1、向量与三角交汇的全面解析广东 谭渊当今数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性向量是高中新增内容，具有代数与几何形式的双重身份它是新旧知识的一个重要的交汇点，是联系这些知识的桥梁因此，向量与三角的交汇是当今数学命题的必然趋势，下面举例说明一、向量与三角函数性质的交汇例 1 已知向量 ， ，且 ，求：a3cosin2x，bcosin2x，02x，（1） 及 ；b（2）若 的最小值是 ，求 的值()fxab 32解析：（1） ；b3cossincos2xxxa2 2ii cosx， ， 02xcos0xabcosx（2） ，即 ，()4f22()1f， 0xcos1x 当 时，当且仅当
2、时， 取得最小值 ，这与已知矛盾0()fx1 当 时，当且仅当 时， 取得最小值 ，01 cosf 2由已知 ，解得 2312 当 时，当且仅当 时， 取得最小值 ，1cosx()fx14由已知得 ，解得 ，这与 相矛盾34258综上所述， 即为所求点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类讨论的思想方法二、向量与三角函数求值、运算的交汇例 2 设 ， ， ， ， 与a(1cos,in)b(1cos,in)c(1,0)()(2)，a的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ，求 的值c1b2126si4解析： ，2(cos)incosa， ，2(1)iib1又 ， ，21cosa 21cosinb， 12cs， 021又 ， ，即 ，()2，02由 ，得 ；2cosincos由 ，得 ，1626， 2341sinsi62点评：本题以向量的夹角概念为背景，考查了三角函数求值的有关知识三、向量与三角变换的交汇例 3 已知 是三角形 的两个内角， ，其中 ， 为，ABCacos2ABi5sin2ABjij相互垂直的单位向量，若 ，求 的值324atn解析： （ ）2acosi5siABj225cossin4，1s()1()9428AB整理得 co()5cos()AB，4sincos5insAB即 9in0AB1ta
