , , ( 1 = n x x G 成为（1）的某个弱间断解的某个间 断面， 我们就定义此曲面为 （1） 的特征曲面， 其法线方向为特征方向， 该曲面所满足的方程 （条件） 为特征方程。 下面来推导特征曲面 0 ) , , ( 1 = n x x G 满足的条件。与二阶类似，弱间 断解与以下问题 65 相当：在 0 ) , , ( 1 = n x x G 上给定 u 及其 1 n 阶偏导数的值。能不能利用这些值以及方程（1）来唯 一决定 u 的 n 阶偏导数的值。 为此引入新变
28、量使 n x x , , 1 ，使 ) , , ( 1 n k x x G = x ，而当 0 = k x 时 ( ) ) , , 1 ( , , 1 k i g x n i i = = x x 为曲面 0 = G 的参数式。设此变换为 ( ) ) , , 1 ( , , 1 k i x x n i i = = x x 则有 i m k m m i x u x u = = x x 1一般地 + = k k l k k l k n k n l k l x n x x u x x u ) ( ) ( 1 1 1 1 x x x其中省略号中仅含有低于对 k x 的 n 阶偏导数的项。代入（1）式得
29、u 关于 k x x , 的 方程 0 ) ( ) ( 1 1 1 1 = + = + n n n l l l k k l k l l u x x A k k k x x x由此知当在 G 0 ) , ( 1 = k x x 上 = + + n l l k 1 k k l k k l k l l x x A ) ( ) ( 1 1 1 x x = = + n l l l k l l l k k k x G x G A 1 1 1 0 ) ( ) ( 1时，u 对 x 的 n 阶外导数唯一确定，因此不可能产生间断。因此弱间断面必须满足 0 ) ( ) ( 1 1 1 1 = = + + k k
30、k l n l l k l l l x G x G A 此既 G 应满足的条件。满足此条件的曲面 G 0 ) ( 1 = k x x 叫做特征曲面，其法线方向叫做 特征方向，记 ) , , 1 ( k i x G i i = = 代入上式，得特征应满足的条件： = + + n l l k 10 1 1 1 = k k l k l l l A 叫做特征方程。 3 三 类 方程的比较 1 试回顾以前学过的求解偏微分方程定解问题的诸方法，并指出迭加原理在哪里被用到。 解： 1. 将非齐次方程定解问题化为一个齐次方程定解问题和一个非齐次方程但有零初始条件的 问题。它利用了线性方程可迭加原理 2齐次化原
31、理。它实质上也利用了线性方程可迭加的原理 3分离变量法。它很大一部分利用迭加的原理 4行波法解一维波动方程 5平均值法三维波动方程柯西问题 6降维法解二维波动方程柯西问题 7富里埃变换法 8格林函数法解拉普拉斯方程的边值问题。 2 证明热传导方程 2 2 2 x u a t u = 混合问题 = = = ) ( ) 0 , ( 0 ) , ( ) , 0 ( x x u t l u t u 的解关于自变量 x（00 ） 可进行任意次微分。 证：由分离变量法知，这个混合问题的解 为 = = = xdx l n x l c x l n e c t x u l n n t l an n 0 1 )
32、( sin ) ( 2 sin ) , ( 2 当 ) (x 有界可积时， n c 有界，此时级数在 0 t 时绝对且一致收敛。 要证解关于自变量 x 和 t 可进行任意次微分， 只需证明级数在 号下逐项微分任意次， 既只需证明 级数在逐项微分任意次后仍是绝对一致收敛既可。设对 t 微分 次，对 x 微分 次，需要证 66 级数 t l an x l n n n e x l n l n l cn c 2 ) ( ) ( 1 2 ) (sin ) ( ) ( = 绝对且一致收敛。当 0 0 t t ，级数以 = 1 ) ( 2 0 2 ) ( ) ( n t l an e l n l an M
33、为优级数。用比值法，易 证此优级数收敛。因此原级数绝对收敛且一致收敛。得证。 3 举例说明弦振动方程不成立极值原理。 解： 函数 sinatsinx t) u(x, = 满足 = = = = = = = = = x a u u u u x u a t u t t t n x x sin , 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2它在边界 t=0,x=0,x= 上为零，内部不为零。因此与热传导混合问题类似的极值原理不存在。 对柯西问题： = = = = = x t t e t u u x u a t u 0 0 2 2 2 2 2 | 0 |解为 2 2 1 2 1 , ( at at at x
34、 at x x at x at x e e a e e e a d e a t x u + + = = = x x ） 0 = shat a e x但在边界 t=0 ，u 为零。因而不成立极值原理。 4. 若曲线 s 将区域 分成 1 与 2 两部分，函数 u(x,y) 在 2 1 , 内分别二次连续可微，且满 足拉普拉斯方程 u=0，又 u 在 s 上一阶导数连续，试证明函 数 u(x,y) 在 s 上也具有二阶连续导数， 且满足方程 u=0。 证：由题设在 2 1 , 内分别二次连续可微，知 u 在 s 上沿 s 的切线方向有二阶连续偏 导数以及 不与 s 切线方向相同的任一方向有二阶 “
35、单侧” 偏导数存在。 因而要证在 s 上有二次连续偏导数， 只 需证在不与 s 切线方向相同的两个相反方向上， u 的两个二阶“单侧”偏导数相等即可。 为此，设曲线 s 的方程， 0 ) , ( = y x 适当光滑，在 s 上任取一点，在此点邻近作可逆变换 = = ) , ( ) , ( x x y y x x使 = ，且 0 = 时使。 = = ) 0 , ( ) 0 , ( x x y y x x恰好为曲线 s ： （x， y ） =0 的参数方程。 在这个变换下所求的二阶 “单侧 ” 偏导数， 就变成在 0 = 的两侧，u 对 的二阶“单侧”偏导数 。 设对变量 x ， 而言，方程 u
36、 =0 变为 u = （*） 其中右端未写出的项，包含 u 的二阶和低二阶且关于 不高于一阶的导数项，因 u =0 是椭圆型的， 故方程（*）仍为椭圆型方程，它没有实特特征线。因此 ，在 =0 （即 （x，y）=0 ，相当于 s ）上 给定 u、u 的一阶偏导数， 以及 u 关于 x 的二阶偏导数 （相当于沿 s 切线方向的二阶偏导数） ， 和关于 x ， 的混合偏导数，就由方程（*）唯一地确定出 u 在 =0 上的值。 另外， 在 =0 两侧， u 沿 方向以及沿 相反方向的两个二阶 “单侧” 偏导数也分别满足方程 （*）。 由假设知方程 （*） 右端各项在 =0 连续。 因此当点 在 =0 两侧沿不同方向趋于 0 时， 它们都分别 趋于各自在 =0 上的值。 因此， 方程 （*） 左端的 “单侧 ” 导数分别趋于 u 在 =0 上的值， 即 u 在 =0 上任一点处处有二阶连续偏导数 u 。 回到原来的变量 x，y 知 u 在 s 上具有二阶连续偏导数。 又因每个 “单侧” 偏导数都满足 u =0 ， 故 u 在 s 上的二阶偏导数也满足 u =0 。
