1、2.1等式性质与不等式性质,一、新课引入,现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，例如多与少、大与小、长与短、不超过或不少于，类似这样的问题，反映在数量关系上，就是相等不相等.,1.今天的天气预报说：明天早晨最低温度为11，明天白天的最高温度为18；,2.三角形ABC的两边之和大于第三边；,3.a是一个非负实数,11t18,AB+ACBC或,a0,问题 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？,4.右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_,40,5.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应
2、不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：,0v40,6. 设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d与|AB|的大小关系怎样表示？,d|AB|,练习：用不等式表示下面的不等关系：,1.a与b的和是非负数；,2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”,想一想,你还能举出哪些相似的例子?,a+b0,0h4,二 用不等式来解决生活中的不等关系问题：,例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？,分析：若杂志的定
3、价为x元，则销售量减少：万本，,因此，销售总收入为：,用不等式表示为：,在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：,（1）点A和点B重合；（2）点A在点B的右侧；（3）点A在点B的左侧,在这三种位置关系中，有且仅有一种成立。,a=b,ab,ab,如果ab是正数，则ab；如果ab，则ab为正数；如果ab是负数，则ab；如果ab，则ab为负数；如果ab等于零，则a=b；如果a=b，则ab等于零,上述结论可以写成：,关于实数a，b大小的比较，有以下基本实数：,例1比较x2x与x2的大小,解：(x2x)(x2)=x22x+2=(x1)2+1，,因为(x
4、1)20， 所以(x2x)(x2)0，,因此x2xx2.,性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性,性质1 如果ab，那么bb.,不等式的性质,（传递性）,这个性质也可以表示为cb，ba，则ca.这个性质是不等式的传递性,性质2 如果ab，bc，那么ac.,性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.,a+bc a+b+(b)c+(b) acb.,结论：不等式中的任何一项都可以改变符号后移到不等式另一边（移项法则）,性质3：如果ab，则a+cb+c.,性质4：如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则ac
5、bc.,性质5：如果ab，cd，则a+cb+d.,几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.,性质6：如果ab0，cd0，则acbd.,几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向.,性质7：,性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.,性质8：,性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时开方所得不等式与原不等式同向.,以上这些关于不等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据,例3 已知 a b 0, c 0, 求证: .,证明：因为a b 0,于是,即,由 c 0 , 得 ,即,所以 ab 0,0.,思考？,能否用作差法证明 ？,小结,1.用不等式表示不等关系是一种数学建模，准确理解题意，设定字母表示相关数量，是正确建模的关键.对具有多个不等关系的实际问题，要用不等式组来表示.,2.两个实数的差的符号能反映这两个实数的大小关系，这是确定两个实数大小关系的基本原理，同时也是发掘不等式性质的理论依据.,3.用“作差法”比较两个实数的大小，一般分三步进行：作差变形判断符号. 其中变形的目的在于判断差式的符号，常用的变形技巧有因式分解、配方等.,
