1、108第 5 章 频率特性法频域分析法是一种图解分析法，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参量对系统性能的影响，从而指出改善系统性能的途径，已经发展成为一种实用的工程方法，其主要内容是：1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系。频率特性是传递函数的一种特殊形式，也是频域中的数学模型。频率特性既可以根据系统的工作原理，应用机理分析法建立起来，也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）转换得到，或用实验法来确定。2）在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线。频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅相特性(Ny
2、quist 图)、对数频率特性 (Bode 图) 和对数幅相特性 (Nichols 图)等形式。各种形式之间是互通的，每种形式有其特定的适用场合。开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观，理论分析时经常采用；波德图可用渐近线近似地绘制，计算简单，绘图容易，在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便；由开环频率特性获取闭环频率指标时，则用对数幅相特性最直接。3）开环对数频率特性曲线(波德图 )是控制系统分析和设计的主要工具。开环对数幅频特性 L()低频段的斜率表征了系统的型别(v)，其高度则表征了开环传递系数的大小，因而低频段表征系统稳态性能；L()中频段的斜率、宽度以及幅值穿越频率，表
3、征着系统的动态性能；高频段则表征了系统抗高频干扰的能力。对于最小相位系统，幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，根据对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。4）奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环幅相频率特性 G(j)H(j)曲线，又称奈氏曲线，是否包围GH 平面中的( l，j0)点来判断闭环系统的稳定性。利用奈奎斯特稳定判据，可根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，并可定量地反映系统的相对稳定性，即稳定裕度。稳定裕度通常用相角裕量和幅值裕量来表示。5）利用开环频率特性或闭环频率特性的某些特征量，均可对系统的时域性能指标作出间接的评估。其中开环频域指标主要是相位裕量
4、、穿越频率 。闭环频域指标则主要是谐振峰值 、谐振频率 以及crMr带宽频率 ，这些特征量和时域指标 、 之间有密切的关系。这种关系对于二阶系统是确切的，而对bst于高阶系统则是近似的，然而在工程设计中精度完全可以满足要求。 109教材习题同步解析5.1 一放大器的传递函数为：G(s)= 1TK测得其频率响应，当 =1rad/s 时，稳态输出与输入信号的幅值比为 12/ ，稳态输出与输入信号的相位差 2为/4。求放大系数 K 及时间常数 T。解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为，即 21KA2217KT稳态输出与输入信号的相位差，即arctn45T当 =1rad/s 时，联立以上方程得T=1，
5、K=12放大器的传递函数为：G(s)= 125.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 5()1Ks根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。（1）r（t）=sin （t+30） ；（2）r（t）=2cos（2t45 ） ；（3）r（t）= sin（t+15）2cos（2t45 ） ；解：该系统的闭环传递函数为 65)(s闭环系统的幅频特性为 3)(2A闭环系统的相频特性为1106arctn)(（1）输入信号的频率为 ，因此有1，375)(A()9.4系统的稳态输出 5()sin(20.54)37sctt（2）输入信号的频率为 ，因此有2，1()4A()18.4
6、3系统的稳态输出 10()cos(263.4)sctt（3）由题（1）和题（2）有对于输入分量 1：sin（t+15） ，系统的稳态输出如下 5371()sin(.54)sctt对于输入分量 2：2cos（2t45） ，系统的稳态输出为 02()cos(263.4)sctt根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为 )436.2cos(10)537.sin(375)( tttcs5.3 绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。（1） （2） G(s)=10(0.1s1) （3） 1.0)(sG )2(4)sG（4) （5） )(4)()02.()s（6） （7）)1)(0(2ssG
7、1.eG111解：（1） 1.0)(sG幅相频率特性开环系统 是一个不稳定的惯性环节，频率特性为1().s10().1Gjj相频特性为 1()80arctn.1)arctn0.18相频特性从180连续变化至90 。可以判断开环奈氏曲线起点为(10，j0)点，随 的增加，A 1()逐渐减小至 0，而 1()逐渐增加至90 ，绘制出系统开环频率特性 G1(j)的轨迹，如图 5.1(a)虚线所示，是一个直径为 10 的半圆。而开环系统 则是一个典型的惯性环节，其幅相频率特性 G2(j)如图 5.1(a)实线所示。20().s对数频率特性开环系统 与 的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图1
8、()0.s210().s5.1(b)所示。(a) 幅相频率特性Im10 Re00(b) 对数频率特性图 5.1 题 5.3（1）系统频率特性10/ (rads1 )L()/（dB）20 ()/90450020/ (rads1 )10 100101801351()Gj2()Gj 2()1()112（2）G(s)=10(0.1 s1)幅相频率特性开环系统 G1(s)=10(0.1s1)的频率特性为 ，其相频特性为1()0(.1)Gjj8arctn相频特性从 180连续变化至 90。其开环频率特性 G1(j)的轨迹，如图 5.2(a)虚线所示。而开环系统 G2(s)=10(0.1s+1) 则是一个典
9、型的一阶微分环节，其幅相频率特性 G2(j)如图 5.2(a)实线所示。对数频率特性同题（1） ，二者的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图 5.2(b)所示。（3） )2(4)sG系统开环传递函数的时间常数表达式为 2()0.51)Gs幅相频率特性1）系统为型系统，A(0)=， (0)=90，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：(a) 幅相频率特性Im10Re0 0(b) 对数频率特性图 5.2 题 5.3（2）系统频率特性10/ (rads1 )L()/（dB）20 ()/90450020/ (rads1 )10 100101801351()Gj 2()Gj2
10、()1()0113将频率特性表达式分母有理化为 222(10.5)()(0.51) (10.5).(.)j jGjj jj 则低频渐近线为 20001limRe()li()lim.5xGjR同时可知，频率特性实部与虚部均0，具有相位超前作用，故名超前校正装置；3） ()有超前最大值 m。（b）电网络的传递函数为 221122()(),RRCssGsT频率特性为 21()()jRCGj幅频特性 2()TA相频特性 ()arctnarct伯德图见图 5.9（a） ，此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置（见第六章） ，呈现以下特点：1） 转折频率 与 之间渐近线斜率为20dB/dec，起积分作用；
11、T12） ()在整个频率范围内都 0因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。90图 5.18 题 5.10 控制系统的开环伯德图14010L()/（dB）1002040/ (rads1 )0.1()/（）180/ (rads1 )ca602704020g201 10 1000.01cbK=1aK=10b3.16133（2）当 K=10 时，求系统的相位裕量；绘制开环伯德图如图 5.18 对数频率特性(b)所示。相对于对数频率特性 (a)，开环传递系数增加 10 倍， L()曲线上升 20dB，相频特性保持不变。系统的幅值穿越频率 c=3.16 rads1 ，也是系统的相角穿越频率，代入系统的
12、相频特性有 80()c系统的幅值裕量为Lh=L( g)=L( c)=0dB因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。由以上分析可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于 L()曲线上升，导致幅值穿越频率 c 右移，从而使得相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。5.11 某延迟系统的开环传递函数为90图 5.19 题 5.11 控制系统的开环伯德图14010L()/（dB）1002040/ (rads1 )0.1()/（）180/ (rads1 )c2704020201 10 1000.01134()1)sKeG试
13、确定系统稳定时所允许的最大延迟时间 max。解：绘制最小相位系统 的对数幅频特性，如图 5.19 所示，系统的幅值穿越频率 c=1 rads1 。1()s延迟环节 不影响系统的对数幅频特性，但使相频特性随 增加而滞后无限增加，延迟环节导致的se相位滞后对闭环系统的稳定性不利。考虑到延迟环节 的滞后作用，系统在 c=1 rads1 处的相位裕量为s 80180()1809artn457.33.c当系统临界稳定时，有 457.因此，系统稳定时所允许的最大延迟时间 max 为max0.9s注：在 MATLAB 中，可建立滞后系统的数学模型 sys，并直接利用 bode(sys)和 nyquist(s
14、ys)绘制滞后系统的伯德图和奈氏图。指令如下：sys=tf(num,den,inputdelay,a)其中，num 定义为系统连续部分的分子多项式， den 为系统连续部分的分母多项式，a 定义为延迟环节的滞后时间。ase也可建立系统的零极点模型：sys=zpk(z,p,k, inputdelay,a)z、p、k 分别为系统的开环零点、开环极点与开环传递系数。5.12 某系统结构如图 5.20 所示，试按照开环频域指标 和 c 之值估算闭环系统的时域指标 %和 ts。 图 5.20 题 5.12 图135解系统开环传递函数为 40(1)().58KsGs绘制开环伯德图如图 5.21 所示。低频
15、段斜率为20dB/dec，并通过点 L(0.1)=52dB。经过转折频率1=0.125 rads1 后斜率为 40dB/dec，经过转折频率 2=1rads1 后斜率为20dB/dec，经过转折频率3=20rads1 后斜率为40dB/dec。L(1)= L(0.1)40lg1/0.1=12dB并有 ()120,()0lgc cL可求得系统的幅值穿越频率 c=4 rads1 ，代入系统的相频特性有()artn9artn8rta.580()6.40c高阶系统的开环频域指标（、 c）与时域指标（% ，t s）之间的对应关系比较复杂，通常采用经验公式来近似。1）高阶系统的超调量与相位裕量的关系通常用
16、下述近似公式估算： 1%0.640%19.8sin2）高阶系统的调节时间与相位裕量的关系通常 用下述近似公式估算图 5.21 题 5.12 控制系统的开环伯德图0.1401L()/（dB）102040/ (rads1 )0.01c=44020202052602040120.1251362112.52.5.75%sinsinsct s 以上估算公式是在比较严格的情况下推导的，实际值往往更理想。通过 MATLAB 仿真可得，此系统准确的动态性能指标为： ， 。可见，利用开环频域指标 和 c 估算闭环高阶%1.3%st系统的时域指标 %和 ts，是完全满足工程实际的。 5.13 已知单位负反馈系统的
17、开环传递函数，试绘制系统的闭环频率特性，计算系统的谐振频率及谐振峰值，并估算闭环系统的时域指标 %和 ts。（1） )2(16)sG（2） )5(.0)解：（1） )2(16)sG方法一：可以先画出开环对数频率特性 L()及 ()，再利用尼柯尔斯图线绘制系统闭环对数频率特性。方法二：由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。1）系统的闭环传递函数为 2216161() 80.5,4,0.5nTsssT根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，见图 5.22(1)。对于振荡环节，以渐近线代替实际对数幅频特性时，要特别注意误差修正。如果 在 0.470.7 范围内，误差不
18、大；而当 很小时，要有一个尖峰纠正。对于 =0.25，查教材表 5.6 修正表，可得转折频率 T=4rads1 处最大误差为 6dB。在转折频率附近的修正曲线见图 5.37 虚线，可以明显地看出振荡环节出现了谐振。而且 越小，谐振峰值 Mr 越大，谐振角频率 r 越接近于转折频率 T（无阻尼自然振荡频率 n） 。已知二阶系统谐振频率 r 和谐振峰值 Mr(r)与系统特征量 之间的关系为213.74/rnrads13721.070lg6rrMdB2）闭环系统的时域指标 %和 ts 计算如下二阶系统的时域指标与频域指标之间有一一对应的关系，根据 21%0e或由教材图 5.70 二阶系统 %、M r
19、、 与 的关系曲线，可直接查得 435snts解：（2） )15(.06)sG同理，由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。系统的闭环传递函数为 2260(.51)60(.51)0.51()3837()ssss一阶微分环节的转折频率 1=2rads1 处，渐近线斜率在此增加 20dB/dec。二阶振荡环节的参数为0(1) (2)图 5.22 题 5.11 控制系统的开环伯德图440L()/（dB）40/ (rads1 )0.4()/（）180/ (rads1 )r202040.40220lgM()3.4540L()/（dB）20/ (rads1 )()/（）0/ (rads1 )2202090020lgM()203.4525
