1、第六节空间向量的应用,知识点一空间向量的有关概念及定理,1.空间向量的有关概念,大小,方向,长度,1,模为0,相同,模相等,相反,模相等,互相平行,重合,同一平面,2.空间向量的有关定理,(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使cxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_.其中，a，b，c叫做空间的一个_.,xaybzc,基底,建系原则,(1)建立空间
2、直角坐标系时，应找过同一点且两两垂直的直线分别为x轴，y轴，z轴，一般要使尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内已知A(2，5，6)，点P在y轴上，|PA|7，则点P的坐标是_.,答案(0，8，0)或(0，2，0),三种对称,(2)关于坐标平面对称的三种情况,关于坐标轴对称的三种情况,P(x，y，z)P7(x，y，z)点A(1，2，1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别为_，_.,答案(1，2，1)，(1，2，1),知识点二空间向量的数量积及坐标运算1.空间向量的数量积,a，b0,a，b,(3)空间向量数量积的性质|a|_；ab_；cosa，b_.(4)空间向量数量积的运算律交换律：_；分配
3、律：_；结合律：(ab)(a)ba(b)(R).,ab0,(a0，b0),abba,a(bc)abac,2.向量的坐标运算,(a1b1，a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3(R),a1b1a2b2a3b30,一个应用：用空间向量可以证明有关平行或垂直问题，方法可类比平面向量相关知识.,答案平行,空间向量的运算突破方略,(1)用向量法或坐标法解决几何问题时，先用向量(或坐标)表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量(或坐标)的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到
4、几何问题的结论.(2)用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：适当的选取基底a，b，c；用a，b，c表示相关向量；通过运算完成证明或计算问题.,【例1】 (2014北京海淀模拟)如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值为_.,点评利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.,利用空间向量求解平行或垂直问题突破方略,(1)用向量证平行的方法线线平行：证明两直线的方向向量共线.线面平行：a.证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；b.证明直线的方向向量与平面内某直线的
5、方向向量共线.面面平行：a.证明两平面的法向量为共线向量；b.转化为线面平行、线线平行问题.,(2)用向量证明垂直的方法线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.,提醒：用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外.,【例2】 (2016福建四地六校第三次联考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E为BB1的中点.,(1)求DE与平面AD1E所成角的正弦值；(2)在棱AD上是否存在一点P，使得BP平面AD1E？若存在，求DP的长，若不存在说明理由.,点评假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在.,运用空间向量解决立体几何问题的步骤,(1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值.,答题模板(1)建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系；(2)定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标；(3)向量运算：进行相关的空间向量的运算；(4)翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解.,
