1、中国数学发展史宋元数学中国数学发展史概述 中国是世界文明古国之一，地处亚洲东部，濒太平洋西岸。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前 2000 年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家夏朝（前 2033-前 1562）,共经历十三世、十六王。其后又有奴隶制国家商（前 562 年1066 年,共历十七世三十一王）和西周前 1027年前 771 年,共历约二百五十七年，传十一世、十二王 。随后出现了中国历史上的第一次全国性大分裂形成的时期春秋（前 770 年-前 476 年）战国（前 403 年-前 221 年） ，春秋后期,中国文明进入封建时代,到公元前 221 年秦王赢政统一全国,
2、出现了中国历史上第一个封建帝制国家秦朝（前 221 年前 206 年）,在以后的时间里,中国封建文明在秦帝国的封建体制的基础不断完善地持续发展,经历了统一强盛的西汉（公元前 206 年公元 8 年）帝国、东汉王朝（公元 25 年公元 220 年） 、战乱频仍与分裂的三国时期（公元 208 年-公元 280 年） 、西晋（公元 265 年公元 316 年）与东晋王朝（公元 317 年公元420 年） 、汉民族以外的少数民族统治的南朝（公元 420 年公元 589 年）与北朝（公元 386 年公元 518 年） 。到了公元 581 年，由隋再次统一了全国，建立了大一统的隋朝（公元 581618 年
3、） ，接着经历了强大富庶文化繁荣的大唐王朝（公元 618 年907 年） 、北方少数民族政权辽（公元 916 年-公元 1125 年） 、经济和文化发达的北宋（公元 960 年公元 1127 年）与南宋（公元 1127 年-公元 1279 年） 、蒙古族建立的控制范围扩张至整个西亚地区的疆域最大的元朝（公元 1271 年-1368 年） 、元朝灭亡后，汉族人在华夏大地上重新建立起来的封建王朝明朝（公元 1368 年-公元 1644 年） ，明王朝于 17 世纪中为少数民族女真族（满族）建立的清朝（公元 1616 年-公元 1911 年）所代替。清朝是中国最后一个封建帝制国家。自此之后，中国脱离
4、了帝制而转入了现代民主国家。中国文明与古代埃及、美索不达米亚、印度文明一样，都是古老的农耕文明，但与其他文明截然不同，它其持续发展两千余年之久，在世界文明史上是绝无仅有的。这种文明十分注重社会事务的管理，强调实际与经验，关心人和自然的和谐与人伦社会的秩序，儒家思想作为调解社会矛盾、维系这一文明持续发展的重要思想基础。 一、中国数学的起源与早期发展 据易?系辞记载：上古结绳而治，后世圣人易之以书契 。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有 13 个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而
5、这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。用算筹记数，有纵、横两种方式： 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当 ，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。 在几何学方面史记?夏本记中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现勾三股四弦五这个勾股定理西方称勾股定理的特例。战国时期，齐国人着的考工记汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的
6、内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有墨经中关于某些几何名词的定义和命题，例如：圆，一中同长也 、 平，同高也等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。 庄子记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如至大无外谓之大一，至小无内谓之小一 、 一尺之棰，日取其半，万世不竭等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。 此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的易经已有了组合数学的萌芽，并反映出二
7、进制的思想。 二、中国数学体系的形成与奠基 这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共 400 年间的数学发展历史。秦汉是中国古代数学体系的形成时期，为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。 现传中国历史最早的数学专著是 1984 年在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简算数书 ，与其同时出土的一本汉简历谱所记乃吕后二年（公元前 186 年） ，所以该书的成书年代至晚是公元前 186 年（应该在此前） 。 西汉末年公元前一世纪编纂的周髀算经 ，尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、
8、远的陈子测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。 九章算术是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年公元前一世纪 。全书采用问题集的形式编写，共收集了246 个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面， 方程章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就九章算术的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的
9、数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。 魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽（生卒年代不详）和刘徽（生卒年代不详）的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。三国吴人赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对周髀算经做了详尽的注释,在勾股圆方图注中用几何方法严格证明了勾股定理，他的方法已体现了割补原理的思想。赵爽还提出了用几何方法求解二次方程的新方法。263 年，三国魏人刘徽注释九章算术 ，在九章算术注中不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，系统地阐述了
10、中国传统数学的理论体系与数学原理，而且在其论述中多有创造，在卷 1方田中创立割圆术（即用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的办法） ，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法，他运用“割圆术”得出圆周率的近似值为 3927/1250（即 3.1416） ；在商功章中，为解决球体积公式的问题而构造了“牟合方盖”的几何模型，为祖暅获得正确结果开辟了道路；为建立多面体体积理论，运用极限方法成功地证明了阳马术；他还撰著海岛算经 ，发扬了古代勾股测量术-重差术。 南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。出现了孙子算经 、 夏侯阳算经 、 张丘建算经等算学著作。约于公元四-五世
11、纪成书的孙子算经给出物不知数问题并作了解答，导致求解一次同余组问题在中国的滥畅；张丘建算经的百鸡问题引出三个未知数的不定方程组问题。 公元五世纪，祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性，他们在九章算术刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有突出的贡献。其著作缀术已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到 3.1415926 3.1415927，并求得 的约率为22/7，密率为 355/113，其中密率是分子分母在 1000 以内的最佳值，欧洲直到十六世纪德国人鄂图（valenti
12、nus otto）和荷兰人安托尼兹（a.anthonisz)才得出同样结果；(2)祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积的正确公式，并提出“幂势既同则积不容异“的体积原理，即二立体等高处截面积均相等则二体体积相等的定理。欧洲十七世纪意大利数学家卡瓦列利（bonaventura cavalieri）才提出同一定理；(3)发展了二次与三次方程的解法。 同时代的天文历学家何承天创调日法，以有理分数逼近实数，发展了古代的不定分析与数值逼近算法。 三、中国数学教育制度的建立 隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通撰缉古算经 ，主要是通过土木工程中计算土方、工程的分工与验收以及仓库和地窖计算等实际
13、问题，讨论如何以几何方式建立三次多项式方程，发展了九章算术中的少广、勾股章中开方理论。 隋唐时期是中国封建官僚制度建立时期，随着科举制度与国子监制度的确立，数学教育有了长足的发展。656 年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释算经十书 包括周髀算经 、 九章算术 、 海岛算经 、 孙子算经 、 张丘建算经 、 夏侯阳算经 、 缉古算经 、 五曹算经 、 五经算术和缀术 ，作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。 由于南北朝时期的一些重大天文发现在隋唐之交开始落实到历法编算中，使唐代历法中出现一些重要的数学成果。公元 600 年，隋代刘焯在制订皇极历
14、时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式，这在数学史上是一项杰出的创造，唐代僧一行在其大衍历中将其发展为不等间距二次内插公式。唐朝后期，计算技术有了进一步的改进和普及，出现很多种实用算术书，对于乘除算法力求简捷。 四、中国数学发展的高峰 唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪宋、元两代 ，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的黄帝九章算法细草 11 世纪中叶 ，刘益的议古根源 12 世纪中叶 ，秦九韶的数书九章 1247
15、 ，李冶的测圆海镜 1248和益古演段1259 ，杨辉的详解九章算法 1261 、 日用算法 1262和杨辉算法1274-1275 ，朱世杰的算学启蒙 1299和四元玉鉴 1303等等。 宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有： 公元 1050 年左右，北宋贾宪（生卒年代不详）在黄帝九章算法细草中创造了开任意高次幂的“增乘开方法” ，公元 1819 年英国人霍纳（william george horner）才得出同样的方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，欧洲到十七世纪才出现类似的“巴斯加三角” 。 （黄帝九章算法细草已佚） 公元 10881095 年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术” ，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。沈括还提出“会圆术” ，得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还运用运筹思想分析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问题。 公元 1247 年，南宋秦九韶在数书九章 推广了增乘开方法，叙述了高次方程的数值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高为十次方程。欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法。秦九韶还系统地研究了一次同余式理论。
