1、12003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式其中 、 分别表示)sin()si(21cosin lcS)(21台 侧 c上、下底面周长， 表示斜高或母线长.球体的体积公式： ，其中 R )cos()s(cs 34V球表示球的半径 .21in本试卷分第卷（选择题）和
2、第卷（非选择题）两部分 奎 屯王 新 敞新 疆第卷（选择题共 60 分）一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1已知 ，0） ， ，则 （ ）2(x4cosx2tgx（A） （B） （C ） （D）477747242圆锥曲线 的准线方程是 （ ）2cosin8（A） （B） （C） （D ）2cos2sin2sin3设函数 ，若21)(xf 0x，则 的取值范围是 （ )(0xf02）（A） （ ，1） （B） （ ， ） 1（C） （ ， ） （0， ） （D） （ ， ） （1， ）24函数 的最大值为 （ ）)cos
3、(insxxy（A） （B） （C） （D）2115已知圆 C： （ ）及直线 ： ，当直线 被 C 截4)2()(yax0al03yxl得的弦长为 时，则 （ ）32（A） （B） （C ） （D）212126已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A） （B ） （C） （D ）2249238R23R7已知方程 的四个根组成一个首项为 的的等差数列，则0)(nxmx 41（ ）|n（A）1 （B） （C ） （D ）4321838已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ ，0） ，直线 与其相交于 M、N 两点，71xyMN 中点的横坐标为 ，则此
4、双曲线的方程是 （ ）32（A） （B） （C） （D）1432yx142yx25x152y9函数 ， 的反函数 （ ）fsin)(,)(f（A） ，1 （B ） ，1xarcxarcsin（C） ，1 （D） ，1si1 110已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1） ，一质点从 AB的中点 沿与 AB 的夹角 的方向射到 BC 上的点 后，依次反射到 CD、DA 和 AB0PP3上的点 、 和 （入射角等于反射角） ，设 的坐标为（ ，0） ，若 ，2P34 4P4x214x则 tg 的取值范围是 （ ）（A） （ ，1） （B） （ ， ） （C
5、 ） （ ， ） （D） （ ， ）13252152311 （ ）)(lim1143122nnC（A）3 （B） （C） （D ）612一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）2（A） （B） （C ） （D）432003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第卷（非选择题共 90 分）二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 奎 屯王 新 敞新 疆 把答案填在题中横线上 奎 屯王 新 敞新 疆13 的展开式中 系数是 92)1(x9x14使 成立的 的取值范围是 log215如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地
6、图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种 奎 屯王 新 敞新 疆 （以数字作答）16下列 5 个正方体图形中， 是正方体的一条l对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 面 MNP 的图形的序号是 l（写出所有符合要求的图形序号）PMNlPNMlNlPMlMNPNlPM21 5344 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知复数 的辐角为 ，且 是 和 的等比中项，求z0|1|z|2z|z18 （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三
7、角形， ，侧棱1CBA 90ACB，D、E 分别是 与 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G21A（I） 求 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）1（II） 求点 到平面 AED 的距离ADEKBC1A1B1A FCG519 （本小题满分 12 分）已知 ，设0cP：函数 在 R 上单调递减xyQ：不等式 的解集为 R1|2|c如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 的取值范围620 （本小题满分 12 分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南 ）方向 300km 的海面 P102arcos(处，并以 20km
8、/h 的速度向西偏北 方向45移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ O北东Oy线岸OxPOr(t)P45海721 （本小题满分 14 分）已知常数 ，在矩形 ABCD 中， ， ，O 为 AB 的中点，点0a4ABaCE、F、 G 分别在 BC、CD、DA 上移动，且 ，P 为 GE 与 OF 的交点（如图） ，EFDG问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 奎 屯王 新 敞新 疆OPAGD FECB xy822 （本小题满分 12 分
9、，附加题 4 分）（I）设 是集合 且 中所有的数从小到大排列成的数列，na|2tsts0Z,即 ， ， ， ， ， ，31526394a1526a将数列 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：n35 69 10 12 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；求 10a（II） （本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过 150 分）设 是集合 ，且 中所有的数从小到大排列成的数nbtsrtsr 0|2,Ztsr列，已知 ，求 .160kk2003 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 9数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小
10、题 5 分，满分 60 分.1D 2C 3D 4A 5C 6B 7C 8D 9D 10C 11B 12A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.13 14 （-1，0） 1572 16三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 解：设 ，则复数 由题设)0sincorrz.2rz的 实 部 为 2,rz.1|).(12,:.012 4,|)(| 2 rrzz 即舍 去解 得整 理 得 即18 （）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角.设 F 为 AB
11、 中点，连结 EF、FC， .32arcsin.136sin .3,2.)4(.,1,31., ,122所 成 的 角 是与 平 面于 是 分 中在 直 角 三 角 形的 重 心是连 结 为 矩 形平 面又的 中 点分 别 是 ABDEGEBCFFDDEEGABCFABC（）解： , FABEF又 .362362, ,. , 1111 111 的 距 离 为到 平 面中在 的 距 离到 平 面是即平 面垂 足 为作 面且 面平 面平 面面又面 EDABKAKDE AEB 19解：函数 在 R 上单调递减xcy.0c不等式 .1|2|2| 上 恒 大 于在函 数的 解 集 为 Rcxy,| 2|
12、 .11.2,0.2(0,1,).xcxyRccPQc函 数 在 上 的 最 小 值 为不 等 式 的 解 集 为如 果 正 确 且 不 正 确 则如 果 不 正 确 且 正 确 则 所 以 的 取 值 范 围 为10（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法）20解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向.在时刻：（1）台风中心 P（ ）的坐标为yx,.20173,ty此时台风侵袭的区域是 ,)()22tr其中 若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有,601)(tr即.)(0222yx 22 )0173()013( tt4,8,)( tt 解
13、 得即答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.21根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点 P 到两点距离的和为定值.按题意有 A（2，0） ，B（2，0） ，C（2，4a） ，D（2，4a）设 (1)BECFDGk由此有 E（2，4 ak） ，F（24k，4 a） ，G（2，4 a4ak）直线 OF 的方程为： 0)(yx直线 GE 的方程为： 1从，消去参数 k，得点 P（x,y）坐标满足方程 022ayxa整理得 当 时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.)(212ayx2当 时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距
14、离的和为定长 奎 屯王 新 敞新 疆当 时，点 P 到椭圆两个焦点（ 的距离之和为定值21a ),21(),aa 2 奎 屯王 新 敞新 疆当 时，点 P 到椭圆两个焦点（ 0， 的距离之和为定2 ),0()2211值 2 .a22 （本小题满分 12 分，附加题 4 分）（）解：用(t,s)表示 ，下表的规律为2ts3（(0,1)= ）0125(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) （i）第四行 17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4) 第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i）解法一：
15、因为 100（1+2+3+4+13）+9，所以 (8,14)10a 166408142解法二：设 ，只须确定正整数 0210tsa.,0ts数列 中小于 的项构成的子集为 nt ,|20t t其元素个数为 .1)(,2)(00tCt依 题 意满足等式的最大整数 为 14，所以取040t因为 100 .16402,8s,181214 as由 此 解 得（）解： 6370kb令 0|2B,(|r tsrCBcMts其 中因 .22|2| 3710710711010 cBcc现在求 M 的元素个数： ,| tsrctsr其元素个数为 ： 310C .70|2| 10710 Bs某元素个数为 3|22
16、|: 1371027 rcc r某元素个数为 .453731010Ck12另法：规定 （ r,t,s） ， （3,7,10）2rts107362kb则 （0,1,2） 0121b 2C依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 3（0,1,4） （0,2,4） （1,2,4） （0,3,4） （1,3,4） （2,3,4） 24（0,1,9） （0,2,9） （ 6,8,9 ） （7,8,9） 29C（0,1,10） （0,2,10）（0,7,10） （ 1,7,10） （2,7,10） （3,7,10） +4722397()415.kCC2010 年普通高等学校招生全国统一考试江
17、苏卷数学全解全析数学试题参考公式：锥体的体积公式: V 锥体 = Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是高。13一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 。本卷满分160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形
18、码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。131、设集合 A=-1,1,3，B=a+2,a 2+4,AB=3，则实数 a=_.解析 考查集合的运算推理。3 B, a+2=3, a=1.2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i（其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为_.解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与
19、 3+2 i 的模相等，z 的模为 2。3、盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _.解析考查古典概型知识。 62p4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标） ，所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有_根在棉花纤维的长度小于 20mm。解析考查频率分布直方图的知识。100（0.001+0.001+0.004）5=305、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数 a=_解析考查函数的奇偶性的知识。g(x
20、)=e x+ae-x 为奇函数，由 g(0)=0，得 a=1。6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M124y到双曲线右焦点的距离是_解析考查双曲线的定义。 ， 为点 M 到右准线 的距离，MFedd1x=2，MF=4。d7、右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是_14解析考查流程图理解。 输出 。24131, 25163S8、函数 y=x2(x0)的图像在点(a k,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(a k,ak2)处的切线方程为： 当
21、 时，解得 ，2(),kkyaxa0y2kax所以 。1135,641a9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的42y距离为 1，则实数 c 的取值范围是_解析考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2，圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1， ， 的取值范围是（-13 ，13） 。|3c10、定义在区间 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作20,PP1x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_。解析 考查三角函数的图象、数形结
22、合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值，且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx= 。线段 P1P2 的长为3311、已知函数 ,则满足不等式 的 x 的范围是_。210(),xf()(fxf解析 考查分段函数的单调性。 2(1,2)x12、设实数 x,y 满足 3 8，4 9，则 的最大值是 。2yy243x解析 考查不等式的基本性质，等价转化思想。15， ， ， 的最大值是 27。2()16,8xy21,3xy241(),27xyxy43yx13、在锐角三角形 ABC，A、B 、C 的对边分别为 a、 b、 c， ，则6cosaC=_ 。tantCA解析 考查三
23、角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有：， ， ，1cos3C21costan2C2tan， = 4。tatt2ABttAB（方法二） ，26coscsbaCabb22236,a 2tntsincosincosins()1sinicoCBACABCA AB 由正弦定理，得：上式=2221413cs()66cCab 14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则 S 的最小值是_。2(S梯 形 的 周 长 ）梯
24、形 的 面 积解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。16设剪成的小正三角形的边长为 ，则：x22(3)4(3)01)11xxS（方法一）利用导数求函数最小值。，24(3)()1xSx 224(6)(3)()13xxS22 26)()()()3xx ，1()0,3Sx当 时， 递减；当 时， 递增；13()0,Sx 1,)3x()0,Sx故当 时， S 的最小值是 。x2（方法二）利用函数的方法求最小值。令 ，则：13,(23),(,)xtt2244186633tSt故当 时，S 的最小值是 。1,83xt2二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，
25、解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,2)、B(2,3) 、C(2,1)。(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足( ) =0，求 t 的值。OCtAB解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分 14 分。17（1） （方法一）由题设知 ，则(3,5)(1,)ABC(2,6)4.ABC所以 |10,|2故所求的两条对角线的长分别为 、 。10（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则:E 为 B、C 的中点，E（0，1
26、）又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为 BC= 、AD= ；20（2）由题设知： =(2,1)， 。O(3,5)BtOCt由( ) =0，得： ，CtAB(3,5)1从而 所以 。51,15t或者： ，2 Ot(3,)AB25|OCt16、 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1 ，AB=2，ABDC，BCD=90 0。(1)求证：PCBC；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离。解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力
27、。满分 14 分。（1）证明：因为 PD平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PDBC。由BCD=90 0，得 CDBC ，又 PD DC=D，PD、DC 平面PCD，18所以 BC平面 PCD。因为 PC 平面 PCD，故 PCBC。（2） （方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则：易证 DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。由（1）知：BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于 PC，因为 PD=DC，PF=FC，所以 DFPC，所以 DF平面 P
28、BC 于F。易知 DF= ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 。22（方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。因为 ABDC ，BCD=90 0，所以ABC=90 0。从而 AB=2，BC=1，得 的面积 。BC1ABCS由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积 。133ABCVSPD因为 PD平面 ABCD，DC 平面 ABCD，所以 PDDC 。又 PD=DC=1，所以 。2PCD由 PC BC，BC=1，得 的面积B。2PBCS19由 ， ，得 ，APBCAV1133PBCShVA 2h故点 A 到平面 PBC 的距离等于 。21
29、7、 （本小题满分 14 分）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m ） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度h=4m，仰角 ABE= ，ADE= 。(1)该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出 H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m） ，使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时， - 最大？解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1） ，同理： ， 。tantanHHADtanHABtanhDADAB=DB，故得 ，
30、解得：tth。tan41.240hH因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。（2）由题设知 ，得 ，dABtan,tHhdADBd2tatan() ()1t ()1hH 20， （当且仅当 时，取等()2()Hhdh()125dHh号）故当 时， 最大。5tan()因为 ，则 ，所以当 时， - 最大。02025d故所求的 是 m。d18、 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B ，右焦点为xoy1592yxF。设过点 T（ ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、 ，其中mt, ),(1yx),(2yxNm0, 。021y（1）设动点
31、P 满足 ,求点 P 的轨迹；42BF（2）设 ，求点 T 的坐标；31,21x（3）设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐9t标与 m 无关） 。解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。（1）设点 P（x，y） ，则：F（2，0） 、B（3，0） 、A （-3，0） 。由 ，得 化简得 。42B22()()4,xyxy92x故所求点 P 的轨迹为直线 。9（2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ） 、N（ ，31,21x 0,1y531）0921直线 MTA 方程为： ，即 ，0352yx
32、1yx直线 NTB 方程为： ，即 。039562联立方程组，解得： ，713xy所以点 T 的坐标为 。0(,)（3）点 T 的坐标为 9m直线 MTA 方程为： ，即 ，30yx(3)12myx直线 NTB 方程为： ，即 。96分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ，1592yx 123,x解得： 、 。223(80)4,)mM223(0),)mN（方法一）当 时，直线 MN 方程为：12x2222203(0)4808yxmm令 ，解得： 。此时必过点 D（1，0） ；0y1x当 时，直线 MN 方程为： ，与 x 轴交点为 D（1，0） 。12x所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D
33、（1，0） 。（方法二）若 ，则由 及 ，得 ，12224368m210m22此时直线 MN 的方程为 ，过点 D（1，0） 。x若 ，则 ，直线 MD 的斜率 ，12x10m22410830Mmk直线 ND 的斜率 ，得 ，所以直线 MN 过 D 点。2213604NDkmMDNk因此，直线 MN 必过 轴上的点（1，0） 。x19、 （本小题满分 16 分）设各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，已知 ，数列 是公差为anS312anS的等差数列。d（1）求数列 的通项公式（用 表示） ；nd,（2）设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式cnmk且3knm,都成立。求证： 的最大值为
34、 。knmSc29解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分 16 分。（1）由题意知： ， 0d11()()nSdand，232323(aa2211(),a化简，得： 211,a，2(),nnSddS当 时， ，适合 情形。2221()(1)nadn1n故所求 2()23（2） （方法一）， 恒成立。2222mnkScdnckdmnck2mnk又 ， ，且32229()()9故 ，即 的最大值为 。92c9（方法二）由 及 ，得 ， 。1ad1()nSad02nSd于是，对满足题设的 ， ，有km,。2222()9()mn kSddS所
35、以 的最大值 。cmax9另一方面，任取实数 。设 为偶数，令 ，则 符合条件，2k31,2mknknm,且 。2223()(1)()(94)mnSdd于是，只要 ，即当 时， 。2294ka9ka2mnkSaS所以满足条件的 ，从而 。cmaxc因此 的最大值为 。220、 （本小题满分 16 分）设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数 和函数)(xf ),1()(xfa，其中 对任意的 都有 0，使得 ，则称hx)(xh)1(2xh函数 具有性质 。)(xf)(aP24(1)设函数 ，其中 为实数。)(xf2ln(1)bxb(i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的
36、单调区间。P)(xf(2)已知函数 具有性质 。给定 设 为实数，)(xg)2(1212,xm， ，且 ，21mm若| |0，)(xh),1()所以对任意的 都有 ， 在 上递增。(0x()g,)又 。1212,)xm当 时， ，且 ，,m1212()(),()()xmxxm26综合以上讨论，得：所求 的取值范围是（0，1） 。m（方法二）由题设知， 的导函数 ，其中函数 对于任()gx2()(1)gxhx()0hx意的 都成立。所以，当 时， ，从而 在区间),1(x2 0g上单调递增。,当 时，有 ，(0,)m1211()()mxxmx，得 ，同理可得 ，所以12x2,12(,)x由 的单
37、调性知 、 ，()g()g12(),gx从而有| | |，符合题设。21x当 时， ，0m2()()mxx，于是由 及 的单调性知1211()x1,()gx，所以| | |，与题设不符。()gg)(g)2当 时，同理可得 ，进而得| | |，与题设m12,x()(21x不符。因此综合、得所求的 的取值范围是（0，1） 。m数学（附加题）21.选做题 本题包括 A、B、C 、D 四小题，请选定其中两题 ，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A 选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）BOCAD27AB 是圆 O 的直径，D
38、为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C，若DA=DC，求证： AB=2BC。解析 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结 OD，则：ODDC， 又 OA=OD，DA=DC ，所以DAO=ODA= DCO ， DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=30 0，DOC=60 0，所以 OC=2OD，即 OB=BC=OD=OA，所以 AB=2BC。（方法二）证明：连结 OD、BD。因为 AB 是圆 O 的直径，所以ADB=90 0，AB=2 OB。因为 DC 是圆 O 的切线，所以CDO=90 0。又因为 DA=DC，所以DAC=
39、DCA ，于是ADBCDO，从而 AB=CO。即 2OB=OB+BC，得 OB=BC。故 AB=2BC。B 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设 k 为非零实数，矩阵 M=,N= ，点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B 1、C 1，10k0A1B1C1 的面积是 ABC 面积的 2 倍，求 k 的值。解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分 10 分。解：由题设得 010kkMN28由 ，可知 A1（0，0） 、B 1（0，-2） 、C
40、 1（ ，-2） 。020112kk k计算得ABC 面积的面积是 1，A 1B1C1 的面积是 ，则由题设知： 。|k|2所以 k 的值为 2 或-2。C 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知圆 =2cos 与直线 3cos+4 sin+a=0 相切，求实数 a 的值。解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分 10 分。解： ，圆 =2cos 的普通方程为： ，2cos22,(1)xyxy直线 3cos+4sin+a=0 的普通方程为： ，340a又圆与直线相切，所以 解得： ，或 。2|3140|1,a28D 选修 4-5：
41、不等式选讲（本小题满分 10 分）设 a、b 是非负实数，求证： 。32()abab解析 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分 10 分。（方法一）证明： 3222()()()ba55()()abb243234()()()aba因为实数 a、b0， 243234)0, ()0bab所以上式0。即有 。32()29（方法二）证明：由 a、b 是非负实数，作差得3222()()()abba55()当 时， ，从而 ，得 ；ab5()a55()()0bb当 时， ，从而 ，得 ；b5ba所以 。32()必做题 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分。请在 答
42、题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22、 （本小题满分 10 分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%。生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损2 万元。设生产各种产品相互独立。（1）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列；（2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。解析 本题主要考查概率的有关知识，考查运算
43、求解能力。满分 10 分。解：（1）由题设知，X 的可能取值为 10，5，2，-3 ，且P（X=10）=0.8 0.9=0.72， P（X=5）=0.20.9=0.18，P（X=2）=0.8 0.1=0.08， P（X=-3）=0.20.1=0.02。由此得 X 的分布列为：X 10 5 2 -3P 0.72 0.18 0.08 0.02（2）设生产的 4 件甲产品中一等品有 件，则二等品有 件。n4n30由题设知 ，解得 ，4()10n145n又 ，得 ，或 。N3所求概率为 44.82.0892PC答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。23、 （本小题
44、满分 10 分）已知ABC 的三边长都是有理数。（1）求证 cosA 是有理数；（ 2）求证：对任意正整数 n， cosnA 是有理数。解析 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分 10 分。（方法一） （1）证明：设三边长分别为 ， ， 是有理数，,abc22osbcaA,bc是有理数，分母 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭22bca2性， 必为有理数，cosA 是有理数。22c（2）当 时，显然 cosA 是有理数；1n当 时， ，因为 cosA 是有理数， 也是有理数；2oscs1Acos2A假设当 时，结论成立，即 coskA、 均是有理数。()kcos(1)k当 时， ，1ncs1csoinkA，1o()s()co
