1、2015-12-20 机械工程及自动化研究所现代信号处理技术及应用第六章 连续小波变换及其工程应用西安交通大学机械工程学院研究生学位课程第六章 连续小波变换及其工程应用6.1 谐波小波变换及其工程应用6.2 Laplace小波特征波形相关滤波6.3 Hermitian连续小波变换与信号奇异性识别引言小波分析中被广泛使用的 Daubechies类小波与样条小波都是实小波，它们没有明确的解析表达式，对信号的小波分解是通过构造相应的正交滤波器系数 hk和 gk运用 Mallat快速算法实现的。除了这两类小波，其它类型的小波基函数也被陆续构造出来并且得到了深入研究和工程运用。本章介绍三种在工程实际应用
2、中取得了理想效果的连续小波基函数，它们都具有明确的解析表达式。这三种连续小波分别是谐波小波、 Laplace小波和Hermitian小波。6.1 谐波小波变换及其工程应用6.1.1谐波小波的定义及正交性6.1.2 Newland快速算法6.1.3 谐波小波时频图6.1.4 谐波小波滤波6.1.5 谐波小波应用 小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算 谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述6.1.1谐波小波的定义及正交性谐波小波 (harmonic wavelet)是由剑桥大学 D. E. Newland教授在 1993年提出的。谐波小波是一种复小波，在频域紧支，有明确的函数表达式，其伸缩与
3、平移构成了 L2(R)空间的规范正交基。谐波小波小波具有完全 “ 盒形 ” 的频谱。谐波小波分解算法是通过信号的快速傅里叶变换（ FFT）及其逆变换（ IFFT）实现的，算法速度快，精度高，因而具有很好的工程应用价值。6.1.1谐波小波的定义及正交性实偶函数 we(t)和实奇函数 wo(t) , 它们的傅里叶变换分别为6.1.1谐波小波的定义及正交性W()所对应的函数 w (t) = we (t) + iwo (t)由 W()的傅里叶逆变换得w (t)函数为谐波小波，它是复小波，在频域紧支，且具有完全“ 盒形 ” 的频谱。6.1.1谐波小波的定义及正交性根据小波理论对谐波小波进行伸缩、平移就生
4、成谐波小波函数族（ j, kZ）：设 w (t)伸缩平移得到函数族为 v(t)，即其频谱为随着小波层（即 j）的变大，谐波小波的频谱宽度倍增而幅值降低分析频宽从高频到低频是以 1/2关系逐渐减小的，对信号的低频部分划分比较细，而高频部分划分比较粗，这说明谐波小波分解是一种小波分解6.1.1谐波小波的定义及正交性当 j 0， W()与 V()在频域中总处于不同的频段，因而总有说明处于不同层的谐波小波总是正交的对于处于同层的谐波小波 w(t)， w(t k) , 其中 (k 0, k Z)，说明处于第零层的谐波小波也是正交的。对其它层，以上结论可以类似得到 。因此， w(t)及其伸缩平移函数族构成
5、信号的正交基。以谐波小波作为基函数系就可以将信号既不交迭，又无遗漏地分解到相互独立的空间，实现将信号成分分解到不同频段 。6.1.2 Newland快速算法谐波小波构成了 L2 ( R ) 空间的规范正交基，则任何信号 x( t ) L2 ( R ) 都可以表示为谐波小波的线性和，即aj,k为函数 x(t)的小波展开系数用求内积的方法计算小波展开系数运算量太大，是很不实用的。因此谐波小波的提出者 Newland给出了一种快速算法，可以快速而精确地求得谐波小波分解，对谐波小波运用于工程实践有很大好处。6.1.2 Newland快速算法Newland快速算法是通过信号的快速傅里叶变换 FFT和快速
6、傅里叶逆变换 IFFT实现。设有离散信号 x (r)， r = 0, N 1,其中 N = 2n，其谐波小波分解为 as , s= 0, N 1。令as由 Fs经分段、对每一段作 IFFT得到，下两式为其表达式：6.1.2 Newland快速算法下图表示一数据长度为 16的实序列的谐波小波分解示意图6.1.3 谐波小波时频图谐波小波分解结果一般用小波时频图（ Wavelet Time-Frequency Map）直观表示。在各网格以 as模的平方为高作柱体就构成了谐波小波时频图。小波时频图是随|as|2起伏的面。这里高度取lg|as|2。由 Parseval公式得到 ， 谐波小波分解结果表明不
7、同频率和时间的谐波小波能量对整个信号能量贡献的大小6.1.3 谐波小波时频图下图为信号 x (r) = sin(2 15tr)， ( r = 0 , , 511 ； tr = r / 320 )的波形及谐波小波分解时频图。该信号是单一频率的，所以谐波小波分解只有一个层有值，在小波时频图上表现为对应的层有峰值。谐波小波分解系数，低频频带内的数据点数少，高频频带内的数据点数多。6.1.4 谐波小波滤波旋转机械状态监测与故障诊断利用机组同一截面两路相互垂直振动信号的合成轴心轨迹来监测其运行状态和识别故障类型。当设备出现故障时，信号表现出非平稳特性，而小波变换对处理非平稳信号是非常有效的，我们可以用相
8、互垂直的 X方向与 Y方向的小波分解结果来合成轴心轨迹。Mallat算法分解时要隔二抽一，从而使得小波分解各层的数据点数和采样频率随分解层次增加而逐渐减小。这样，直接对运行转子垂直、水平方向振动信号进行小波分解，采用同一尺度同一频段的分解数据合成轴心轨迹，将使轴心轨迹不但不具有可比性，而且由于数据点数减少、采样频率降低会使合成的轴心轨迹失真，这种直接合成轴心轨迹的方法是不合适的。谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的数据点数。6.1.4 谐波小波滤波谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器 ，可以用下面的方法定义谐波小波其中 m, n决定了谐波小波变换的尺度（ j），且 n = 2
9、m，当 m = 0时， n = 1。谐波小波的光滑性， “ 盒形 ” 谱特性，零相移特性以及明显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于转子轴心轨迹分析6.1.4 谐波小波滤波6.1.4 谐波小波滤波6.1.4 谐波小波滤波为了对信号的某一特定频段的成分进行研究，在对信号的谐波小波分解进行重构时可将其它频段的谐波小波系数置为 “ 0”，只保留该段的小波系数，由于谐波小波的正交性，如此重构的结果只包含信号该频段的成分，其它成分都被剔除了。 这个算法与本节开始所给出的算法是一致的，实际是谐波小波重构算法的延伸，是对信号进行了滤波，我们称这一
10、过程为谐波小波滤波。谐波小波滤波计算过程并未采用基于隔二抽取的 Mallat算法，因此保证了信号各频段成分点数不变，采样频率不变，这样就可以实现机组同一截面互相垂直两个方向振动信号的轴心轨迹合成。6.1.4 谐波小波滤波谐波小波包变换6.1.5 谐波小波应用小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述小波变换只是把信号从时间域变换到时间 尺度域或时间 频率域，如何从小波变换后的信号中提取机械动态信息和故障特征才是工程应用领域最关心的问题。因此，为了使小波分析技术达到工程实用化，必须研究开发小波变换信号再处理技术小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算分形的自相
11、似仿射算子 r与小波变换的伸缩因子 a是作用相同，小波变换从低分辨到高分辨的过渡原则与分形过程的从总体向局部、从宏观向微观深化分析原则是一致的，小波和分形都具有自相似性，两者结合是可行的。小波分形技术原理是应用小波包变换将机械振动信号分解到正交的、独立的频带内，然后分别计算出每个频带信号的盒维数， 用盒维数衡量小波包分解每个频带信号的复杂程度由于一维离散信号的盒维数是介于 1和 2之间的一个实数，信号越复杂维数越大分形小波小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算设离散信号 是 n维欧氏空间 Rn上的闭集。将 Rn划分成尽可能细的 网格，若是网格宽度 N 为 的离散空间上集合 X的网格计数。盒维数
12、定义为 :XXjx ,)( 由于离散信号的最高分辩率为采样间隔 t，所以上式的极限是无法按其定义 0求出。实际计算时一般采用近似方法，即将 网格视为最小网格，然后逐步放大为 k网格，k Z+，令则网格宽度为 k的信号 x(j)的网格计数为小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算在 lg k lg Nk图中确定线性好的一段为信号无标度区 ，如果无标度区的起点和终点分别为 k1， k2，则在此区域内，应该满足线性回归模型这样，用最小二乘法可求得信号 x(j)的盒维数为即盒维数是最小二乘法拟合直线斜率的估计值小波分解 l次后第 i频带信号 的盒维数分别记为 ，可以作为无量纲指标来描述振动信号在不同尺度
13、下和不同频带内的复杂性和不规则性，从而提取出故障出现时信号的非平稳特征。)( , nx il ilBd , 谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述某大型化肥厂 CO2压缩机发生喘振时，高压缸水平方向（ X方向）和垂直方向（ Y方向）由涡流式位移传感器拾取的振动信号，转子转速 6530r/min，采样频率 2000Hz，数据长度 1024点。轴心轨迹较为复杂且不规则，加之较小的高倍工频分量影响使得轴心轨迹有一些局部能量突变点，且其分形盒维数也比较大。谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述X方向、 Y方向信号的第 2层谐波小波包分解 与第 0频段合成轴心轨迹及其分形盒维数第 0频段小波对应
14、的是低频喘振、工频振动和二倍频振动的特征，高倍工频分量影响已剔除，轴心轨迹光滑度提高，不规则度减少，其分形盒维数 1.3536相对原始轴心轨迹也有所减少谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述第 3层谐波小波包分解后，第 0、1频段合成轴心轨迹及分形盒维数图 (d)分形盒维数 1.2604较前图有所减少，但其分形盒维数为明显比正常机组大，这说明低频喘振的确是一种低频不平稳性振动。图 (f)的 1.3501盒维数说明低频喘振不但自身是不平稳的晃动，而且影响着二倍频区的稳定性，导致二倍频区也有晃动现象发生6.2 Laplace小波特征波形相关滤波6.2.1 Laplace小波及其特性6.2.2
15、Laplace小波基函数相关滤波6.2.3 应用实例冲击响应信号检测的意义振动信号中出现冲击响应波形往往标志着旋转机械设备发生松动、碰撞、冲击等故障。如何从强大的工频振动、谐波振动和背景噪声中提取出冲击响应信号的发生时刻、振荡频率和阻尼比等参数对设备故障的诊断和定位至关重要。在往复机械中，活塞、连杆、气阀等运动部件对系统具有相同的激励频率，在频谱上频率特征互相重叠，很难分辨。然而，各个运动部件对系统施加的冲击并非同时发生，即相互之间有一定的相位差，因此在时域上表现为一系列有一定时间间隔的冲击响应波形，每一个冲击频率与某个特定运动部件相对应，如果将这些单个冲击响应波形提取出来，分别用特征参数表示
16、，即可对往复机械机构的状态进行趋势分析和诊断，因此，冲击响应信号的提取对往复机械故障诊断意义重大 。Laplace小波的引入使用与信号波形最匹配的基函数对信号进行分解、提取出隐含故障特征是故障诊断专科门诊思想的精髓。自从将小波分析引入到机械故障诊断领域以来，我们就一直在寻找一种小波，它在满足小波的基本条件的同时，应该具备与冲击响应信号类似的单边衰减性质。对一个二阶欠阻尼系统进行 Laplace反变换， Strang G.构造出了 Laplace小波，该小波在复数空间内为螺旋衰减曲线，其实部和虚部与单自由度结构系统的自由衰减响应函数非常相似。 Lawrence C. Freudinger等人将 Laplace小波成功应用于无人驾驶飞机机翼模态参数的识别，取得了良好的效果
