1、0第一章 绪论1设 , 的相对误差为 ，求 的误差。0xlnx解：近似值 的相对误差为*re=而 的误差为ln1lnlexx进而有 (*)2设 的相对误差为 2%，求 的相对误差。xn解：设 ，则函数的条件数为()nf()|pxfC又 , 1()nfx1|npx又 *(*)rprC且 为 2()rex0.nr3下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： , , , ,*1.02x*.31x*85.6x*4.30x*571.x解： 是五位有效数字；*1.02x是二位有效数字；23是四位有效数字；*85.6x是五位有效数字；40是二位有效数字
2、。*571.x4利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .*124x*123x*24/x其中 均为第 3 题所给的数。*1234,x解：1*4132*1334*15()0()02()0xxx*124*433)()(1001.5x*23*1231324 3()()()11.0.0.85.60.2385.605xxx *24*24335(3)/()110.56.0.xx5 计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为 34VR则何种函数的条件数为 234pRCA(*)()(*)rprrVR又 1r2故度量半径 R 时允许的相
3、对误差限为 1(*)0.3rR6设 ，按递推公式 （n=1,2,）028Y1780nY计算到 。若取 （5 位有效数字） ，试问计算 将有多大误差？1732.9810Y解： 0n109Y98737101083Y依次代入后，有 1017830Y即 ，107若取 , 832.9102.9* 3100()(.8)Y的误差限为 。327求方程 的两个根，使它至少具有 4 位有效数字（ ） 。561x 7832.9解： ，20故方程的根应为 1,2873x故 1.95.82x具有 5 位有效数字211873 0.17863287.95.2x 具有 5 位有效数字28当 N 充分大时，怎样求 ？12Ndx
4、3解 12arctn(1)arctnNdxN设 。arct(),则 n1.122arctn()ta1arct()n1NdxNA9正方形的边长大约为了 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 ？21cm解：正方形的面积函数为 2()Ax.(*)2(A当 时，若 ,10x*)1则 2()故测量中边长误差限不超过 0.005cm 时，才能使其面积误差不超过 21cm10设 ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有 秒的误差，证明当 t 增加时 S 的21St0.绝对误差增加，而相对误差却减少。解： 2,0t(*)()SgA当 增加时， 的绝对误差增加t2*()1()rgttA4当 增加时， 保
5、持不变，则 的相对误差减少。*t(*)t*S11序列 满足递推关系 (n=1,2,),ny10ny若 （三位有效数字） ，计算到 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？021.40y解： y20(*)又 1ny10(*)()y又 21()0()y2*.y101028()(*)y计算到 时误差为 ，这个计算过程不稳定。10y810212计算 ，取 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？6()f, , ， 。6(21)33(2)9702解：设 ，6(yx若 ， ，则 。*.4*102x若通过 计算 y 值，则61(2)5* *7*1()6yxyxA若通过 计算 y 值，则3(2)*2*(63yxA
6、若通过 计算 y 值，则31(2)* *4*7()132yxyxA通过 计算后得到的结果最好。3()13 ,求 的值。若开平方用 6 位函数表，问求对数时误差有多2ln(1)fxx(30)f大？若改用另一等价公式。 22ln1ln(1)xx计算，求对数时误差有多大？解, 2()ln1)fxx(30)l89)f设 89,(uyf则 *412故6*310.67yuA若改用等价公式 22ln(1)ln(1)xx则 3089f此时， *7159.83yu第二章 插值法1当 时， ,求 的二次插值多项式。,2x()034fx()fx解： 012200102101222,()()3()4;1(2)()6(
7、)1)(3fxffxl xxxl x则二次拉格朗日插值多项式为 20()()kLxylx是-3l122341()(1)3576llxx2给出 的数值表()lnfx7X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144用线性插值及二次插值计算 的近似值。ln0.54解：由表格知， 0123124.,.5,.6,.7,.8;()9()9.8,0.54xxxfff若采用线性插值法计算 即 ，ln.(.4)f则 0.5.62112212()0(.).5()()()xlxLxflxflx6.93470.618
8、0.5)1(05).9若采用二次插值法计算 时，ln5412000111202212()()(0.).6.(.)()5(0.4).5()()(xl xxl xLflflfl50.960.5(.6)9.3147(0.).605182(0.4).5xxx2(.4).1384.2L3给全 的函数表，步长 若函数表具有 5 位有效数字，cos,09x 1(/60),h研究用线性插值求 近似值时的总误差界。解：求解 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有 5 位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 的近cosx似值时，采用的线性插值法插值余项不为
9、 0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。8当 时，09x令 ()cosf取 01,)60810xh令 ,.54ii则 54092x当 时，线性插值多项式为1,k11 1()()kkkkxxLff插值余项为 1 1()cos()()()2kkRxxfx又 在建立函数表时，表中数据具有 5 位有效数字，且 ，故计算中有误差传cos0,1x播过程。 *5*112 1*11*()0()()()()kk kk kkkkkkfxxxRffxfxhx总误差界为912*112*85()cos)()(1)().06051kkkkkkRxxfxxfhfx4设为互异节点，求证：（1） 0
10、()nkkjxl(0,1);n（2） 0()(nkjjjl(,);k证明（1） 令 ()kfx若插值节点为 ，则函数 的 次插值多项式为 。,01,jn ()fxn0()()nkjLxlx插值余项为(1)1() ()!nnnnfRxfL又 ,k(1)0nfRx0()nkkjl(,1);n0002()(nkjjjjikikjjinniikjixlClxxl由上题结论可知又100()nkijxl0()()nikiikCxx原 式得证。5 设 且 求证：2(),fxCab()0,fb21mamx.8xbab解：令 ，以此为插值节点，则线性插值多项式为01,0101()()xxLff= bafafx1
11、()0Lx又插值余项为 101()()()()2RfxLfxx02fx012210()()()4xxba又2mx()max().8abbff6在 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似值，要使4exe截断误差不超过 ，问使用函数表的步长 h 应取多少？610解：若插值节点为 和 ，则分段二次插值多项式的插值余项为,ix1i112111()()()3!iiiRxfxx4ma()6iiixf设步长为 h，即 11,iiiixhx434322().67Ree若截断误差不超过 ，则6106243()70.5xeh7若 ，42,.nnyy求 及解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
12、 n44(1)nnyEy4044040(1)2(1)2jjnjjnjjjjnjnyy1442()nnyEy242ny8如果 是 m 次多项式，记 ，证明 的 k 阶差分()fx()(fxhfx()fx12是 次多项式，并且 （ 为正整数） 。()0)kfxmk1()0mfxl解：函数 的 展式为Taylor2() (1)111()()()!(!mmfxhfxhffxhfh其中 ,又 是次数为 的多项式()fxm(1)0)(mfhfx2()11(!mf fxh为 阶多项式)fx2()f为 阶多项式fx2m依此过程递推，得 是 次多项式()kfxk是常数()mfx当 为正整数时，l1()0f9证明
13、 1kkkgfgf证明 1()kkkfff1111()()kkkkkkgfgffff得证10证明1 100n nknkfgfgf证明：由上题结论可知131()kkkfgfgf101100()nkkkknnkkkfgf11010211()()()()nk nnnfgffgfffgg 1 100 nknkffgf 得证。11证明1200njnjyy证明11200()njjjj12110()nnyyy得证。12若 有 个不同实根 ，101()nnfxaax 12,nx证明： 110,2;()knjj kf证明： 有个不同实根x12,nx且 01()nfaa 2)()n nxxx令 1()则 11()
14、()kknnj jjjxxfa14而 2313()()()()n n nxxxxx 12 11()()()()njjjjjjjjnxxxx 令 ,kg121,()knjjxx则 121,()knjjgx又 121,()knj njnxgfa110,;()knjjfx得证。13证明 阶均差有下列性质：（1）若 ，则()Fxcf0101,;nnFxcfx （2）若 ，则()g 01,.nxgx 证明：（1） 120011(),()()jnjjjjjjjnfxfxxx 120011(),()()jnjjjjjjjnFFx 0011()()()jnjjjjjjjncfxx 0011()()()jnjj
15、jjjjjnfcx 1,nfx得证。(2)()Fxfg1500011(),()()jnjjjjjjjnFxFxxx 0011()()()jjnjjjjjjjnfgx 0011()()jnjjjjjjjnfxx + 0011()()jnjjjjjjjngx 0,nnfx 得证。14 求 及 。74()31,fx0172,F 0182,F解： x若 2,0,8iix则 ()01,!nff (7)01, 1!ffx(8)01, 0!ff15证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)223 11)()/4!,(,)kkkRxfxxx解：若 ，且插值多项式满足条件1,k33()()kkHxfxf1111,()
16、k x插值余项为 3()RxfH由插值条件可知 1()0kkx16且 1()0kkRx可写成221()kkgxx其中 是关于 的待定函数，()gx现把 看成 上的一个固定点，作函数1,k223 1()()()kktfHtgxttx根据余项性质，有 1()0,()kkx223 1()()()0kkfxgxHR223 11()()2()()kkkktftxtxtxt kx1()0由罗尔定理可知，存在 和 ，使(,)kx1(,)kx12(),()即 在 上有四个互异零点。x1k根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，()tt故 在 内至少有三个互异零点，()t1,kx依此类推， 在 内至少有
17、一个零点。(4)t1,)kx记为 使1,kx(4)(4)(4)3!()0fHgx又 ()30t(4) 1,(,)!kfgxx17其中 依赖于x(4)221)()!kkfRx分段三次埃尔米特插值时，若节点为 ，设步长为 ，即(0,)kn h在小区间 上0,1,kxhn 1x(4)221(4)!1()(kkfRxfx22(4)1()4(4)()()ma!1xax!238kbabaxxfhf16求一个次数不高于 4 次的多项式 P（x） ，使它满足(0),(1)0,(2)PP解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于 4 的多项式01,xym1130021012()()()(1)j jjHxxmxx210
18、02)(3)xx021()1822323()(1)Hxxx设 0PA其中，A 为待定常数 322()1(1)xx4从而 21()(3)Px17设 ，在 上取 ，按等距节点求分段线性插值函数/fx5x10n，计算各节点间中点处的 与 值，并估计误差。()hIx()hIf解：若 0105,则步长 h0,ixi21()f在小区间 上，分段线性插值函数为1,ix111()()()i ihi iixIff1221()()i ii ixx各节点间中点处的 与 的值为hIxf当 时，4.5x()0.47,()0.486hfIx当 时，3579x当 时，2.x().139,().15hfIx当 时，15070
19、3x当 时，0.x().8,().hfIx19误差 1 25max()max()8ii hfIf又 2f2324(),1)6()1)xfxf令 (0f得 的驻点为 和)x1,230x1,235()max4hffIx18求 在 上分段线性插值函数 ，并估计误差。2()f,ab()hIx解：在区间 上，,01,0,1,niiixhxn012ma()iinhfx函数 在小区间 上分段线性插值函数为1,ix111221()()()i ihi iii iiIxffxx误差为201 2221max()max()8(),()ax4ii hibhbfIfhffIx A19求 在 上分段埃尔米特插值，并估计误差
20、。()f,ab解：在 区间上，,ab01,0,1,niiixhxn令 01miinh43(),()fxfx函数 在区间 上的分段埃尔米特插值函数为1,i2111211()()()()i ih iii ii iiiiiiiiIxfxxxfx4231 132121()()4()()iiiiiiiiiiiiiixhhxxhx误差为 (4)221()41)!max2hiiibfxIxf21又 4()fx4 401!2ma()ax6ihxbinhfI20给定数据表如下：Xj 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53Yj 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280试求三次
21、样条插值，并满足条件：(1)0.25.,(0.53).68;)SS解： 010234.9.68hx111234,5,47j jj jhh123010012349,(), .954.85,7.fxfffx2204120110231223423344343().,().68652,.37,6.640,.6(,).150SxSxdffhfxfxdhffdfxh由此得矩阵形式的方程组为2 1 M0 5.202 M1 5494372 M2 35.62 M3 7401 2 M4 .15求解此方程组得 01234.78,.607,0.6539M三次样条表达式为112 211()()()6)()(0,1)6j
22、 jjjj jjj jxxSMhhxyyn将 代入得01234,233333336.759(0.)4.810(.25)10.69(.3)10.962(.5)2,.19754.3,().8647(0.5)2.4(0.)1.486(0.xxxxxSxxx33)1.962(0.)9,11.6.5.9.53.87.45, xx 0412304(2)()0,.357,.640.Sxdfdf由此得矩阵开工的方程组为 04123924.573605.07M求解此方程组，得 01234,.809.6,.,0MM又 三次样条表达式为3112 211()()()6)()6j jjjj jjj jxxShhxyy将
23、 代入得01234,M24333336.297(0.5)1(.)0.967(.25),3.48118.6.918(0.3),()2.9(0.5)2.86(0.9).4(0.5)9xxxxxSxx3,.14677.5.1., xx21若 是三次样条函数，证明：2()()fCabSx22 21()()()baabaxddfxfxSdx若 ，式中 为插值节点，且 ，则2(0,1iixSn i 01naxb()()bafdxbafSa证明： 222(1)()()()() ()babbaabafxSdxfxSdf x 从而有 22()()()()bbaabafxdSxdfxSdx第三章 函数逼近与曲线拟
24、合1 ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。()sin2fx0,11(,)Bfx3(,)f解： ()i,f,伯恩斯坦多项式为250(,)()nnkkBfxfPx其中 ()(1)nkk当 时，1n0()()Pxx101(,)()()sinsin02BfPfxx当 时，33022122233()()(1)()()PxxxxPx3022333223(,)()1sin(1)sini62()51.04.98kkBffPxxxxxAA2 当 时，求证()f(,)nBfx证明：若 ，则()fx0,()nnkkBffPx26011(1)1(1)(1)!()()()nknkk knkkn kkkknkknknkkn
25、xxxxx 3证明函数 线性无关,n证明：若 2010,naxaxR分别取 ，对上式两端在 上作带权 的内积，得(,)k ,1()1x0112nan 此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，只有零解 a=0。函数 线性无关。1,nx4。计算下列函数 关于 的 与 ：()f0,1C1,f2f3(),122fxxm 与 n 为正整数，(3)(),fx104xe解：若 ，则(1)3(),f272()31)0fx在 内单调递增3(,)01max(),ff01a()mx,ff1162207()fxd若 ，则(2)1,02fx0112ma()()4xffd11220()36ffxd若 m 与 n
26、 为正整数()(1),fx当 时,00f2811()()()mnmnfxxx当 时,(0,)xn(0fx在 内单调递减fm当 时,(1)x(fx在 内单调递减。fn01(,)(max(),)()mnfffA102220()sin1si)inco!(1)mmnffxdtttdA12204211420(sincosin)()!mmfxdxttn若(4)10()xfxe当 时，,f299109()10)()(xxxfee在 内单调递减。()f,0110110901120220max(),2()()()5()347xxxfeffdeedfed5。证明 fgf证明： ()fgff6。对 ，定义1(),xgCab1,()(2) ()baffxdfga问它们是否构成内积。解：令 （C 为常数，且 ）(1)fx0则 0
