1、1用向量讨论平行与垂直同步练习题一、选择题1直线 l 的方向向量，平面 的法向量分别是 a(3,2,1)， u(1,2，1)，则 l 与 的位置关系是( )A l B l C l 与 相交但不垂直 D l 或 l解析：选 D. au3410， a u， l 或 l .2若两个不同平面 ， 的法向量分别为 u(2,1，1)， v(3,2,8)，则( )A B C ， 相交不垂直 D以上均不正确解析：选 B. uv6280， u v.故 .3平面 的一个法向量为(1,2,0)，平面 的一个法向量为(2，1,0)，则平面 与平面 的位置关系是( )A平行 B相交但不垂直 C垂直 D不能确定答案 C
2、解析 (1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面也垂直4已知 a(2,4,5)， b(3，x，y)分别是直线 l1、l 2的方向向量，若 l1l 2，则( )Ax6，y15 Bx3，y Cx3，y15 Dx6，y152 152答案 D 解析 l 1l 2， a b， 则有 ，解方程得 x6，y .23 4x 5y 1525若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 u(2,0，4)，则( )Al Bl Cl Dl 与 斜交答案 B 解析 u2 a， a u，l.6若直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，能使 l 的可能是( )A a(1,0,0)，
3、n(2,0,0) B a(1,3,5)， n(1，2,1)C a(0,2,1)， n(1,0，1) D a(1，1,3)， n(0,3，1)答案 B 解析 欲使 l ，应有 n a， na0，故选 B.7设平面 的法向量为(1,2，2)，平面 的法向量为(2，4， k)，若 ，则 k 等于( )A2 B4 C4 D2解析：选 C.因为 ，所以它们的法向量必共线，即 ， k4，故选 C.1 2 2 4 2k8已知直线 l1的方向向量 a(2,4， x)，直线 l2的方向向量 b(2， y,2)，若| a|6，且 ab ，则 x y 的值是( )A3 或 1 B3 或1 C3 D1解析：选 A.|
4、a| 6， x4， 又 ab ， ab224 y2 x0，22 42 x2 y1 x，当 x4 时， y3，当 x4 时， y1， x y1 或3.129.已知 A、 B、 C 三点的坐标分别为 A（4,1,3） ， B（2，-5，1） ， C（3，7，） ，若 AB AC，则 等于（ ）.A.28 B.-28 C.14 D.-1410在正方体 ABCD A1B1C1D1中，若 E 为 A1C1的中点，则直线 CE 垂直于( )A AC B BD C A1D D A1A解析：选 B.建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为 1.则 A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0)，
5、 D(0，0,0)， A1(1,0,1)， C1(0,1,1)， E ，(12， 12， 1) ，CE (12， 12， 1)(1,1,0)， (1，1,0)，AC BD 2(1,0，1)， (0,0，1) 0， CE BD.A1D A1A CE BD 二、填空题11.设 a， b 分别是直线 l1， l2的方向向量，根据下列条件判断直线 l1， l2的位置关系：(1)a(2,3，1)， b(6，9,3)， l1与 l2_平行_；(2)a(2,1,4)， b(6,0,3)， l1与 l2_垂直 _.12平面 ， 的法向量分别为 m(1,2，2)， n(2，4， k)，若 ，则 k 等于_解析：
6、由 知， mn0.282 k0，解得 k5.答案：513已知 A(1,0,1)， B(0,1,1)， C(1,1,0)，则平面 ABC 的一个法向量为_解析：设平面 ABC 的一个法向量 n( x， y， z)，由题意可得： (1,1,0)， (1,0，1)AB BC 由Error! 得Error!令 x1，得 y z1. n(1,1,1) 答案：(1,1,1)(答案不唯一)14已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 (2，1，4)， (4,2,0)，AB AD (1,2，1)对于结论： AP AB； AP AD； 是平面 ABCD 的法向量； .其中正确的是AP AP A
7、P BD _解析：由于 12(1)2(4)(1)0，AP AB 4(1)220(1)0，所以正确答案：AP AD 15若 A ， B ， C 是平面 内三点，设平面 的法向量为 a( x， y， z)，则(0， 2，198) (1， 1， 58) ( 2， 1， 58)x y z_.解析：由已知得， (1，3， )，AB 74(2，1， )，由于 a 是平面 的一个法向量， a 0， a 0，AC 74 AB AC 即Error! ，解得Error! ， x y z y y y23( 4)23 ( 43)答案：23(4)16已知 A(1,1，1)，B(2,3,1)，则直线 AB 的模为 1 的
8、方向向量是_答案 或 解析， AB =（1，2，2） ，| AB | = 3 . 模为 1 的方向向量是 |AB,(13， 23， 23) ( 13， 23， 23)三、解答题17.已知平面 经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2，0)，试求平面 的一个法向量解: A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)， (1，2，4)，AC 设平面 的法向量为 n(x，y，z)依题意，应有 n B= 0， n = 0. 即Error!，解得Error!.AC 令 y1，则 x2.平面 的一个法向量为 n(2,1,0)18已知正方体 ABCD A1B1C1D1中
9、，求证：(1) AD1平面 BDC1；(2) A1C平面 BDC1.证明：以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.3设正方体的棱长为 1，则有 D(0,0,0)， A(1,0,0)， D1(0,0,1)， A1(1,0，1)， C(0,1,0)， B(1,1,0)，C1(0,1,1)， (1,0,1)，AD1 (1,1，1)设 n( x， y， z)为平面 BDC1的法向量，则 n ， n .A1C DB DC1 Error! Error!令 x1，则 n(1，1,1)(1)n (1，1,1)(1,0,1)0，知 n .又 AD1平面 BDC1， AD1平面 BDC1.AD
10、1 AD1 (2) n(1，1,1)， (1,1，1)，知 n，即 n . A1C平面 BDC1.A1C A1C A1C 19.已知四棱锥 P ABCD 的底面是直角梯形， AB DC， DAB90， PD底面 ABCD，且PD DA CD2 AB2， M 点为 PC 的中点(1)求证： BM平面 PAD；(2)在平面 PAD 内找一点 N，使 MN平面 PBD.解：(1)证明： PD底面 ABCD， CD AB， CD AD.以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz(如图所示)由于 PD CD DA2 AB2，所以 D(0,0,0)， A(2,0,0)， B(2,1,0)， C(0,
11、2,0)， P(0,0,2)， M(0,1,1)， (2,0,1)， (0,2,0)， 平面 PAD， 是平面 PAD 的法向量，又 0，BM DC DC DC DC BM 平面 PAD. BM平面 PAD.BM (2)设 N(x,0， z)是平面 PAD 内一点，则 ( x，1， z1)， (0,0,2)， (2,1,0)，MN DP DB 若 MN平面 PBD，则Error!，Error!，即Error!.在平面 PAD 内存在点 N ，使 MN平面 PBD.(12， 0， 1)20.在正方体 中， 是 的中点，求证： .DCBAO1B11/OC面解析：如图建系空间直角坐标系 ，设正方体的
12、棱长为 1，则可得 B1(1,1,1)，C(0,1,0)，xyzO ，C 1(0,1,1)， 1(1,0，1)， D ， 1 .(12， 12， 1) ( 12， 12， 1) ( 12， 12， 0)设平面 ODC1的法向量为 n(x 0，y 0，z 0)，则 10,nOC得Error!令 x01，得 y01，z 01， n(1,1，1)又 BCn1101(1)(1)0， 1 n，B 1C平面 ODC1.421.在正方体 中， 分别是棱 的中点，试在棱 上找一点 ，使得 1DCBAFE,BCA, 1BMD1平面 .1EF解：建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 2，则 E(2,1,
13、0)，F(1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)设 M（2，2，m） ，则 EF =（ 1，1，0） ， =（0， 1， 2） ，B1E 1D=（2，2，m 2）. M平面 EFB1， DMEF， 1B 1E， = 0 且 1D = 0， 于是 -+,2(m)=0m1，B1E 故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M平面 EFB1.22已知正方体 ABCDA 1B1C1D1的棱长为 2，E、F 分别是 BB1、DD 1的中点，求证：(1)FC1平面 ADE；(2)平面 ADE平面 B1C1F.证明 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0,0,0)、A(2,0,
14、0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以 1FC =（0，2，1） ， DA =（2，0，0） ， AE =（0，2，1）.（1）设 n1=（x 1 , y1 , z1）是平面 ADE 的法向量, 则 n1 DA ， n 1 E ，即 ,12AE1 得 1,2xy令 z12，则 y11，所以 n1(0，1,2)因为 n1220，所以 n1.又因为 FC1 平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.FC1 FC1 （2） B =（2，0，0） ， 设 n2 = (x2 , y2 , z 2)是平面 B1C1F 的一个法向量.由 n
15、2 ,n2 1,得 1220,Bx得 得 20,xyFC1 令 z22 得 y21，所以 n2(0，1,2)，因为 n1 n2，所以平面 ADE平面 B1C1F.23在棱长为 1 的正方体 AC1中， O1为 B1D1的中点5求证：(1) B1D平面 ACD1；(2) BO1 平面 ACD1.证明 建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为 1，则 B(1,0,0)， O1( ，1)， D1(0,1,1)， C(1,1,0)， D(0,1,0)， B1(1,0,1)， (1,1，1)，1212 B1D (0,1,1)， (1,1,0)， ( ，1)(1) 0， 0， ， ，AD1 AC
16、BO1 1212 B1D AD1 B1D AC B1D AD1 B1D AC 与 不共线，AD1 AC 平面 ACD1， B1D平面 ACD1.(2) 0， ， 平面 ACD1.又 BO1平面 ACD1，B1D B1D BO1 B1D BO1 BO1 BO1 平面 ACD1.24在四棱锥 P ABCD 中， PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形， PD DC， E、 F 分别是 AB、 PB 的中点(1)求证： EF CD；(2)在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB，并证明你的结论解析 6(1)证明： PD底面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形， AD、 DC、 PD
17、 两两垂直，如图，以 DA、 DC、 DP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，设 AD a，则 D(0,0,0)、 A(a,0,0)、 B(a， a,0)、 C(0， a,0)、 E(a，0)、 P(0,0， a)、 F( ， ).a2 a2a2 a2( ，0， )， (0， a,0) 0， ，即 EF CD.(2)设 G(x,0， z)，则EF a2 a2 DC EF DC EF DC ( x ， ， z )，FG a2 a2 a2若使 GF平面 PCB，则由 ( x ， ， z )(a,0,0) a(x )0，得 x ；FG CB a2 a2 a2 a2 a2由 ( x ， ， z )(0， a， a) a(z )0，得 z0. G 点坐标为( ，0,0)，FG CP a2 a2 a2 a22 a2 a2即 G 点为 AD 的中点
