1、浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘 要 在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目 录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 21.1 定义法在极限解题中的应用 21.1.1 定义法概述 21.1.2 定义法解题实例分析 31.2 迫敛性在极限解题中的应用 31.2.
2、1 迫敛性概述 31.2.2 迫敛性解题实例分析 41.3 积分中值定理在极限解题中的应用 41.3.1 积分中值定理概述 41.3.2 积分中值定理实例分析 51.4 本章小结 62 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 72.1 存在条件不同 72.1.1 数列极限存在条件 72.1.2 函数极限存在条件 92.2 特殊形式的极限 92.2.1 数列极限的特殊解法研究 92.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 123 数列极限与函数极限的关系 .133.1 海涅定理 .133.2 海涅定理的应用 .144 结论 151 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中
3、，存在着很多的相似之处。主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。下面将重点分析进行数列极限与函数极限的解题过程中，定义法以及利用数列迫敛性在数列极限与函数极限中的运用。1.1 定义法在极限解题中的应用1.1.1 定义法概述数列极限的 ：设 为数列， 为定数，若对任给的正数 ，总N定 义 naa存在正数 N，使得当 时，有 ，则称数列 收敛于 。记作：nna。否则称 为发散数列。limna函数极限定义：设 是一个数列， 是实数，如果对任意给定的 ，nXa总存在一个正整数 ，当 时，都有 ，我们就称 是数列NnXa的极限。记为 。nXlina1.1.2 定义法
4、解题实例分析例. 求证数列极限 其中 。1lim,n0证：当 时，结论显然成立。a当 时，记 ，则 ，由11na11()nna得 ，任给 ，则当 时，就有 ，即na0nN1na即1n1lim,n当 111101,lim,lilimnnnabbaa b时 ， 令 则 由 上 易 知综上，1lim,n0例. 按函数极限定义证明 。0!1limn解: 12n 令 ，则让 即可，存在 ，当 时，不等式: 成立，N 11n2!n 所以 。0!1limn1.2 迫敛性在极限解题中的应用1.2.1 迫敛性概述数列极限迫敛性：设数列 都以 为极限，数列 满足：存在正,nabanc数 N，当 nN 时，有 ，则
5、数列 收敛，且 。ncnclima函数极限迫敛性：设 ，且在某 内有00lim()li()xxfgA),(0xuo，则()()fxhg0h1.2.2 迫敛性解题实例分析例.求数列极限 2221lin nn 解：记 ，则222nx2211nn22()()1nx22(1)()limlimnn由迫敛性得 = 。222li1n n 1注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用。例：求函数极限 的极限01limx解： 且10li()1x由迫敛性知 0lix注：做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。1
6、.3 积分中值定理在极限解题中的应用1.3.1 积分中值定理概述数 列 极 限 中 值 定 理 如 下 ：定 理 一 （ 费 马 定 理 ） ： 设函数 在点 的某邻域 内有定义并且()fx00()Ux在 处可导，如果对任意的 ，有 （或 ） ，那0x0U()f0f么 。()f定理二（罗尔定理）：如果函数 在闭区间 上连续,在开区间)(xfba内可导,且 ,那么在 至少存在一点 ,使得 。)(ba)(bfa,ba()0)(f定理三（拉格朗日中值定理）：如果函数 在闭区间 上连续,在开()fxba区间 内可导,那么至少存在一点 ，使得 。)(ba(,ab)()(af结论也可写成： 。()fbf定
7、理四（柯西中值定理）：如果函数 及 在闭区间 上连续，(x)F,b在开区间 内可导，且 在 内每一点处均不为零，那末在 内至),(ba)(xF,ba ),(a少有一点 ，使等式 成立。)()(Fff函 数 极 限 中 值 定 理 ： 设 函 数 在 区 间 上 连 续 ， 将 区 间 分fx,ab,ab成 个 子 区 间 在 每 个 子 区 任 取 一 点n012,.iax 1,ix， 作 和 式 ， 当 时 ， ( 属 于 最 大 的 区 间 长 度 )该 和 式 无 限i1,2n 0接 近 于 某 个 常 数 ， 这 个 常 数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 的 定 积 分 。a,
8、b1.3.2 积分中值定理实例分析例. 求 ，2limarctnrta1n0解：设 ，在 应用拉格朗日中值定理，得rtfx,n，21,1aaaffn n故当 时， ，可知0原式= 。2lim1nan例. 求 13li (0)pppn解: )(2li1npppn 1lim()npi设 ，则 在 内连续，xf)()(f0,1niini 取所以， pif)(所以原式 110dxp1.4 本章小结以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去
9、许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处数列极限与函数极限在解题过程中虽然存在有很多相似之处，但也有着很多的不同之处，下面本章主要针对数列极限与函数极限的存在条件不同以及一些特殊的极限解题方式的不同进行分析与研究。2.1 存在条件不同2.1.1 数列极限存在
10、条件定理一（单调有界定理）：在实数系中，有界且单调数列必有极限。证明：不妨设 单调递增有上界，由确界原理 有上确界 ，下nananasup面证明 。 ，nlim0一方面，由上确界定义 ，使得 ，又由 的递增性得，nNaNn当 时 ；NnNa另一方面，由于 是 的一个上界，故对一切 ，都有 ；naan所以当 时有 ，即 ，这就证得 。nan n nlim同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且为它的下确界。例 设 其中 ，证明数列 收敛。11,2,23na 2na证明：显然数列 是单调递增的，以下证明它有上界。事实上，n221n nn13121)(3 ,212n，于是由单调有界定理便知数列 收敛
11、。na定量二（柯西收敛准则）：单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件柯西收敛准则。Cauchy 收敛准则：数列 收敛的充分必要条件是：对任给的 ，存na 0在正整数 N，使得当 时有 ；或对任给的 ，存在正整数,mN|m，使得当 ，及任一 ，有 。npnpa说明：(1)Cauchy 收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。(2)Cauchy 收敛准则的条件称为 Cauchy 条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”
12、在一起。(3)Cauchy 准则把 定义中 与 a 的之差换成 与 之差。其好处在于Nnnam无需借助数列以外的数 a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。(4) 数列 发散的充分必要条件是：存在 ，对任意的 ，都n 0N可以找到 ，使得 ；存在 ，对任意的 ，都可以Nm, 0mna0找到 ，及 ，使得 。npnp例 设 ，证明数列 收敛。na10102 a证明：不妨设 ，则 ma mnmnmnmmn 1010910101012 对任给的 ，存在 ，对一切 有 ，由柯西收NNn|nma敛准则知数列 收敛。na2.1.2 函数极限存在条件定理一（单调有界定理）：相应于数列极限的
13、单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以 这种类型为例叙述如下：设 为定义0xf在 上的单调有界函数，则右极限 存在。)(0xU )(lim0fx注：(1)设 为定义在 上的有界函数。若 递增，则f)(0xU f;若 递减，则 。(2) 设 为定义在)(in)(00xfxUf )(sup)(00xfUxf上的递增函数，则 ， 。s)()(00xxU )(in0xfUx定理二（函数极限的柯西收敛准则）：设函数 在 内有定义。f);(0存在的充要条件是：任给 ，存在正数 ，使得对任何)(lim0xf有 。);(,0xU )(xff注：可以利用柯西准则证明函数极限 的不存在:)(lim
14、0xf设函数 在 内有定义。 不存在的充要条件是：存在 f);(0x 0x，对任意正数 ，存在 ， 有 。0);(,U 0)(xff2.2 特殊形式的极限2.2.1 数列极限的特殊解法研究（1）利用矩阵求解一类数列的极限若数列的递推公式形如 且 已知，（ 为常数且12nnxpqx01,pq， ， ）0pq2,3n解法：将递推公式写成矩阵形式，则有，111200nnnxxxppq 2,3从而可利用线性代数知识求出 的表达式，并进一步求出 .n limnx若数列的递推公式形如 且 已知，（ 且 ，1naxbcd00cadbc）1,2n解法1.令 ，则 ， ，从而有211nnycxd112nnyxd
15、c1nnyxdc，121nnnyabyy 整理得 ，再由（1）可以求解.12nnndcad解法2.设与关系式 对应的矩阵为 ，由关系式01xbabAc1naxbcd逐次递推，有 ，其对应的矩阵为 ，利用数学归纳0naxbcdnabBcd法易证得 ，通过计算 可求出 的表达式，并进一步求出 .nBAnnxlimnx例.已知斐波那契数列定义如下：1101,2;nnFF若令 ，则 且 ， ，证明极限 存在并1nx0,x1nnx,2linx求此极限.解：显然 ，相应矩阵 的特征值 ，对10x01A1251,应的特征向量分别为 .令 12,55， 211212,P 1125P则有 .于是1120A 11
16、1 21220nnnnAP从而 ，1122,nnx由于 ，上式右端分子、分母同时除以 ，再令 ，则有211n.15limli2nnFx注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用。（2）巧用无穷小数列求数列极限引理：数列 收敛于 的充要条件是：数列 为无穷小数列。nxanxa注：上述引理说明，若 ，则 可作“变量” 替换：令 ，其中limnxn nnxa是一无穷小数列。n定理1：若数列 为无穷小数列，则数列 也为无穷小数列，反之亦成立。n n定理2：若数列 为无穷小数列，则数列 也为无穷小数n12n列。推论1：设数列 为无穷小数
17、列，则数列 也为无穷小n 12n数列。例.设 ， ，求极限 .limnxalinyb1211limnnxyxy解：由 ， ，作“变量” 代换，令 ， ，其nnanb中 ， 是一无穷小数列，故 =nn1211linxyxy1 1limnnabab= 111linnnn 因为 ， ，所以是 有界数列，即 ，从而结合0nnnM上述推论1有 ， 121 0nM再根据定理1，便有 10nn又由定理2可知 ，a 10nb = .1211limnnxyxya注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法用这种方法求某类数列的极限是极为方便的2.2.3 两个重要
18、形式的函数极限解法研究1. 极限 1sinlm0x极限 是一个重要形式函数极限，其有很多变形方式，对于一次i函数而言， (,)0sin(,)1luxyy是上述重要极限的一个推广。其推广方式还有很多，如二次函数的推广方式为2(,)0sin(,)1lmuxyy。其推广的方式虽然很多，但是万变不离其中，对于这类题型的解答有着自身的规律。具体见下面的例题。例. 计算 20cos1limx解 20slix 20sinlx20sin1lmxx 21sinlm2120x2极限 exx)(li这一函数极限的推广方式与上述函数极限的推广方式相同。具体例题如下。例. 计算 xx)32(lim解 xx)31(li3
19、)1(limx 3)1(lix e3 数列极限与函数极限的关系3.1 海涅定理数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义来说，效果都是一样的。因此，数列极限与函数极限在一定的条件下能相互转化。能够建立这种联系的就是海涅定理。定理一（归结原则）：设 在 内有定义。 存在的充要条f;0xUxf0lim件是: 对任何含于 且以 为极限的数列 ， 极限 都存在;0xnxn且相等。充分性的证法：只须证明，若对任意数列 ，且 ， ，nx0
20、limxn0n有 ，则 。因为在已知条件中，具有这种性质的数列AxfnlimAxf0li是任意的( 当然有无限多个 )，所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的。n这时可以考虑应用反证法。也就是否定结论，假设 ，根据极限定义Axf0li的否定叙述，只要能构造某一个数列 ， ， ，但是nxlimn0n，与已知条件相矛盾。于是充分性得到证明。Axfnlim注 1 归结原则也可简述为对任何 有fx0li nx0.liAxfn注 2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系， 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互
21、相沟通的桥梁。它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。例如若 ， 则 。)0()lim,)(li00 BxgAxf )(lim)(li00xgfxf证 已知 ，根据海涅定理的必要性，对任意数fxxli(li00与列 ，且 ， ，有 ， 。由数列极限nxnnAfnBxnli的四则运算，对任意数列 ，且 ， ，有 。再nx0limxn0nAgfnn)(lim根据海涅定理的充分性，由 。)(li)(li)(li 00 xfBAgffnnx注 3 归结原则除上述重要的理论意义外， 它还为证明某
22、些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以 为极限的数列 ，使 不0xnnxflim存在，或找到两个都以 为极限的数列 与 ，使 与 都0xn)(lixf)(存在而不相等，则 不存在。)(lim0xf3.2 海涅定理的应用（1）利用函数性质及海涅定理求数列的极限求数列极限时，有时，可先求对应的函数极限，再利用函数性质及海涅定理求出数列极限。例. 求极限1lnarct()4i因为()l(rt)mnfxx在处连续，当 n时，14n由海涅定理知， 11larct()larctn(lim)l(arct)0444inn（2）判断函数在某点的可导性应用海涅定理，可求得函数差、商的极限，从而可判断
23、函数在某点的可导性。例 证明函数 2()()fxD（其中 ()x为 Dirichlet 函数）在原点可导，而在其他点处不可导。证明 因为2000()()limlilim()(0)xxxf Df所以 f(x)在 x=0 处可导且 ()f.当 0x时，设数列x n是大于且趋于 x0的有理数列数列 n是大于且趋于 x0的无理数列当 x0为无理数时，因为22000()limlilimnnnxxxff而00()lilinxxnff故由海涅定理可知，f(x)在无理点 x0处不可导，当 x0为非零有理数时因为2000()limlilim()2nnnxxxff x而200()lilinxxnff故由海涅定理可
24、知，f(x)在有理点 x0处不可导，所以 2()()fxD只在原点可导，而在其他点处不可导。4 结论（1）数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。其中定义法、迫敛性以及积分中值定理的应用在数列极限以及函数极限的解题过程中存在很多的相似性。（2）数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的不同之处，如函数的存在条件存在不同、一些特殊函数的解法也存在不同。（3）数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义来说，效果都是一样的。因此，数列极限与函数极限在一定的条件下能相互转化。能够建立这种联系的就是海涅定理。参考文献1华东师范大学数学系编. 数学分析上册. 北京: 高等教育出版社, 2001 年.2毛纲源. 高等数学解题方法技巧归纳（上册）. 华中科技大学出版社, 2001年 8 月.3谢慧民,恽自求 ,易法槐,钱定边. 数学分析习题课讲义.北京: 高等教育出版社.2003 年 6 月.4姚允龙. 数学分析 .上海: 复旦大学出版社. 2002 年 8 月.5裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法. 北京: 高等教育出版社. 1988 年 8 月.6同济大学数学系 彭周、 华东师范大学数学系 姬燕妮. 数学分析同步辅导.航空工业出版社.2005 年.
