1、- 1 -利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题（1）恒成立问题求参数范围： min)()(xfaxfmax)()(fxfa例 1 已知函数 .1ln（）若 ，求 的取值范围；2()xfx练习 1.设函数 在 及 时取得极值（1）求 a,b 的cbxaxf 832)(232x值,(2)若对于任意的 0,3都有 成立,求 c 的取值范围2)(f答案：1. 解: (1)a=-3,b=4 (2)9+8c9（2）恒成立问题求参数范围：分离参数法。例 2. 已知函数 (1) 时，求函数 的单调区间和极值，(2)xaxfln)(2e)(xf若函数 在1，4是减函数，求实数 的取值范围g)( a解得：(
2、1)函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是（ ，极小值是xf ),0(e,e)0)(ef（2）由 得 依题意 所以xaxg2ln22)(xag 0)(xg即 又 在1，4上是减函数，故 （4） min2ax = 所以63-63练习 1.已知 （1）若对任意的 恒成)0(cos)( xaexfx 0)(,1xf立，求实数 的取值范围。（2）求证： )0(2sinxex- 2 -解：（1） 1a(2)构造函数 且 则)10(21sin)( xxexh 0(h由（1）知当 a=-1 时，xxco)(故 h(x)在（0，1）上单调递减，h(x)0 时，2)1l()xxf 0)(xf参考答案:1.解：
3、1. 21)(,)(min2max fxfeff2.令函数 的图像恒在直线xaxaxgf )12)(12)1() ,ln( )(xf下方，等价于 在区间 上恒成立。令 得ay20)(g),(0)(g1,1x（1）。若 时， 在区间 上是增函数，在 减2,ax),(2 ),1(2x函数，并且在区间 上有 ，不合题意；),(),()g- 4 -（2）.当 时，g(x)在区间 上也是增函数，也不合题意；1,20a),1(（3）.若 ，则有 2a-1 ,此时在区间 上是减函数，要使 在1a0),( 0)(xg此区间上恒成立，只需 有此求得 a 的范围是 .21,)(ag 21,2.解: （）函数 的定
4、义域是 ，fx1,)2 22ln(1)(ln() .)xxfx设 则 令2)l(,gx(l(1).g则 当 时， 在()2ln1,hx2).1xh0()0,hx()（-1，0）上为增函数，当 x0 时， 在 上为减函数.所以 h(x)在 x=0 处取得极大值，而 h(0)()0,x(),)=0,所以 ，函数 g(x)在 上为减函数.于是当 时，g1,10当 x0 时，(),x0所以，当 时， 在（-1 ，0）上为增函数 .1(),f()fx当 x0 时， 在 上为减函数.(),fx故函数 的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为 .(,)（）不等式 等价于不等式 由 知，1()nae1()
5、lna1n设 则.l()a1(),0,lGxx22221()ln().()ln()1Gxxx由（）知， 即 所以2l0,122()l()0.于是 G(x)在 上为减函数.故函数 G（x）在 上的最小值为()0,x, ,1- 5 -1().ln2G所以 a 的最大值为 1.l（4）恒成立问题求参数范围不等式放缩法例 5.设函数 (1)若 a=0,求 的单调区间。（2）若当 时，2)(axexf)(xf 0x，求 a 的取值范围。0)(f解：（1） 在（ 单调递减，在 单调增加。)(xf)0,),0(2) 由（1）知 当且仅当 x=0 时等号成立。故e2 xex1当 1-2a 0 即 。axf )
6、()(2a由 可得 从而当 时ex1e- 故当 而)(1)(2)( ef xxx 0)(,2ln,0(xfax于是 不合题意，故0 0(,ln,fa)1a例 6. 设函数 1xfe（）证明：当 -时， 1f；（）设当 0x时， 1xfa，求 a 的取值范围- 6 -练习 1.设函数 0),(,)1(31)(2mRxmxxf 其 中（）当 时 ，m曲线 ） ）（，在 点 （)ffy处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数 )(xf有三个互不相同的零点 0， 21,x，且 21x。若对任意的,21x， 1恒成立，求 m 的取值范围。2.已知函数 （ ），其中 432()faxbxRRb
7、a,（）当 时，讨论函数 的单调性；0a()f（）若函数 仅在 处有极值，求 的取值范围；()fx（）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围2,1fx,b参考答案1.（1 解：当 1)(,2)(,31)( /2 fxfxfm故时 ，所以曲线 ） ）（，在 点 （ fxy处的切线斜率为 1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）解： 12)( mf ，令 0)(xf，得到 mx,因为 m1,0所 以当 x 变化时， )(,xf的变化情况如下表：(m1)1,(m),1(- 7 -)(xf+ 0 - 0 +极小值 极大值)(xf在 )1,m和 ),(内减函数，在 )1,(m内
8、增函数。函数 在 处取得极大值 )1f，且 f= 31223函数 )(xf在 处取得极小值 (，且 )(=（3）解：由题设， )(3)3() 2122 xxmxf 所以方程 1312x=0 由两个相异的实根 21,，故 3，且0)(4m，解得 )(2，舍因为 3,2, 211 xxx故所 以若 0)(3)(f则 ，而 0)(1xf，不合题意若 ,21x则对任意的 ,21x有 ,21则 )()(1f 又 )(f，所以函数 )(xf在 ,21x的最小值为 0，于是对任意的 ,2x， 恒成立的充要条件是31)(2mf,解得 3m w.w.w.k. 综上，m 的取值范围是 )3,2(2.（）解： 32
9、2()4(4)fxaxxa当 时， 103a(10)1(令 ，解得 ， ， ()fx1x23x当 变化时， ， 的变化情况如下表：()ffx,001(,)21(,2)2 (,)()f 0 0 0 x 极小值 极大值 极小值 - 8 -所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数()fx10,2(,)(,0)1(,2（）解： ，显然 不是方程 的根243xax430xa为使 仅在 处有极值，必须 成立，即有 ()fx243a2964解些不等式，得 这时， 是唯一极值38(0)fb因此满足条件的 的取值范围是 a8,（）解：由条件 ，可知 ，从而 恒成立2,2964a2340xa当 时， ；当 时， 0x()0fx()0fx因此函数 在 上的最大值是 与 两者中的较大者1,1为使对任意的 ，不等式 在 上恒成立，当且仅当 ，即2,a()fx, 1)(f，在 上恒成立所以 ，因此满足条件的 的取值范围是b,4bb(,4
