1、108第 5 章 频率特性法教材习题同步解析5.1 一放大器的传递函数为：G(s)= 1TK测得其频率响应，当 =1rad/s 时，稳态输出与输入信号的幅值比为 12/ ，稳态输出与输入信号的相位差 2为/4。求放大系数 K 及时间常数 T。解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为，即 21KA2217KT稳态输出与输入信号的相位差，即arctn45T当 =1rad/s 时，联立以上方程得T=1，K=12放大器的传递函数为：G(s)= 125.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 5()1Ks根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。（1）r（t）=sin （t+
2、30） ；（2）r（t）=2cos（2t45 ） ；（3）r（t）= sin（t+15）2cos（2t45 ） ；解：该系统的闭环传递函数为 65)(s闭环系统的幅频特性为109365)(2A闭环系统的相频特性为 arctn)(（1）输入信号的频率为 ，因此有1，375)(A()9.46系统的稳态输出 5()sin(20.54)37sctt（2）输入信号的频率为 ，因此有2，1()4A()18.43系统的稳态输出 10()cos(263.4)sctt（3）由题（1）和题（2）有对于输入分量 1：sin（t+15） ，系统的稳态输出如下 5371()sin(.54)sctt对于输入分量 2：2c
3、os（2t45） ，系统的稳态输出为 02()cos(263.4)sctt根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为 )436.2cos(10)537.sin(375)( tttcs5.3 绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。（1） （2） G(s)=10(0.1s1) （3） 1.0)(sG )2(4)sG110（4) （5） )2(14)(ssG)02.()sG（6） （7）)(0(2 1).e解：（1） 1.0)(sG幅相频率特性开环系统 是一个不稳定的惯性环节，频率特性为1().s10().1Gjj相频特性为 1()80arctn.1)arctn0.18相频特性从180
4、连续变化至90 。可以判断开环奈氏曲线起点为(10，j0)点，随 的增加，A 1()逐渐减小至 0，而 1()逐渐增加至90 ，绘制出系统开环频率特性 G1(j)的轨迹，如图 5.1(a)虚线所示，是一个直径为 10 的半圆。而开环系统 则是一个典型的惯性环节，其幅相频率特性 G2(j)如图 5.1(a)实线所示。20().s对数频率特性(a) 幅相频率特性Im10 Re00(b) 对数频率特性图 5.1 题 5.3（1）系统频率特性10/ (rads1 )L()/（dB）20 ()/90450020/ (rads1 )10 100101801351()Gj2()Gj 2()1()111开环系
5、统 与 的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图10().Gs210().s5.1(b)所示。（2）G(s)=10(0.1 s1)幅相频率特性开环系统 G1(s)=10(0.1s1)的频率特性为 ，其相频特性为1()0(.1)Gjj8arctn相频特性从 180连续变化至 90。其开环频率特性 G1(j)的轨迹，如图 5.2(a)虚线所示。而开环系统 G2(s)=10(0.1s+1) 则是一个典型的一阶微分环节，其幅相频率特性 G2(j)如图 5.2(a)实线所示。对数频率特性同题（1） ，二者的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图 5.2(b)所示。（3） )2(4)sG系
6、统开环传递函数的时间常数表达式为 2()0.51)Gs幅相频率特性(a) 幅相频率特性Im10Re0 0(b) 对数频率特性图 5.2 题 5.3（2）系统频率特性10/ (rads1 )L()/（dB）20 ()/90450020/ (rads1 )10 100101801351()Gj 2()Gj2()1()01121）系统为型系统，A(0)=， (0)=90，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为 222(10.5)()(0.51) (10.5).(.)j jGjj jj 则低频渐近线为 20001limRe()li()lim.5xGjR同时
7、可知，频率特性实部与虚部均0，具有相位超前作用，故名超前校正装置；3） ()有超前最大值 m。（b）电网络的传递函数为 221122()(),RRCssGsT频率特性为 21()()jRCGj幅频特性 2()TA相频特性 ()arctnarct伯德图见图 5.9（a） ，此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置（见第六章） ，呈现以下特点：1） 转折频率 与 之间渐近线斜率为20dB/dec，起积分作用；T12） ()在整个频率范围内都 0因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。90图 5.18 题 5.10 控制系统的开环伯德图14010L()/（dB）1002040/ (rads1 )0.
8、1()/（）180/ (rads1 )ca602704020g201 10 1000.01cbK=1aK=10b3.16132（2）当 K=10 时，求系统的相位裕量；绘制开环伯德图如图 5.18 对数频率特性(b)所示。相对于对数频率特性 (a)，开环传递系数增加 10 倍， L()曲线上升 20dB，相频特性保持不变。系统的幅值穿越频率 c=3.16 rads1 ，也是系统的相角穿越频率，代入系统的相频特性有 80()c系统的幅值裕量为Lh=L( g)=L( c)=0dB因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。由以上分析可见，对一结构、
9、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于 L()曲线上升，导致幅值穿越频率 c 右移，从而使得相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。5.11 某延迟系统的开环传递函数为90图 5.19 题 5.11 控制系统的开环伯德图14010L()/（dB）1002040/ (rads1 )0.1()/（）180/ (rads1 )c2704020201 10 1000.01133()1)sKeG试确定系统稳定时所允许的最大延迟时间 max。解：绘制最小相位系统 的对数幅频特性，如图 5.19 所示，系统的幅值穿越频率 c=1 rads1 。1()s延迟环节 不影响系统的对数幅频特性，但使
10、相频特性随 增加而滞后无限增加，延迟环节导致的se相位滞后对闭环系统的稳定性不利。考虑到延迟环节 的滞后作用，系统在 c=1 rads1 处的相位裕量为s 80180()1809artn457.33.c当系统临界稳定时，有 457.因此，系统稳定时所允许的最大延迟时间 max 为max0.9s注：在 MATLAB 中，可建立滞后系统的数学模型 sys，并直接利用 bode(sys)和 nyquist(sys)绘制滞后系统的伯德图和奈氏图。指令如下：sys=tf(num,den,inputdelay,a)其中，num 定义为系统连续部分的分子多项式， den 为系统连续部分的分母多项式，a 定义
11、为延迟环节的滞后时间。ase也可建立系统的零极点模型：sys=zpk(z,p,k, inputdelay,a)z、p、k 分别为系统的开环零点、开环极点与开环传递系数。5.12 某系统结构如图 5.20 所示，试按照开环频域指标 和 c 之值估算闭环系统的时域指标 %和 ts。 图 5.20 题 5.12 图134解系统开环传递函数为 40(1)().58KsGs绘制开环伯德图如图 5.21 所示。低频段斜率为20dB/dec，并通过点 L(0.1)=52dB。经过转折频率1=0.125 rads1 后斜率为 40dB/dec，经过转折频率 2=1rads1 后斜率为20dB/dec，经过转折
12、频率3=20rads1 后斜率为40dB/dec。L(1)= L(0.1)40lg1/0.1=12dB并有 ()120,()0lgc cL可求得系统的幅值穿越频率 c=4 rads1 ，代入系统的相频特性有()artn9artn8rta.580()6.40c高阶系统的开环频域指标（、 c）与时域指标（% ，t s）之间的对应关系比较复杂，通常采用经验公式来近似。1）高阶系统的超调量与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算： 1%0.640%19.8sin2）高阶系统的调节时间与相位裕量的关系通常 用下述近似公式估算图 5.21 题 5.12 控制系统的开环伯德图0.1401L()/（dB）102
13、040/ (rads1 )0.01c=44020202052602040120.1251352112.52.5.75%sinsinsct s 以上估算公式是在比较严格的情况下推导的，实际值往往更理想。通过 MATLAB 仿真可得，此系统准确的动态性能指标为： ， 。可见，利用开环频域指标 和 c 估算闭环高阶%1.3%st系统的时域指标 %和 ts，是完全满足工程实际的。 5.13 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的闭环频率特性，计算系统的谐振频率及谐振峰值，并估算闭环系统的时域指标 %和 ts。（1） )2(16)sG（2） )5(.0)解：（1） )2(16)sG方法一：可以先
14、画出开环对数频率特性 L()及 ()，再利用尼柯尔斯图线绘制系统闭环对数频率特性。方法二：由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。1）系统的闭环传递函数为 2216161() 80.5,4,0.5nTsssT根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，见图 5.22(1)。对于振荡环节，以渐近线代替实际对数幅频特性时，要特别注意误差修正。如果 在 0.470.7 范围内，误差不大；而当 很小时，要有一个尖峰纠正。对于 =0.25，查教材表 5.6 修正表，可得转折频率 T=4rads1 处最大误差为 6dB。在转折频率附近的修正曲线见图 5.37 虚线，可以明显地看出
15、振荡环节出现了谐振。而且 越小，谐振峰值 Mr 越大，谐振角频率 r 越接近于转折频率 T（无阻尼自然振荡频率 n） 。已知二阶系统谐振频率 r 和谐振峰值 Mr(r)与系统特征量 之间的关系为213.74/rnrads13621.070lg6rrMdB2）闭环系统的时域指标 %和 ts 计算如下二阶系统的时域指标与频域指标之间有一一对应的关系，根据 21%0e或由教材图 5.70 二阶系统 %、M r、 与 的关系曲线，可直接查得 435snts解：（2） )15(.06)sG同理，由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。系统的闭环传递函数为 2260(.51)60(
16、.51)0.51()3837()ssss一阶微分环节的转折频率 1=2rads1 处，渐近线斜率在此增加 20dB/dec。二阶振荡环节的参数为0(1) (2)图 5.22 题 5.11 控制系统的开环伯德图440L()/（dB）40/ (rads1 )0.4()/（）180/ (rads1 )r202040.40220lgM()3.4540L()/（dB）20/ (rads1 )()/（）0/ (rads1 )2202090020lgM()203.452513710.83.29145.7.2nTsrad根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，如图 5.22(2)所示。对于振荡环节，由于
17、=0.890.707，系统不产生谐振，并在转折频率 2=3.45rads1 处有约5dB 的修正量。由教材图 3.24，当 =0.89 时，系统过渡时间约为 4.65%stTs=0.890.707，系统无振荡。但系统有闭环零点z=2 ，而闭环零点的作用将使系统响应加快，并有超调，且闭环零点离闭环极点越近，影响就越大。本系统的闭环极点为 s1,2=3.11j1.53，因此闭环零点对系统响应的影响较大。通过 MATLAB 仿真，系统的单位阶跃响应的动态性能指标为：%=14%，t s=1.16s。5.14 某单位负反馈的二阶型系统，其最大超调量为 16.3%，峰值时间为 114.6ms。试求其开环传递函数，并求出闭环谐振峰值 Mr 和谐振频率 r。解二阶系统的开环传递函数为 2()nKGs对于二阶系统，开环频域指标与时域指标之间有着准确的数学关系。1）二阶系统 与系统平稳性之间的关系系统超调量 %和系统阻尼比 之间的关系为 21%0e开环频域指标相位裕量 与阻尼比 之间的对应关系为=arctan 142将已知的最大超调量 16.3%代入，可求得 0.52也可由教材图 5.70 直接查曲线求得。
