1、山东省济宁市 2017 年高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集 U=1，2，3，4，5，M= 3，4，5，N=2，3，则集合（ UN）M=（ ）A2 B1，3 C 2，5 D4，52复数 z 满足（32i）z=4+3i（i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3设 aR，“1，a，16 为等比数列 ”是“a=4”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4平面向量 与
2、的夹角为 ， ， ，则 =（ ）A1 B2 C D45为得到函数 的图象，只需要将函数 y=cos2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位6设 f（x ）为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f （x）=2 x+m（m 为常数），则 f（1）=（ ）A3 B1 C1 D 37在区间0， 上随机地取一个数 x，则事件“ 1tanx ”发生的概率为（ ）A B C D8执行如图所示的程序框图，那么输出的 S 为（ ）A 2 B C D39已知双曲线 （a0，b 0 ）的左、右焦点分别为 F1、F 2，焦距为2c（c0），抛物线 y2=2cx
3、的准线交双曲线左支于 A，B 两点，且AOB=120（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A B2 C D10定义在 上的函数 f（x），满足 ，且当 时，f（x）=lnx ，若函数 g（x）=f （x）ax 在 上有零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A B ln，0 C D二、填空题已知 ai0（i=1，2，3，n），观察下列不等式：； ； ；照此规律，当 nN*（n2）时， 12一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的体积为 13若 x，y 满足约束条件 则 的取值范围为 14已知圆 C1：x 2+y2=4 和圆 C2：（x2） 2+（y 2） 2=4，若点 P（a，b）（
4、a 0 ，b 0）在两圆的公共弦上，则 的最小值为 15若函数 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16（10 分）某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取 100 人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图（）若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（）在（）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意选取 2 人，求至少有一名男生的概率17（10 分）设 （）求 f（
5、x）的单调递增区间；（）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 ，求ABC 面积的最大值18（10 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，且平面PAC平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA=PC ，AB=2BC=2，ABC=60（）求证：PB平面 ACE；（）求证：平面 PBC平面 PAC19（10 分）已知 Sn 是正项数列a n的前 n 项和，且 2Sn=an2+an，等比数列bn的公比 q1 ，b 1=2，且 b1，b 3，b 2+10 成等差数列（）求数列a n和b n的通项公式；（）设 cn=anbn+（1 ） n ，记 T2
6、n=c1+c2+c3+c2n，求 T2n20（15 分）已知函数 （）若 a=0，求曲线 y=f（x）在点（1，f （1）处的切线方程；（）若x（2，0），f （x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（）当 a0 时，讨论函数 f（x ）的单调性21（20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 的离心率是 ，且直线 l1： 被椭圆 C 截得的弦长为 （）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l1 与圆 D：x 2+y26x4y+m=0 相切：（i）求圆 D 的标准方程；（ii）若直线 l2 过定点（3，0），与椭圆 C 交于不同的两点 E、F，与圆 D 交于不同的两点 M、N ，求|E
7、F|MN|的取值范围2017 年山东省济宁市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集 U=1，2，3，4，5，M= 3，4，5，N=2，3，则集合（ UN）M=（ ）A2 B1，3 C 2，5 D4，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出 N 的补集，然后求解交集即可【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，N= 2，3，则集合 UN=1，4，5，M=3，4，5，集合（ UN） M=4，5故选：D【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题2复数 z 满足（32i
8、）z=4+3i（i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：（32i）z=4+3i（i 为虚数单位）， （3 +2i）（3 2i）z=（3+2i）（4+3i），14z=6+17i ，可得 z= + i，则复数 z 在复平面内对应的点（ ， ）位于第一象限故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3设 aR，“1，a，16 为等比数列 ”是“a=4”的（ ）A充分不必要条件
9、B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据等比数列的性质求出 a 的值，结合集合的包含关系判断即可【解答】解：若“1 ，a，16 为等比数列”，则 a2=16，解得：a=4，故“1，a，16 为等比数列 ”是“a=4” 的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件，考查等比数列的性质，是一道基础题4平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 =（ ）A1 B2 C D4【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用两个向量的数量积的定义求出 的值，再平方即可求出答案【解答】解：平面向量 与 的夹角为 ， ， ，| |=2， =|
10、 | |cos ， =21 =1， 2=| |2+4 +4| |2=44+4=4， =2，故选：B【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的求法5为得到函数 的图象，只需要将函数 y=cos2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【考点】函数 y=Asin（x+ ）的图象变换【分析】把函数 的解析式化为 cos2（x ），根据把函数y=cos2x 的图象向右平移 个单位可得y=cos2（x ）的图象，得出结论【解答】解：函数 =cos（ 2x ）=cos（ 2x）=cos（2x ）=cos2（x ），故把函数 y=cos2x 的图象
11、向右平移 个单位可得 y=cos2（x ）的图象，故选 B【点评】本题考查函数 y=Asin（x+）的图象的变换，把函数的解析式化为 cos2（x ），是解题的关键6设 f（x ）为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f （x）=2 x+m（m 为常数），则 f（1）=（ ）A3 B1 C1 D 3【考点】函数奇偶性的性质【分析】由奇函数的性质可得 f（0）=0 可求 m，从而可求 x0 时的函数的解析式，再由 f（1）=f （1）可求【解答】解：由函数为奇函数可得 f（0）=1 +m=0，m=1，x0 时，f（x）=2 x1，f（ 1）=f（1）= 1故选 C【点评】本题主要考查了奇函数的
12、定义 f（x）=f（x）在函数求值中的应用，解题的关键是利用 f（0）=0 求出 m7在区间0， 上随机地取一个数 x，则事件“ 1tanx ”发生的概率为（ ）A B C D【考点】几何概型【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：0x，1tanx0x 或 ，则事件“1tanx ”发生的概率 P= = ，故选：A【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据三角函数的性质进行求解以及几何概型的概率公式是解决本题的关键8执行如图所示的程序框图，那么输出的 S 为（ ）A 2 B C D3【考点】程序框图【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件
13、就退出循环，从而到结论【解答】解：模拟执行程序，可得S=3，k=1满足条件 k2017 ，执行循环体， S= ，k=2满足条件 k2017 ，执行循环体， S= ，k=3满足条件 k2017 ，执行循环体， S=2，k=4满足条件 k2017 ，执行循环体， S=3，k=5满足条件 k2017 ，执行循环体， S= ，k=6观察规律，可知 S 的取值周期为 4，由于 2017=5044+1，可得：k=2016，满足条件 k2017，执行循环体，S=3，k=2017不满足条件 k2017 ，退出循环，输出 S 的值为 3故选：D【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属
14、于基础题9已知双曲线 （a0，b 0 ）的左、右焦点分别为 F1、F 2，焦距为2c（c0），抛物线 y2=2cx 的准线交双曲线左支于 A，B 两点，且AOB=120（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A B2 C D【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意，A（ ， c），代入双曲线方程，可得 =1，由此可得双曲线的离心率【解答】解：由题意，A（ ， c），代入双曲线方程，可得 =1，整理可得 e48e2+4=0，e1，e= +1，故选 A【点评】本题考查双曲线的离心率，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题10定义在 上的函数 f（x），满足 ，且当 时，f（x）=ln
15、x ，若函数 g（x）=f （x）ax 在 上有零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A B ln，0 C D【考点】函数零点的判定定理【分析】由题意，找出 x（1， 的解析式，画出 f（x）定义在 上的图形，利用直线 y=ax 与 f（x ）的交点个数得到 a 的范围【解答】解：因为当 时，f（x）=lnx，所以 x（1，时， ，所以 f（ ）= lnx，此时 ，故f（x）= lnx，x（1，所以 f（ x）在 上的图象如图，要使函数 g（x）=f（x）ax 在上有零点，只要直线 y=ax 与 f（x ）的图象有交点，由图象可得，k OAa0，其中 ，所以使函数 g（x）=f（x）ax 在 上
16、有零点，则实数 a 的取值范围是ln， 0故选：B【点评】本题考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法，数形结合解题的方法，关键是将零点个数转化为函数图象的交点个数解答二、填空题（2017济宁一模）已知 ai0 （i=1 ，2，3，n），观察下列不等式： ； ；照此规律，当 nN*（n2）时， 【考点】归纳推理【分析】由题意，知左边每一个式子是算术平均数，右边的式子是几何平均数，即几个数算术平均数不小于它们的几何平均数，即可得出结论【解答】解：由题意，知左边每一个式子是算术平均数，右边的式子是几何平均数，即几个数算术平均数不小于它们的几何平均数归纳推测当 nN*（n2）时，
17、故答案为： 【点评】本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础12一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的体积为 【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图知几何体是四棱锥为棱长为 2 的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出外接球的半径，由球的体积公式求出即可【解答】解：根据三视图知几何体是：四棱锥 PABCD 是棱长为 2 正方体一部分，直观图如图所示：则四棱锥 PABCD 的外接球是此正方体的外接球，设外接球的半径是 R，由正方体的性质可得，2R= ，解得 R= ，所以该棱锥的外接球的体积 V= = ，故答案为： 【点评】本题考查由三视图求几何体外接球的体积，
18、在三视图与直观图转化过程中，以一个正方体为载体是很好的方式，使得作图更直观，考查空间想象能力13若 x，y 满足约束条件 则 的取值范围为 【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可【解答】解：作出不等式组约束条件 对应的平面区域如图：z= ，则 z 的几何意义为区域内的点（1，0）的斜率，由图象知 z 的最小为 DA 的斜率： ，z 的最大值为 BD 的斜率： = ，则 z 2，故答案为： 【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法14已知圆 C1：x 2+y2=4 和圆 C2：（x
19、2） 2+（y 2） 2=4，若点 P（a，b）（a 0 ，b 0）在两圆的公共弦上，则 的最小值为 8 【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出两圆的公共弦，再利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：由题意，两圆的方程相减，可得 x+y=2，点 P（a ，b）（a0，b0）在两圆的公共弦上，a +b=2， = （ ）（a +b）= （10 + + ） =8，当且仅当 = ，即 b=3a 时，取等号， 的最小值为 8，故答案为 8【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题15若函数 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 【考点】函数单调
20、性的性质【分析】根据题意，由函数的单调性的性质可得 ，解可得a 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数 在 R 上单调递减，必有 ，化简可得 ，解可得 a1，即 a 的取值范围是 ；故答案为： 【点评】本题考查函数单调性的应用，关键是掌握函数单调性的定义三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16（10 分）（2017济宁一模）某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取 100 人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图（）若所得分数大于等于 80 分认定为优
21、秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（）在（）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意选取 2 人，求至少有一名男生的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；（）求出样本中的男生和女生的人数，求出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可【解答】解：（）由题意可得，男生优秀人数为 100（0.01+0.02）10=30人，女生优秀人数为 100（0.015+0.03 ）10=45 人（）因为样本容量与总体中的个体数的比是 ，所以样本中包含男生人数为 人，女生人数为 人
22、，设两名男生为 A1，A 2，三名女生为 B1，B 2，B 3，则从 5 人中任意选取 2 人构成的所有基本事件为：A1，A 2，A 1，B 1，A 1，B 2，A 1，B 3，A 2，B 1，A2，B 2，A 2，B 3，B 1，B 2，B 1，B 3，B 2，B 3共 10 个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件 C：“选取的 2 人中至少有一名男生”，则事件 C 包含的基本事件有：A1，A 2，A 1，B 1，A 1，B 2，A 1，B 3，A2，B 1，A 2，B 2，A 2，B 3共 7 个，所以 ，即选取的 2 人中至少有一名男生的概率为 【点评】本题
23、考查了频率分布问题，考查条件概率问题，是一道中档题17（10 分）（2017济宁一模）设 （）求 f（x）的单调递增区间；（）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 ，求ABC 面积的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理【分析】（）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（）根据 ，求解 sinA 和 cosA 的值，用余弦定理找出 bc 的关系，利用基本不等式求解ABC 面积的最大值【解答】解：（）化简可得 f（x）= 根据正弦函数的
24、性质可知： ，kZ ，是单调递增，得 ，kZ，f（ x）的单调递增区间为 ，k Z（）由 ，得 ， ，由余弦定理，a 2=b2+c22bccosA，得 3=b2+c2+bc2bc+bc=3bc，当且仅当 b=c=1 时，等号成立，bc 1， ，即ABC 面积的最大值为 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键同时也考查了余弦定理和基本不等式的运用属于中档题18（10 分）（2017济宁一模）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，且平面 PAC平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA=PC，AB=2BC=2，ABC=60（）
25、求证：PB平面 ACE；（）求证：平面 PBC平面 PAC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（）连接 BD，交 AC 于点 O，连接 OE，证明 OEPB，即可证明PB 平面 ACE；（）证明 BC平面 PAC，即可证明：平面 PBC 平面 PAC【解答】证明：（）连接 BD，交 AC 于点 O，连接 OE，底面 ABCD 是平行四边形，O 为 BD 中点，又 E 为 PD 中点，OEPB，又 OE平面 ACE，PB 平面 ACE，PB 平面 ACE（）PA=PC ，O 为 AC 中点，POAC，又平面 PAC平面 ABCD，平面 PAC平面 ABCD=AC，PO平面
26、PAC，PO平面 ABCD，又 BC平面 ABCD，POBC在ABC 中，AB=2BC=2，ABC=60， = ，AC 2=AB2+BC2，BCAC又 PO平面 PAC，AC 平面 PAC，POAC=O ，BC平面 PAC，又 BC平面 PBC，平面 PBC平面 PAC【点评】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，熟练掌握线线、线面、面面垂直之间的相互转化是关键19（10 分）（2017济宁一模）已知 Sn 是正项数列a n的前 n 项和，且2Sn=an2+an，等比数列b n的公比 q1，b 1=2，且 b1，b 3，b 2+10 成等差数列（）求数列a n和b n的通项公式；（）设 cn
27、=anbn+（1 ） n ，记 T2n=c1+c2+c3+c2n，求 T2n【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）令 n 等于 1 代入 2Sn=an2+an 中，即可求出首项 a1，然后把 n 换为n1，得到（a n+an1）（a nan11）=0，即可得出a n为以 a1=1 为首项，公差为 1的等差数列，再根据 b1，b 3，b 2+10 成等差数列，即可求出公比，数列 an和bn的通项公式可求；（2）求出 cn 的通项公式，分组求和，利用错位相减求和和裂项求和即可求出【解答】解：（）2S n=an2+an，当 n=1 时，由 2S1=a12+a1，且 an0 可得：a 1=1，当
28、 n2 时，2S n=an2+an2Sn1=an12+an1，（3 分）由 得：2a n=an2+anan12an1，即：（a n+an1）（a nan11）=0a n0a nan11=0a n为以 a1=1 为首项，公差为 1 的等差数列，a n=n （nN*）由 b1=2，2b 3=b1+（b 2+10），得 2q2q6=0，解得 q=2 或 （舍）， （）由（）得 ，记 ，则 ， = =（12n）2 2n+12， ， 【点评】本题考查学生灵活运用数列递推式的求解通项公式，以及错位相减法和裂项求和，属于中档题20（15 分）（2017济宁一模）已知函数 （）若 a=0，求曲线 y=f（x）
29、在点（1，f （1）处的切线方程；（）若x（2，0），f （x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（）当 a0 时，讨论函数 f（x ）的单调性【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出函数的导数，计算 f（1），f（1）的值，求出切线方程即可；（）问题转化为 在（ 2，0）恒成立，令 （2x0），根据函数的单调性求出 g（ x）的最小值，从而求出 a 的范围即可；（）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可【解答】解：（）当 a=0 时，f （x）=（x +1）e x，切线的斜率 k=f（1）=2e，又 f（1）=e ，y=f（x）在
30、点（ 1，e ）处的切线方程为 ye=2e（x1），即 2exye=0（）对x（2，0），f （x）0 恒成立， 在（2，0）恒成立，令 （2x0）， ，当2 x1 时，g（x）0，当 1x 0 时，g（x）0，g （x）在（2，1）上单调递减，在（1，0）上单调递增， ，故实数 a 的取值范围为 （）f（x） =（x+1）（e xa）令 f（x）=0，得 x=1 或 x=lna，当 时，f （x）0 恒成立， f（x）在 R 上单调递增；当 时，lna 1，由 f（x）0，得 xlna 或 x1；由 f（x）0，得 lnax1f（ x）单调递增区间为（ ，lna ），（ 1，+）；单调减区间
31、为（lna，1）当 时，lna 1，由 f（x）0，得 x1 或 xlna ；由 f（x）0，得1xlnaf（ x）单调增区间为（ ，1），（lna，+），单调减区间为（1，lna ）综上所述：当 时，f（x）在 R 上单调递增；当 时，f（x）单调增区间为（ ，lna），（1，+），单调减区间为（lna，1）；当 时，f（x）单调增区间为（ ， 1），（lna，+），单调减区间为（1 ，lna）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题21（20 分）（2017济宁一模）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：的离心率是 ，且直线
32、 l1： 被椭圆 C 截得的弦长为（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l1 与圆 D：x 2+y26x4y+m=0 相切：（i）求圆 D 的标准方程；（ii）若直线 l2 过定点（3，0），与椭圆 C 交于不同的两点 E、F，与圆 D 交于不同的两点 M、N ，求|EF|MN|的取值范围【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（）由椭圆的离心率公式及勾股定理即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程；（）（i）由题意求得直线 l1 方程，将圆转化成标准方程，利用点圆心到直线的距离公式，求得半径，即可求得椭圆方程；（ii）设 l2：y=k（x3），代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|EF|M
33、N|，根据二次函数的单调性即可求得|EF|MN|的取值范围【解答】解：（）由已知得直线 l1 过定点（a，0），（0，b），a 2+b2=5，又 ，a 2=b2+c2，解得 a2=4，b 2=1，故所求椭圆 C 的标准方程为 （）（i）由（）得直线 l1 的方程为 ，即 x+2y2=0，又圆 D 的标准方程为（ x3） 2+（y 2） 2=13m，圆心为（3，2），圆的半径 ，圆 D 的标准方程为（ x3） 2+（y 2） 2=5（ii）由题可得直线 l2 的斜率存在，设 l2：y=k （x3 ），与椭圆 C 的两个交点为 E（x 1，y 1）、F（x 2，y 2），由 消去 y 得（1+4k 2）x 224k2x+36k24=0，由0，得 ， ， ， = =又圆 D 的圆心（ 3，2）到直线 l2：kx y3k=0 的距离 ，圆 D 截直线 l2 所得弦长 ， ，设 ， ，则 ，y= 9x2+50x25 的对称轴为 ，在 上单调递增，0y 16， ，0|EF| |MN|8 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的标准方程，考查韦达定理，弦长公式及圆锥曲线与二次函数的综合应用，考查计算能力，属于中档题
