1、数学物理方程答案数学物理方程第二版答案第一章 波动方程1 方程的导出。定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图 2，设弦长为 ，弦的线密度为 ，则 点处的张力 为lx)(xT)()xgT且 的方向总是沿着弦在 点处的切线方向。仍以 表示弦上各点在时刻 沿垂直)(xT ),(txut于 轴方向的位移，取弦段 则弦段两端张力在 轴方向的投影分别为),(x)(sin)(;sin) xxlglg 其中 表示 方向与 轴的夹角)(x(Tx又 .siut于是得运动方程 xltux)(2 xulgxg利用微分中值定理，消
2、去 ，再令 得0。)(2xlgt5. 验证 在锥 0 中都满足波动方程221),(ytyxu2yxt证：函数 在锥 0 内对变量22yxt 221),(yxtxu2yxt有yx,二阶连续偏导数。且 tt232)(2532)()( tyxtyxttu 数学物理方程答案)2()( 232yxtyxt tu)(252232 xyxtyxt 5tt同理 2222 yxyxyu所以 .252 tuttx 即得所证。2 达朗贝尔公式、 波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）).(022xuatatx)0(解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0 得 =F
3、（0）+G（2x）)(令 x+at=0 得 =F（2x）+G(0)x所以 F(x)= -G(0).)2(G（x）= -F(0).且 F（0）+G(0)= ).0(所以 u(x,t)= + -()2attx.即为古尔沙问题的解。8求解波动方程的初值问题数学物理方程答案xtuttt sin|,02解：由非齐次方程初值问题解的公式得ddtxutxttxt0)()(si21sin21),(= t dtxtxxtx0 )(cos)(cos)cos()cs(21 =tdt0)in(ini= ttxt 0)si(cosisi =t即 为所求的解。xtuin),(3 混合问题的分离变量法1. 用分离变量法求下
4、列问题的解：(1) 0),(,0 )0()13sin22tlut lxxxuatott解：边界条件齐次的且是第一类的，令 )(),(tTxXt得固有函数 ，且lnnsi，taBtlaAtTnnco)()2,1(n于是 1 siicos(),nnxlntlatltxu 数学物理方程答案今由始值确定常数 及 ，由始值得nAB1si3sinxllx1i)(nnlBlal所以 当,3A,03ln xdlnxa0si)(2 xlnllll cosico22)1(4ssin2 303 nlanxlnxll 因此所求解为1443 sii)(si3co),( nnxltlalxltlatxu(2) 0),(,
5、)0,(22xtuxlhutltu解：边界条件齐次的，令)(),(tTxXt得： (1) 0)(,0)(lX及 。)2(2aT求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。时，方程的通解为10xxeCX21)(数学物理方程答案由 得0)(X021c由 得l 02lleCe解以上方程组，得 ， ，故 时得不到非零解。1时，方程的通解为20xcX21)(由边值 得 ，再由 得 ，仍得不到非零解。)(X01c0l时，方程的通解为3xcxcxsinos)(21由 得 ，再由 得 0)(X1c0lXs2为了使 ，必须 ，于是2ccol21ln)2,10(n且相应地得到 xlxXnsi)( ,将 代入方程(
6、2)，解得talnBtalAtTnn 21si21co)( )2,10(n于是 0 si)is(,nnxltltltxu 再由始值得 021sin21nnxlBalAxlh容易验证 构成区间 上的正交函数系：xlsi ),( ,0l nmlxdlnlml 当当212siin0数学物理方程答案利用 正交性，得xln21sixdlnxlhAln21si0lxnnllll 022 1si)1(cos)1( nnh)()(820nB所以 022 21sin1cos)(18),(nn xltalhtxu 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为求解此问题。0),()0,( si
7、n),(22xtutAtlat 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取 ，则 满txlAtUsin),(),(txU足，0),(tUtAtlsin),(令 代入原定解问题，则 满足),(xvtxu),(txv)1()0,()0,(sin222xlAxtvxvlt ta满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为 ， ),(t xlnxXnsi)()2,10(故设 2sin)(),(1nxltTtxv数学物理方程答案将方程中非齐次项 及初始条件中 按 展成级数，得txlAsin2 xlAxlnsi12i)(sinxltftxl 其中 ln dxlntAtf02si)(lxnllntl 02
8、2 sicoi xlAtnAsi)1(xlni1其中 nln AdlnA)1(2si20 将(2)代入问题(1) ，得 满足)(tTn nnnATttlat )1(2)0(,)0( si2解方程，得通解 212)(si)sicos)( lattlaBtlaAt nnnn由始值，得 0n2231)(1)(2)1( lanAlanAAaBn 所以 12si)(),(n tlltxvxlntnlaAi1)(2xlnttlalnl sisi)(212 数学物理方程答案因此所求解为12)(2sin),(nlalAtxltuxlttlasii3用分离变量法求下面问题的解0|022lxxttubshxu解：
9、边界条件是齐次的，相应的固有函数为),21(sin)(xlxXn设 1i),nltTtu将非次项 按 展开级数，得bshxixl1sin)(nxltf其中 shlbnldlhlbtf 2)1(i2)( 20将 代入原定解问题，得 满足1sin)(),(nxltTtxu )(tTn 0)(,)0( 2)1(2nn nshlbtlat 方程的通解为 shllnbaltlnBtlaAtT nn 122)()(sicos)( 由 ，得：0n shlbn 122)(由 ，得)(数学物理方程答案所以 )cos1()(2)1() tlanhllnbatTnn 所求解为1212 si)()(),(nn xlt
10、llshltxu4 高维波动方程的柯西问题1 利用泊松公式求解波动方程)(2zyxt uau的柯西问题 023t解：泊松公式dsradsratuStMStM4141现 zyx23,0且 0|sin),(atrs drdrMat其中 )cos,sin,coi),( rzyx()is()sin23r3223 csicsci rxrxzyxosins2yzrcsicoin23ry计算 0si),(dr)(4 )cos(2)(in2302 03zyxr zyxr 02 0202cossin3sincosi drxdr数学物理方程答案 02 02032 cossinsincosin3 dxrdrxr20
11、03 i41co1xr drsinsin4302332004coi xdr 020202 sinisinis dyzrryz zrzrd320033 23022 4sin41cos1 iiii 00202 isincodrydy 2002302 sincosiniii dyr 020340223sincosiniidrr所以 3144)( 22232ztatxzyat rrdsStMatu(x,y,z)= SatMrt1ztxtzyxat222331数学物理方程答案即为所求的解。2 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。解：三维波动方程的柯西问题),(),(002 zyxuzyxuatt zt
12、 当 u 不依赖于 x,y,即 u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题：)(),(002zztt利用泊松公式求解SatMSatMdsrdsrtu4141因只与 z 有关，故SatMdttzdsr 202sin)(cos( dattzdsin)co(20令 ,= atcos+z tin-得 SatMaztddr)(2所以 atzt atztddtzu)(21)(21),( atzttzatz)()()(即为达郎贝尔公式。3. 求解平面波动方程的柯西问题： 0|20ttyxuua解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：数学物理方程答案mat dyxtyxu 222,21,mat yx222, 0
13、2sin,co1rdtartt又 sicosin,coyxryrx22cosrryxcsin2sicrxno23因为 20020 cos,sin,cosddd.0sin,in2020320 所以 at rdtyrx022sin,coa atrdyxrt0 02322 3又 at atrd0 02|at att rdrt0 022223 |3023|trta于是 yxayxttyxu 321,2a322数学物理方程答案即为所求的解。4. 求二维波动方程的轴对称解（即二维波动方程的形如 的解，tru,.)2yxr解： 解法一：利用二维波动方程柯西问题的积分表达式,21, 222 222matmat
14、 yxdtyxu由于 u 是轴对称的 故其始值 , 只是 r 的函数， ,rurut0|，记圆上任一点 的矢径为.,| 220 tayxrmatt 为 圆又 p圆心 其矢径为 记 则由余弦2),(yMxr22yxs定理知， ，其中 为 与 的夹角。选极坐标 。cosrsroM),(scs22rsr，o,于是以上公式可写成sdatrsrtatyxut202c1, stt202o由上式右端容易看出，积分结果和 有关，因此所得的解为轴对称解，即),(trat sdtrsrtu022)(co1, + )(cos202 datrrat解法二：作变换 , .波动方程化为xiny)1(22ruratu数学物
15、理方程答案用分离变量法，令 u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得02“2RrrtaT解得：)()sincos0rJrtaBtAt 令 叠加得duJtBtAtru )(sin)(cos)(),( 00 5.求解下列柯西问题),(),(0022yxrvycvattxt 提示：在三维波动方程中，令 ,tvezuacz解：令 ),(),(tyxvetzyxuacz则 yacztact veveuzz2代入原问题，得 ),(),(002 yxeuyxeuaacztcztt dsdsatzyx MatcMtac SrSr),(4141),( , 222)()(: zySMat 记 为上半球， 为下半
16、球， 为 在 平面上的投影。t at atto,则dyxtatds222)()( Mat Mat MatSSSccc dsersersre ),(1),(1), 数学物理方程答案Mat dyxetazc ),()()(222)()( 22yxteMat tazc ),()(222)()( 22 dyxtcheMatcz ),()()(222 rdrrtacchetaz )sin,co(202所以 xrtahetzyxutacz ()21),(02sin,cofrr rdyrxrtacchetaz )sin,co()2102于是 xrtahtyxvt ()21),(02xrtacchrdyr t
17、 ()21)sin,co02i,即为所求的解。6试用 第七段中的方法导出平面齐次波动方程4),()(2tyxfuauyxt 在齐次初始条件0,0tt数学物理方程答案下的求解公式。解：首先证明齐次化原理：若 是定解问题),(tyxw),(,02fatott的解，则 即为定解问题tdyxyxu0),(),(0,),()(02tt yxtutxfa的解。显然， 0tudtwttyxwttt00),(（ ）.所以0t tu又 dttt022dywudxuyftt 2202202,),(因为 w 满足齐次方程，故 u 满足)(),(222 yxatyft u齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式
18、知 dyxtaftyxwMta)( 222)()(),1),(所以 rdtyrxftyxut0)(222)(),sin,co1),(即为所求的解。所以 ta rtayrxftyx0)( 22)(),si,c2),( 数学物理方程答案7用降维法来解决上面的问题解：推迟势dvratfatzyxutr),(41),(2其中积分是在以 为中心， 为半径的球体中进行。它是柯西问题,0, ),()(02tt zyxutzyxf的解。对于二维问题 ， 皆与 无关，故fdsrratfatyxutSMr02),(41),(其中 为以 为中心 r 为半径的球面，即 Mrs)0,(222)(: ryxSr drds
19、222)()( dsratfsratfdsratf MrMrMr SSS ),(), dyxrtfM222)()(,其中 分别表示 的上半球面与下半球面， 表示 在 平面上的投影。rs,rsMrrso所以 atrM dyxatftyxu0 2222 )()(,1),( drrartfatr 022),sin,co1 数学物理方程答案在最外一层积分中，作变量置换，令 ，即 ，当 时art ),(taradr0r，当 时， ，得tatr0t tyxftyxu0)(222)(),sin,co1),( 即为所求，与 6 题结果一致。8 非齐次方程的柯西问题 yzxuttt 200,)(解：由解的公式得
20、 )1(),(4141),( 2 adVrtfadsratzyxuMtStr计算 MtS zydsr 022 )cos)(sin()cosin( 02 22ici(i rxrztr trdzy sin)osinisnco202,4sid020ci0223,3coin 02osind0,sid02 .0ici所以 MtStyzxtr324)(4计算 tr tr drrrtdVtf sin)sin(, 2dry02si)sin(数学物理方程答案t dry0sin)(4.343)(21820tytrtt所以 21), ttzxtzyxu(2t即为所求的解。5 能量不等式，波动方程解的唯一和稳定性1
21、设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程txtcuau2证明其能量是减少的，并由此证明方程 ftxt的混合问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性。证： 首先证明能量是减少。1能量 lxtduatE02)()l xttdt )( |200 dxuadulttxtl ltxxtl 20 |)(因弦的两端固定， 所以,|,|lxxu0|0ltt于是 dxuadtEtl)(2)(20(xclt )0c数学物理方程答案因此，随着 的增加， 是减少的。t)(tE证明混合问题解的唯一性.2混合问题: )(|),(|002xuxfcattltt 设 是以上问题的解。令 则 满足21,u,210|
22、,|0ttlxxttuca能量 daExlt)()20当 利用初始条件有 由 得,0t ,|tu,0|t|0tx所以 )(E又 是减少的，故当 又由 的表达式知)(tE,)(,tt )(tE,0)(t所以 0)(t由此得 及 于是得到,0tu,x常量u再由初始条件 得 因此 即混合问题解的唯一的。,|0t,21u3 证明解关于初始条件的稳定性，即对任何 可以找到 只要初始条件之差. ,0.,0满足2121,222 |,|,| 111 LLxL则始值 所对应的解 及 所对应的解 之差 满足 ),(1u)(u2|1L数学物理方程答案或 Tldxtu021)(令 lttE),()(dxudxudtl
23、lltt0022)(tE即 )(0etdtt积分得 tt dE0)(又 ,所以 )0(E ttt eEe0)()()(即 01ttEt记 ，则 满足2121,2u|,|00ttxxttuca则相对应地有 ldE2)(xa)2故若 2102dxlL 2102dlxLx2102xlL则 21,aE于是 (对任何 t)202 etutL即 2数学物理方程答案或 /210210 TtTl dtaedxtu解关于自由的稳定性4设 满足txu,10012|,|ttlxxttufca满足tx,20022|,|ttlxxfc则 满足21u|,|00212ttlxxtufca今建立有外力作用时的量不等式 21f
24、f记lxtduatE02lxttdt2= dualxt02= l txttt fcuafc2l lltt tFEdfxufd0022其中 故lftF,ttdFeEt0又 , 所以0由 始 值数学物理方程答案tlt dxfedFeE020TttKxtf22由 中证明, 知3tt dEeeE00而 故由 始 值02020Ktedeet tt TTtTKdtE20 1因此, 当 ,则lxtf102TTl edtu亦即当 ，则 。即解关于自由项是稳定lxtf21)( ldxtu021)(的。2证明如果函数 在 G： ， 作微小改变时，方程),(tflxTt),(2tfqukxtu（ ， 和 都是一些充
25、分光滑的函数）满足固定端点边界条件的混合问0)(xkq).(tf题的解在 G 内的改变也是很微小的。证：只须证明，当 很小时，则问题 的解 也很小（按绝f0|,|)(0ttlxxtufqku对值） 。数学物理方程答案考虑能量 lxt dqukutE022)()(l txtt xdt )( ltl lxttxt dxquukukxu 000)(2|)(22由边界条件 ， ，故 ， 。|lt|t|l所以 lllttl xt dxfudxfudqukudtE0020 ),(2)(2)(又由于 ， ，故 ，即)(xkqlttE0)(ldxftdt2)(或 ltfetE01)(记 ldxftF02)(得
26、 lttdFeEt )()(由初始条件 ， ，0|tu|t又因 ，得 ，故 ，即0|tu|tx0)(ltdFeE0)()(若 很小，即 ，则 ，故 ff2f lldtF2)(202)1()()( Tltt eleldetE即在 中任一时刻 ，当 很小时， ，又 中积分号下每一项皆为非负.0Ttf2)tEt的，故数学物理方程答案（对 中任一时刻 ）今对 ， ，lxduk02)(,0Ttlx0Tt估计 。,(txu因为 ，应用布尼亚科夫斯基不等式，lxxdxudutt 00),(,可以得到 Kdxukxdxukxdxull ll 00 21001)()()(1其中 （因 且充分光滑）lkK012)
27、()(即 tutx,又由边界条件 ，得).(Kx)(即当 ， ，有 很小，得证。lx0Tt,t3证明波动方程 ),()(2tyxfuauyxt 的自由项 中在 意义下作微小改变时，对应的柯西问题的解 在 意义之下f)(2KL u)(2KL改变也是微小的。证：研究过 的特征锥),(0aRyx2202)()(atRy令 截 ，得截面 ，在 上研究能量：tKttt dxyuauExt )()( 22 atRryxt yxrdsuu02 202022 )()()( t dsuaudsuadtE yxatRr ytxtt )()()( 20数学物理方程答案其中 为 的边界曲线。再利用奥氏公式，得ttat
28、Rryxtt dstuudE022)()( t dsuanxnua yxttytx )(),cos(),cos(2 22atR tytxrt dsynxnuadsrtyxf0 222 ),cos(),cos(),.(因为第二项是非正的，故 atRratRratRr dsfdsufdsudtE020202)( 所以 txyftt 2)()令 tdfF)(上式可写成 )()(tFeEett即 ttt d0ttxyfeE2)(aRtdxytfe02)(即 Ktt dtfE2研究 t xytut,20数学物理方程答案t tdsuaxyudtE2102t t txyttE0所以 ttt de00ttKd
29、xytfeEe0020 tt dtf为证明柯西问题的解的关于自由项的稳定性，只须证明柯西问题 0,0,2ttyxuutxfa当 “很小”时，则解 的模 也“很小”2122 KLdxytff KLu2此时，由始值 ，而由于 得0tu0tu,tytx所以 ，即00EKKLttt fedxyfe22aRtLaRtL defEu020222 KLaRKLfMef数学物理方程答案故任给 ，当 ，则 得证0MfKL2KLu24固定端点有界弦的自由振动可以分解成各种不同固有频率的驻波(谐 波) 的迭加。试计算各个驻波的动能和位能，并证明弦振动的总能量等于各个驻波能量的迭加。这个物理性质对应的数学事实是什么？
30、解：固定端点有界弦的自由振动，其解为1 sinsicosnnxltlaBtlaAu 每一个 是一个驻波，将 的总能量记作 ，位能记作 ，动能记作 ，则 nunEnVnKxdlltlaBtlaAdxaVlnl 220202 cossicos 21i tlntllnnnnt xdlntlaBtlaAladxuK00 222 sicosi 1i 2 tltll nn总能量 2nBAlaKVE由此知 与 无关，即能量守恒， 。nt 0nEt现在计算弦振动的总能量，由于自由振动能量守恒，故总能量 亦满足守恒定律，tE即002EdxuatElt即 ttlxt0又由分离变量法， 、 由始值决定，且nAB10
31、10 sin,sintnt xlBlauxlu 数学物理方程答案所以 dxlnBlaxlnBladxumlntl )si()si(10102 利用 在 上的正交性，得lnsi,l nnnlnt BlaxdlBladxu0 212012 )(si)( 同理 xlmAlxlAll mltx 1cosco12nnl所以 。1nEBAlatE即总能量等于各个驻波能量之和。这个物理性质所对应的数学意义说明线性齐次方程在齐次边界知件下，不仅解 具有u可加性，而且 及 仍具有可加性。这是由于 的正交性所决定的。ltdxu02l xlnsi5.在 的情况下，证明定理 5，即证明此时波动方程柯西问题存在着唯一,
32、c的广义解，并且它在证理 4 的意义下是稳定的。证：我们知道当 ，则波动方程柯西问题的古典解唯一存在，且在23,意义下关于初始条件使稳定的（定理 3、4）)(2KL今 ，根据维尔斯特拉斯定理，存在 , , 当12,cn3cn2时 及其一阶偏导数 , 分别一致收敛于 及 一致收敛于 。nnnxyx,y,记： 为初始条件的柯西问题的古典解为 ，则 二阶连续可微，且在, nu意义下 关于 是稳定的。 , 为一致连续序列，自然在 )(2KLnun,n）（ 02L：特征锥 K 与 相交截出的圆 意义下为一基本列，即 时0（ 0t） Nm, )(02Lnm )(02Lnxm, )(02y02数学物理方程答
33、案根据 的稳定性，得nu 2)( )(2KnmLnmdxytuu即 在 意义下为一基本列，根据黎斯弗歇尔定理，存在唯一的函数 ,使当nu)(2KL u时0)(2KLnu即为对应于初始条件 的柯西问题的广义解。u,现在证明广义解的唯一性。若另有 ，当 时 且 23,cnnynxn,是一致的，其所对应的古典解 (按 ), 现在 , 用反证法，n un)2KLu若 ，研究序列u(1) ,21n(2) 则序列（1）及其对 的偏导数仍分别一致收敛于 , 序列（2）仍为一致收敛于yx和 yx,，利用古典解关于初始条件的稳定性，序列（1）(2)所对应的古典解序列 ,21nuu根据黎期弗歇尔定理，按 意义收敛于唯一的极限函数。与 矛盾。故以上所定)(Lu义的广义解是唯一的。若 ，所对应的广义解记作 又 所对应的广义解记作121,c1u122,c，即存在 。分别一致收敛于2u 323, cnnnn则 ，所对应的古典解 按 意义收敛于 所对yxyx21, 11)(2KLnu21,应的古典解 按 意义收敛于n)(KL2udxytu121) Knndxytuu22)()()(
