上极限与下极限 定义设为一数列 我们称的收敛子列的极限为的极限点 定理1有界数列至少有一个收敛子列 且存在最大极限点与最小极限点 定义2有界数列的最大极限点 称为数列的上极限 有界数列的最小极限点 称为数列的下极限 分别记为定理2任何有界数列 必有 定理3设为有界数列 1 为数列的上极限的充分必要条件是 对任一实数 当时 数列中大于的项至多有限个 当时 数列中大于的项有无限个 即当时 存在自然数 当时 并且当时 存在的子列 使得 2 为数列的下极限的充分必要条件是 对任一实数 当时 数列中小于的项至多有限个 当时 数列中小于的项有无限个 即当时 存在自然数 当时 并且当时 存在的子列 使得 定理4的充分必要条件是定理4说明数列极限存在的充分必要条件是数列的上 下极限存在并相等 定理5设为有界数列 1 为数列的上极限的充分必要条件是 2 为数列的下极限的充分必要条件是 例设 证明 若 有限数 则
