1、*3 上极限和下极限,数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过,一、上(下)极限的基本概念,程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具.,极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课,考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上,册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所,它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下,二、上(下)极限的基本性质,返回,一、上(下)极限的基本概念,注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:,内均含有 中的无限多项, 则称 x0 是数列,的一个聚点.,限多个项”. 现举例如下:,前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无,定理7.4 有界数列
2、至少存在一个聚点, 并且有最大,但作为数列来说, 它却有两个聚点:,从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 的聚,点的一个充要条件是: 存在 的一个子列,聚点和最小聚点.,故由确界原理, 存在,的一个聚点.,的无限多项. 现依次令,这样就得到了 xn 的一个子列 满足:,同理可证,即证得,注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限.,提供了一个新的平台.,的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质,极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列,数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过,这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个,例1 考察以下两个数列的上、下极限:,从中可
3、大致看出数列的极限和数列的上、下极限,之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文.,二、上(下)极限的基本性质,由上、下极限的定义, 立即得出:,下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关,系.,(1),(2),只有有限项. 这就是说, B,不是 的聚点, 故 仅有一个聚点 A, 从而,反之, 若上式成立, 则 的聚点惟一 (设为 A) ,一的假设相矛盾.,另一聚点, 导致与聚点惟,性定理, 这无限多项必有,的无限多项. 由致密,倘若不然,则存在,此时易证,的充要条件是: 对于任意的,(i) 存在 N, 当 n N 时,的充要条件是: 对于任意的,(i) 存在 N, 当 n N 时,证 在形式上
4、是对称的, 所以仅证明 .,还有聚点, 这与 A 是最大聚点相矛盾. 设这有限项,的最大下标为 N, 那么当 n N 时,上含有 xn 的无限项, 即 A 是 xn 的聚点.,而对于任意的,则取上(下)极限后, 原来的不等号方向保持不变:,聚点, 所以存在 ,特别若 则更有,故存在 的一个收敛子列 ,(3),(4),同理可证关于上极限的不等式; 而 (4) 式则可由,又因,(1) 与 (3) 式直接推得.,证 这里只证明 (i) , (ii) 可同理证明. 设,由定理7.7, 存在 N, 当 n N 时,(5),(6),再由定理 7.8 的 (4) 式, 得,因为 是任意的, 故,注 这里严格
5、不等的情形确实会发生, 例如,故,求证 的全体聚点的集合为,任给 , 欲证 如若不然, 则存在,之内. 又因 所以存在,这就是说, 当 时, 所有的 均不在,当 n K 时, 由 (7) 导致所有,的 或者都有 或者都有,前者与 B 是 的聚点矛盾; 后者与 A 是,的聚点矛盾. 故证得 , 即 从而,定理7.9 设 xn 为有界数列. 则有,(i) A 是 xn 的上极限的充要条件是,(ii) B 是 xn 的下极限的充要条件是,(8),(9),所以有,同理, 由于,这样得到的子列 因仍为有界的,故其上极限,因 是任意的, 所以又得 . 从而证得,照此做下去,可求得 使,使得,求上极限, 由
6、不等式性质 (4), 得出,亦存在, 设为 (10) 式关于 k,例3 用上、下极限证明: 若 为有界发散数列,注 本例命题用现在这种证法,可以说是最简捷的.,使得,为 于是存在 的两个子列,证 由定理7.6 , 有界数列 发散的充要条件,则存在 的两个子列, 收敛于不同的极限.,例4 证明: 对任何有界数列 有,(11),(12),证 根据定理7.9 的 (8) 与 (9), 可得,若能证明 便不难得出结果.,分析 将 (11) 式改写为,把它用于 (12) 式, 并利用例1 的结论 (6), 便有,这也就证明了 (11) 式.,复习思考题,种定义方式各有哪些特点?,试从直观性、应用的方便性等方面, 分析这三,它们的充要条件( 定理7.7 与定理7.9 ) 来定义.,数列的上、下极限, 除用定义2 定义外, 也可用,
