1、普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类 (三)本试卷分第卷(选择题 共 60 分)和第卷( 非选择题 共 90 分) ，考试时间为 120 分钟，满分为 150 分.第卷 (选择题 共 60 分)参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件 A、B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=Cknpk(1p) nk球的表面积公式 S=4 R2，其中 R 表示球的半径球的体积公式 V= R3，其中 R 表示球的半径4一、选择题(本大题共
2、12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集 U=R，集合 M=x| 2, N=x|logx7log 37,那么 M( UN)是2A.x|x2 B.x|x2 或 x3 C.x|x3 D.x|2x32.若函数 f(x)=lg(x2ax3)在 (,1)上是减函数，则 a 的取值范围是A.a2 B.a2C.a2 D.a23.已知|a |=3，|b|=2，a，b 的夹角为 60，如果(3a+5 b)(m ab)，则 m 的值为A. B.3 43C. D.429 24.已知相交直线 l、m 都在平面 内，并且都不在平面 ，内若 p:l、m 中至
3、少有一条与 相交;q: 与 相交.则 p 是 q 的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.不充分也不必要条件5.已知数列 10 ，10 ，10 ，10 ，它的前 n 项的积大于 105，则正整数 n12131n的最小值是A.12 B.11C.10 D.86.设 m,n 都是不大于 6 的自然数，则方程 C x2C y2=1 表示双曲线的个数是m6nA.16 B.15C.12 D.67.若复数 z 满足| z+4+3i|=3，则复数 Z 的模应满足的不等式是A.|z|8 B.|z|4 3i |C.2|z|8 D.5|z|88.在 100 件产品中，有 60 件正品，40 件次品
4、，从中有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 件，那么恰有 2 次抽到正品的概率是A.0.024 B.0.144C.0.236 D.0.4329.已知 cot =2,tan( )= ，则 tan( 2 )的值是5A. B.41 1C. D.8 810.直线 l:x+2y 3=0 与圆 C：x 2+y2+x6y+m =0 有两个交点 A、B，O 为坐标原点，若，则 m 的值是OBAA.2 B.3C.1 D. 211.用 6 种不同的颜色把下图中 A、B、C 、D 四块区域分开，允许同一色涂不同的区域，但相邻的区域不能涂同一色，则不同的涂法共有A.400 种 B.460 种C.480 种 D.496
5、种12.若 ，则 k 的取值范围1)(1limnnkA.0k B.k2 21C.|k| D. k 1第卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上)13.函数 y=x3 3x 的单调减区间是 _.14.如果 x,y 满足 x2+y22x+4y=0，那么 x2y 的最大值是 _.15.点 P(a,b)是单位圆上的动点，则点 Q(a+b,ab)的轨迹方程是 _.16.平面 ，A、B 分别为 、 内的定点，AB 与平面 成 30角， 、 间的距离为 1,Al 1,Bl 2,l1 ,l2 ，则 l1 与 l2 间的距离的取值范围是 _
6、.三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= sinxcosxcos 2x+ ,xR,求函数 f(x)的最小正周期 .318.(本小题满分 12 分)an,bn都是各项为正数的数列，对任意的自然数 n，都有 an、b n2、a n+1 成等差数列，bn2、a n+1、b n+12 成等比数列.(1)试问b n是否是等差数列？为什么？(2)求证：对任意的自然数 p,q(pq),b pq 2+bp+q22b p2 成立；(3)如果 a1=1,b1= ,Sn= ，求 .naa121 nSlim19.(本小题
7、满分 12 分)已知：正三棱柱 A1B1C1ABC 中，AA 1=AB=a,D 为 CC1 的中点，F 是 A1B 的中点，A1D 与 AC 的延长线交于点 M，()求证：DF 平面 ABC；()求证：AFBD；()求平面 A1BD 与平面 ABC 所成的较小二面角的大小.20.(本小题满分 12 分)科华电子商城是“奔达”牌电脑的特约经销单位，为了在来年的电脑销售中居于有利地位，2002 年 57 月，商城对“奔达”牌电脑的市场销售情况进行了摸底调查，经过对市场情报的分析，预计从 2003 年 1 月开始的 10 个月内(称为销售期) ，电脑的销售总量 y 与销售的时间 h(单位：月)近似地
8、满足函数关系 y= h(h+2)(18h) ，试问：910(1)哪个月的销售量超过 130 台？(2)在 2003 年的销售期内哪几个月的销售量最大？(3)在 2003 年的销售期内，商场每个月月初从厂家等量进货，为了保证该品牌电脑不脱销( 即商城始终有货可售)，每月应至少进多少台该电脑？21.(本小题满分 12 分)函数 f(x)=loga(x3a)( a0 且 a1)，当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时，Q(x2a ,y) 是函数 y=g(x)图象上的点.()写出函数 y=g(x)的解析式；()当 xa+2,a+3 时，恒有|f (x)g(x)|1，试确定 a 的取值范围.
9、22.(本小题满分 14 分)已知双曲线的两个焦点分别为 F1、F 2，点 F1 又是抛物线 y2=4x 的焦点，点 A(1，2)、B(3， 2)在双曲线上 .(1)求点 F2 的轨迹方程；(2)是否存在直线 l:y=x+m 与点 F2 的轨迹有两个公共点？若存在，求出实数 m 的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1.B2.解析：使 x2ax 3 在(,1)上单减且在( ,1)上恒为正，故令 1,(1) 2a( 1)30.a答案：C3.C 4.C5.解析：注意是前 n 项的积，而非和.答案：B6.A7.解析：利用数形结合，研究圆上的点到原点距离的范围.答
10、案：C8.D9.解析：用角的变换, 2 =( ) .答案：B10.B11.解析：分用三种颜色涂和用四种颜色涂两种，只有 A 与 D 两区可以同色.答案：C12.解析：由题意得1 1.k1答案：B二、填空题(每小题 4 分，共 16 分)13.1，1 14.10 15.x2=1+2y 16.1,2三、解答题(17、18、19、20 、21 题每题 12 分，22 题 14 分，共 74 分)17.解：f(x)= sin2x231cos= . 8)62sin(1sin分最小正周期为 T= = . 12分18.解：依题意 2bn2=an+an+1， an+12=bn2bn+12. (1)a n0，b
11、 n0，由式得 an+1=bnbn+1，从而 n2 时，a n=bn1 bn,代入2b n2= bn1 bn+bnbn+1,2b n=bn1 +bn+1(n2),b n是等差数列. 4分(2)因为b n是等差数列，b pq +bp+q=2bp.b pq 2+bp+q2 . 72)(pqpb分(3)由 a1=1,b1= 及两式易得 a2=3,b2= ，3b n中公差 d= ，2b n=b1+(n1)d= (n+1),2a n+1= (n+1)(n+2). 又 a1=1 也适合,a n= (nN ),2)1 ,)()(2nS n=21 )1(31n=2(1 ), =2. 12nlim分19.()证
12、明：取 AB 中点 E，连 EF、CE ，F 为 AB 中点，EFAA 1CC 1，且 EF= AA1= CC1.2D 为 CC1 中点，CD = CC1.又 AA1CC 1,EFCD 且 EF=CD，四边形 EFDC 为平行四边形，DFCE.DF 面 ABC，DF 面 ABC. 4分()证明：A 1A=AB，F 为 A1B 中点，AFA 1B.AA 1面 ABC，AA 1CE .又 DFCE，DFAA 1.A 1ACC1，B 1BCC1 为正方形，D 为 CC1 中点,A 1D=BD，DFA 1B.DF面 AA1B，DFAF.AF面 A1BD，AFBD. 8分()解：CDAA 1，CD= A
13、A1，D 为 A1M 中点，2又 F 为 A1B 中点，DFBM.由()知 DF面 AA1B，BM面 AA1B，BMA 1B，BMAB.A 1BA 为平面 A1BM 与面 ABC 所成二面角的平面角.即A 1BA 为平面 A1BD 与平面 ABC 所成的二面角的平面角.A 1ABB1 为正方形，A 1BA=45即为所求二面角大小.20.解：设 f(n)= n(n+2)(18n),90(1)第一个月的销售量为 f(1)= 130,3170当 n2 时，第 n 个月的销售量f(n)f(n1)= (3n235n 19),9根据题意，要 f(n)f( n1) 130,只要 (3n235n19)130，
14、10只要 3n235n+980,即 n7,即 n=5 或 6，314所以 2003 年 5、6 月份的销售量超过 130 台. 5分(2)由(1)知，销售量最大的月份应是 5 月份或 6 月份，f(6)f(5)f(5) f(4)= 0，926 月份的销售量最大. 8分(3)设每月应至少进该电脑 x 台，依题意 nxf (n),对一切 n(1n10) 恒成立,即 9x10( n8) 2+1000 对一切 n(1n10) 恒成立，x ,即 x112,10每月份应至少进该电脑 112 台. 12分21.解：() 设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上的点，Q (x,y)是 y=g(x)图象上的点
15、，则.20yax.,20ay=log a(x+2a3a),y=log a (xa). 51分() x 3a.0,f(x)与 g(x)在a+2, a+3上有意义，3aa+2,0a1.|f(x)g( x)|1 恒成立，|log a(x3a)(x a)|1 恒成立 )2(,0,1)(lo22ax对 xa+2,a+3上恒成立，令 h(x)=(x2a) 2a 2,其对称轴 x=2a.2a2,2a+2,当 xa+2,a+3时，h(x) min=h(a+2),h(x)max=h(a+3). ,6914,)(1maxin. 1225790分22.解：(1)F 1(1，0)，由题意,得|F 1A| F2A|=|
16、F1B|F 2B|. (*)A(1，2) ， B(3，2)，|F 1A|=2 ， |F1B|=2 ，设点 F2 的坐标为(x,y),2当(*)取|F 1A|F 2A|=|F1B|F 2B|时，则有|F 2A|=|F2B|，x=1.当(*)取|F 1A|F 2A|=|F2B|F 1B|时，则有|F 2A|+|F2B|=4 | AB|=4.F 2 的轨迹表示椭圆 =1.4)(8)(yxF 1,F2 不重合，除去点(1 ，0).A、B 两点到两焦点距离不等，除去点(1,4).综上，F 2 的轨迹方程为 x=1(y0,y4) 和 =1(y0,y4). 84)2(8)1(2x分(2)F2 的轨迹如图所示，当直线 l 与椭圆相切时符合题意，由 .14)2(8)1(,2yxm消 y，得 3x2+(4m10)x+2 m28m +1=0,由 =0，得 m=12 . 143分
