1、第 18 讲 代数不等式题一：设 a，b，c 为正实数，求证： abc 2 1a3 1b3 1c3 3题二：已知 a，b，c 都是实数，求证：a 2b 2c 2 (a bc) 2abbcac13题三：已知 a，b，c 均为正实数，且 abbcca 1求证：(1)abc ；(2) ( )3abc bac cab 3 a b c题四：已知实数 满足 ， ，试求 的最,dd22365da值题五：已知函数 f(x)m|x2|，m R，且 f(x2) 0 的解集为1,1(1)求 m 的值； (2)若 a，b，cR ，且 m，求 a2b3c 的最小值1a 12b 13c题六：已知正数 满足 zyx, 04
2、5zyx（1）求证： ；（2）求 的最小值59316422 29yzx第 18 讲 代数不等式题一： 见详解详解：因为 a，b，c 为正实数，由均值不等式可得 3 ，即 1a3 1b3 1c3 31a31b31c3 1a3 1b3 1c3 3abc所以 abc abc而 abc2 2 1a3 1b3 1c3 3abc 3abc 3abcabc 3所以 abc2 1a3 1b3 1c3 3题二： 见详解详解：a 2b 22ab，b 2c 22bc ，a 2c 22ac，2a 22b 22c 2 2ab2bc 2ac，3(a 2b 2c 2)(abc) 2，即 a2b 2c 2 (abc) 213
3、由 a2b 2c 2ab bc ac，a 2b 2c 22ab2bc 2ac3ab3bc3ac，(abc) 23(abbcac ) (abc) 2abbcac13综上所述，a 2b 2c 2 (abc) 2abbc ac，命题得证13题三： 见详解详解：(1)要证明 abc ，3a，b，c 为正实数， 只需证明( abc) 23，即证明 a2b 2c 22ab2bc 2ac3又 abbcac 1，只需证明 a2b 2c 2abbc ac上式可由 abbcca a 2b 2c 2 证得，a2 b22 b2 c22 c2 a22原不等式成立(2) abc bac cab a b cabc又由(1)
4、已证 abc ，3原不等式只需证明 ，1abc a b c即证明 a b c abbcca bc ac ab而 a ，b ，c bc abacab ac2 ac ab bc2 ab ac bc2a b c abbc ca 成立原不等式成立bc ac ab题四： ， maxin1详解：由柯西不等式得，有；即22213636bcdbcd 22236bcdbc由条件可得， ；解得， ；当且仅当 时，等号成立，225a1a11236代入 得， ；1,36bcdmax当 时， 2in1题五： （1）1；（2）9详解：(1)因为 f (x2)m|x |，所以 f (x2)0 等价于|x|m，由|x| m
5、有解，得 m0，且其解集为x|mxm又 f(x2) 0 的解集为1,1，故 m1(2)由(1) 知 1，又 a，b，cR ，1a 12b 13c由柯西不等式，得： 2111()()(23)923abcc所以 a2b3c 的最小值为 9题六： （1）见详解；（2）18详解：（1）根据柯西不等式，得 459316425)()53()4( 22yxzzyyxxzy 25x因为 ,所以 1034zy 52014593164522 yxzzyyx（2）根据均值不等式，得 ，22293xxyxzz当且仅当 时，等号成立2zyx根据柯西不等式，得 ，10)45()345)( 2222 zyx即 ，当且仅当 时，等号成立)(22zyxzyx综上， 29318
