1、电动力学中的数学基础矢量、张量、积分变换、坐标系、数理方程标量 矢量 张量n 标量（数量）：温度 T， 密度 特点 1）： 只有大小没有方向 的物理量特点 2）： 用 正实数或负实数 来表示n 矢量（向量）3维矢量：单位矢量 大小（长短）为 1的矢量。直角坐标系中三个坐标轴方向的单位矢量表示为任意方向的单位矢量一般表示为4维矢量：（以下不作特殊说明，均指三维矢量）矢量运算： 标量积（点积）：一个矢量在另一个矢量上的投影结果为标量，平行模相乘；垂直积为 0 矢量积（叉积）： 结果为矢量； 平行积为 0，垂直模相乘 . 大小：方向： 右手螺旋定则C矢量的大小等于以矢量 A、 B为邻边的平行四边形面
2、积 .练习：判断矢量 C的方向把三个矢量进行轮换，其积不变；只把两矢量对调，其积差一负号。三矢量共面充要条件：上式 =0平行六面体体积两个重要公式：书 P275 混合积与双叉乘 矢量的导数和积分：矢量的导数和积分的结果仍为矢量，但这些新矢量与原矢量的方向是否相同？矢量的非法运算：n 并矢： 两个 矢量并列 ，不做任何运算 所构成的量9个分量注意：一般来说，并矢本身不对易并矢的运算：1) 并矢间一次点积 不对易，结果仍为并矢2) 并矢间二次点积 对易，结果为标量3) 矢量与并矢的点积 不对易，结果为矢量n 张量： 张量在并矢基下的 9个分量，有一个矩阵 A与之对应，记作 :称为 3维 2阶张量，
3、可记作 :上述可推广到 n 维 m 阶张量 ，其分量为：分量个数为 nm。 以下不作特殊说明，均指 3维 2阶张量。 0阶张量即标量； n维 1阶张量即 n维矢量对称张量：反对称张量：任何张量均可分解为一个对称张量与一个反对称张量：A=As+Aa张量和矢量的点乘 书 P280单位张量 ：张量和矢量点乘：结果仍为矢量一般情况下可通过并矢来定义张量，但并非所有张量均可用并矢来表示 。并矢与张量的区别： 给定一并矢必有一张量与之对应，即 并矢是张量的一种特殊情形 ；而任一张量则需视其诸分量构成的特点，或等于一个并矢，或等于两个并矢之和，或等于 3个并矢之和。“张量 “一词最初由 哈密尔顿 在 184
4、6年 引入，一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张量来表示。爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。1)应力是某点 A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。2)应力是某点 A在坐标系中方向余弦的函数，即同一点不同方位的截面上的应力是不同的。场的微分运算v物理场 ： 空间区域 D的每个点，都对应某个物理量的一个确定的 值（可随时间变化） ，则称在 D上确定了该物理量的一个场。若场中物理量在各点处的值不随时间变化，则称 稳定场， 反之为 不稳定场。v标量场： 若物理场的 物理量是标量 ，则为标量场。标量场中每一点的物理量，均可用标量来表示。1）标量场的梯度 (grad
5、ient) ： 标量函数 的梯度是一个矢量 ，直角坐标系中 注： 矢量微分（哈密顿）算符，同时具有矢量特性和微分特性，但不是真正意义的矢量，须对一个函数实施作用才有意义。2）梯度运算公式：类似求导规则在其它形式的坐标系，如柱坐标、球坐标，梯度的表达式不同。3）梯度的 几何意义： 在 P点处的梯度方向与通过 P点的 等量面（量值相等的点构成的面）在 P点的 法线 n的方向 相同，且指向 增加的方向；梯度的模等于 在此法线方向的方向导数 。是 = C1的等量面上 p点法线方向的单位矢量，指向 增加的方向。p等量面 等量面C1 0 (有正源 ) 0 表示点 P是流出的源，其值表示源的强度或源密度 A
6、 0 表示点 P是吸收的洞，其值表示洞的强度高斯公式： 矢量场通过封闭曲面 S的流量，等于此封闭曲面包围的体积 V上每一点的散度对 V的体积分3）环量： 矢量场 A沿一条有向闭合曲线 L（ 取定正方向的闭合曲线）的线积分，称为 A沿该曲线 L的环量或流量。 面（积分）化体（积分）通常规定：以闭合曲线 L为边界的面积 S 的法线为 n ， 而 L 的正向要与法线 n 的方向满足右手螺旋法则。4）旋度 (rotation)： 设想将闭合曲线缩小到其内某点 P附近，则以闭合曲线 L为界的面积 S 逐渐缩小，环量也将逐渐减小，两者比值的极限记作 该极限与闭合曲线的形状无关，而依赖于以闭合曲线 L为界的
7、面积 S 的法线 n 的方向 。矢量的旋度仍为矢量 。 旋度的物理意义： 点 P的旋度大小是该点环流密度的最大值，旋度方向是该点最大环流密度的方向。矢量场 A在 P点的旋度 rot A 通过下式定义： A=0 表示沿任意封闭曲线的环流量为 0，即液体流动时不形成漩涡， 称 矢量场 A为无旋场 A0 表示存在漩涡， |rot A|越大，旋转越快斯托克斯公式： 矢量场 A沿封闭曲线 L的环流量，等于在以 L为边界的曲面 S内每一点的旋度在 S上的面积分 线（积分）化面（积分）散度和旋度的区别 直角坐标系中 记忆方法：轮换法、爱因斯坦约定 *小结： 梯度、散度或旋度都是 微分运算 ，它们表示场在某点 附近的变化特性。场中各点的梯度、散度或旋度可能不同，因此， 梯度、散度及旋度描述的是场的 点特性或称为微分特性 。函数的连续性是可微的必要条件，因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。应用高斯定理（斯托克斯定理），需注意单封闭、复封闭空间（曲线）的区别！的二次运算：o Laplace算子：o 常用公式：书 P277注意： 的运算中， 的 位置一般不能随意轮换或交换！o 张量或并矢的高斯公式：书 P281o 格林公式： P60o 旋度的散度为 0；梯度的旋度为 0：o 哈密顿算子作用于位矢（第一章习题 3）：书 P34
