1、2011 年 2 月初等数论题库第 1 页 共 24 页第四章 同余式三、解答题1、设 ， 与 是正整数，又设 ，证明同余方程(,)1amk0(mod)kxa的一切解 都可以表示成 ，其中 满足同余方程odkxxyy。()y解：设 是 的任意一个解，1x0()kam则一次同余方程 有解 ，01(od)yxy再由 ()kkkam得 ，1(od)ym即 可以表示成 ，其中 满足同余方程 ；x0(od)xyy1(mod)ky反之，易知如此形式的 是 的解。()kam2、解同余方程组 31od0475x解：这同余方程组的解与同余方程组 的解相同， 31od2,m547,xx但第二个同余方程 可化为 ,
2、31od5x2od5第四个同余方程 可化为 ,47mmx与 矛盾，所以原同余方程组无解.2od5x3、设素数 ,求同余方程 的解p21odlxp解：同余方程可写为 0ml2011 年 2 月初等数论题库第 2 页 共 24 页由于 ,所以上式等价于 或1,|x10modlxp10odlxp因此，对任意的 解为l,l解数为 2.4、求同余式 32()4560(od27)fxx解： 无公解0mod,()3f 有唯一解2x以 代入 得13xt()9)f 1(0()0mod9)ftf但 ，(0)odf5odf故 ， ，16m)t21(3)t1(3)t因此 是 的唯一解23,9x09fx将 代入 得xt
3、()od7)f2()0mod27)ftf但 ，()0od7f38故 ， ，289m)t 20()t2(3)t设 是 的唯一解。33,od7xx0od7fx5、 .421(od)解： 因为 ,所以同余式有 3 个解.,3将同余式化简为等价的同余方程 . )4(mod715x我们再解不定方程 ,4y得到一解 . 于是定理 4.1 中的 . (21,7)20x因此同余式的 3 个解为, )(modx, )13(mod65122011 年 2 月初等数论题库第 3 页 共 24 页.)132(mod09)132(od1x6、 .75(m)解：因为 ,所以同余式有 3 个解. 1,32将同余式化简为等价
4、的同余方程 . )107(mod257x我们再解不定方程 , 10yx得到一解 . (8,3)于是定理 4.1 中的 . 0x因此同余式的 3 个解为, )21(mod8x, )321(mod9.06)(3x7、 .)9(mod38271x解: 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理 5.1.我们先解同余式, , ,)7(1)8(od163x)9(mod156x得到 .于是所求的解为4od432x).9(od78)9(m510 )(28、判定 是否有 3 个解3205x解： 等价于 ，1od 240mod5x又 ，5322461xxx其中 的系数的都不是 5 的倍数，故方程没有 3 个解65
5、r2011 年 2 月初等数论题库第 4 页 共 24 页9、解同余式 5(mod2)x解： 180(mod25)x70()x45od2()x10、同余方程 的解的个数. 256490(mod6)解：因为 所以 等价于0325490(od6)x（1）2(3)x（2）5649od（3）20(m5)x解同余方程（1） （2） （3）得到1(od)2143(m5)x所以原方程的解得个数有 2*2*1=4 个。11、解同余式 89(od1)x解： (,1)同余式只有一个解11 是素数 ()1098modx2011 年 2 月初等数论题库第 5 页 共 24 页12、解同余方程组 2(mod3)57x解
6、：利用孙子定理有， , , ,10135M2135 135(od3)2(od)M 2m5 33(7)1(7)0 2mod0523(od105)x13、求整数 ，它被 3，5，7 除的余数分别是 1，2，3。n解： 是同余方程组 的解.1(mod)237n在孙子定理中，取 ，123,5,45101M123,则 135()5(mod105)n因此所求的整数 .210,tz14、求 的解3mod857x解： ；230M而 所以151od21mod2M2011 年 2 月初等数论题库第 6 页 共 24 页同理 而 所以210M21mod321od3M，而 所以3635 5所以 01310671mod
7、30iiix15、解同余方程组(mod)527(1)x解：取 ，都是素数，满足条件。1234,345775,357MM我们来求 .由于 知，1j1()(1)mod)，1mod因此可取 .由 知，2()(5)125M因此可取 ，由 知，34(od7)1134(mod7)因此可取 .由 知，2456(m1)1146()M因此可取 .所以同余方程的解为：，(571)(371)(351)2(357)2(mod3571)x即 3826049mod16、解同余方程 438035x 12011 年 2 月初等数论题库第 7 页 共 24 页解：因为 ，所以同余方程 等价于同余方程组3571432890mod
8、5x2733分 别 解 同 余 方 程 ， 得 到 解 112,4od5x213,6m7x这 样 ， 同 余 方 程 的 解 可 由 下 面 的 方 程 组 决 定 ：12od5,odxaxa其中 或 ， 或 或 .利用孙子定理，取1a423625,7,m 112mod5,1od7MM23,则 153xa12 1将 ， 所 有 可 能 的 取 值 代 入 上 式 ， 得 到 方 程 的 全 部 解 是23456531mod5624159od326m5xx17、解同余式 81x解： ,1同余式只有一个解是素数2011 年 2 月初等数论题库第 8 页 共 24 页1098mod1x（ ）18、解
9、同余方程： 357x解：若 ，则 成立，反之，若0odf000modfxbx，则 成立；0mxbx19、解同余方程 1403618(od5).解：由 Fermat 定理得， 因此，原同余方程等价于5(),x 230(mod5)x将 分别代入方程 中进行检验，可得原同余方程0,12(mod)x230(m)x的解是： 520、解同余方程 3x210od8（ ）解：方程 有一解 ，m（ ） x0od3故 ， ， ， , 13t3f-x2 f-()12f(0)2f解 ，得 ，220(od)1t()， ， ， ,1tt6362f(6f解 ，得 故 ， ，26(m)3t0od)23t3x6t再解 ，得34
10、0tod431m故 344t1,x原方程的解为 38121、1、求同余方程 的所有解.96(mod5)x解：因为 且 整除(,5)32011 年 2 月初等数论题库第 9 页 共 24 页所以同余方程 恰有三个解.96(mod15)x先求同余方程 的唯一解，显然3202(od5),4(mod5)xx+所以原同余方程 的三个解为96(od1)4m5,9(1),(1)xxx2、求一次同余方程组 2(od35)91470xyz解：由于 、 、 两两不互质，所以不能直接用孙子定理，原一次同余方程组与一351420次同余方程组 等价(mod5)9(7)od45xx显然，去掉相同的一次同余方程后，此一次同
11、余方程组又与一次同余方程组等价，由于 能被 整除，此一次同余方程组又与一2(m)od79(4)x 4,2（ ） 92（ ）次同余方程组 等价(od5)27m4x此时 两两互质，由孙子定理知，原一次同余方程组有唯一解574、 、 12,308,540,5,(od)13,i iiNM=求得 ,1236所以 为原一次同余8075087(mod140)x+方程组的解. 2011 年 2 月初等数论题库第 10 页 共 24 页3、解同余方程组351mod72xy解: 194od7y52my再代入 31od7xy04x即方程组的解是 4,2mod7xy4、解同余方程 .673解： od2x572od3x
12、348m10od3x5od25、 解同余式. 10(m15)x解：因为 ,所以同余式有解,而且解的个数为 . 2,4533又同余式等价于 即 . (odx415xy我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是 ,0即定理 4.1 中的 . 01因此同余式的 个解为3,1mod45x,0232011 年 2 月初等数论题库第 11 页 共 24 页.45102mod40od253x6、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人，求兵数.解： ，此时：1234(mod5),(od6),(od7),(od1)xbxbxbxb5
13、120m16M2738530461得1(mod),2,34iiiM2=3,M=故： 134468501(mod2310)xbb又 2,32367()x7、解同余方程.53140(mod5)x解： 原同余方程等价于同余方程组， (1)53140(od9)x. (2)5m5先解同余方程(1).容易验证，同余方程 的解是 .53140(od3)x2(od3)x令 并代入方程(1)，得到23xt2011 年 2 月初等数论题库第 12 页 共 24 页， (3)5(23)()140(mod9)ttx容易看出，这是一个对于任何整数 都成立的同余式，所以，方程(3)的解是t，于是方程(1)的解是0,12(
14、mod3)t. (4)2,58(mod9)x再解同余方程(2).用 去验证，得到(2)的解是0,1234x.,(od5)x因此，原同余方程的解是下面六个同余方程组的解：，11(mod9),25,8xa.22,利用孙子定理解这六个方程组，记 1212129,5,4,5,9,1mMM则.1209(mod45)xa将 和 的不同取值代入，得到所求的解是1a2，10.291(od45)x，2.m，310.594(od5)x，4.23，510.896(mod45)x2011 年 2 月初等数论题库第 13 页 共 24 页.610.8927(mod45)x8、解同余方程 .256490(od6)x（理由
15、：考察孙子定理，解同余方程组.）解：因为 ，所以，原同余方程等价于同余方程组03 2256490(mod3)125x 分别解同余方程 ，得到解1,31231,(mod3),45x这样，原同余方程的解可由下面的方程组决定： 123od4m5xa其中 .利用孙子定理，令123,;,1;aa123,5,60m1230,M则 123456(od0)xa将 所有可能的取值带入上式，得到原方程的全部解是123,a110(m)4()51369od60()1()x9、判定同余方程 是否有三个解.320(od7)x（理由：考察素数模的同余方程的解的个数，应用第四节的 定理及定理 4.）Fermat解：因为 ，所
16、以，原方程与41mod734240(od7)x2011 年 2 月初等数论题库第 14 页 共 24 页即 等价.30(mod7)x由于 ，7342223416xxx所以，由定理 4 可知，原方程的解数小于 .10、有一对士兵，若三人一组 则余一人，若五人一组，则余 2 人，若十一人一组，则余 3人，已知这对士兵不超过 170 人，问这对士兵有几人？解：设士兵有 人，则由题意得x，1(mod 3)x-(od 5)x由孙子定理得 故 人.3(mod1)x586812、求一个最小的自然数 n，使得它的 是一个平方数，它的 是一个立方数，它的 是121315一个 5 次方数.解：可设 ，由条件得32
17、yn1mod,0od3,0mod5;012,由孙子定理得 故 .5od30od306od30,10652n13、解同余方程组 51m723odxy解： 194mod7y547y2mod再代入 351od7xy3107x4od即方程组的解是 4,2m7xy2011 年 2 月初等数论题库第 15 页 共 24 页14、证明不定方程 331249xx没有整数解.证明：取 .因为 ， ，于是同余式9m310(mod)312349x无解，由此知原方程无整数解.15、解同余方程 .2150od7fx解：因 ，先解 ，用逐一代入法得解 ；再解2753m30mod3x，用逐一代入法得 的解为 ，对于0odf
18、x5fx,25，令 代入 得 ，于是m5xt0od2t，即 是 的一个解，对于2251xt10odfx，令 代入 得 ，于是odxtm5fx45t，即 是 的一个解； 最2245xtod22fx后构造同余方程组 ， ， ， ，由孙子定理得1od3xb2xb10b2,的两个解 .0m7fx0,7516、设 是素数， ，证明：pap.1()2(1)mod!paxbp是同余方程 的解.modap解：首先易知 是整数，又由 知方程 解唯一，!)1()2(1)(ab,1apodaxbp故只须将 代入 验证它是同余方程的解odaxx即可.17、证明：同余方程 有解的充要条件是12.mnaxaxb2011
19、年 2 月初等数论题库第 16 页 共 24 页.12,.,|namdb若有解，则恰有 个解， .1ndmod解：必要性显然，下证充分性.当 时，由定理 2 知命题成立.假设 时结论已真，考虑nk，令 ， ，因为同12.naxaxb11,ad1,kad余方程 有解，其解数为 ， ，记 ，则解数为 ，11odk dmo1m.现在固定一个解 ，由归纳假定知 有解，其modkx 12.okxxb解数为 ， ，从而 有解，其解数为1k12.dnaa， .由归纳原理知命题对于一切 成立.1kmod118、解同余方程： . 231015x解：因 1057同余方程 的解为 ，2od3mod3x同余方程 的解
20、为 ，305x0,5同余方程 的解为 ，217267x故原同余方程有 解， .4mod作同余方程组： ， ， ，其中13xb2od5b3modb123,0,6b由孙子定理得原同余方程的解为 .,810x19、解同余方程组： 。)25(mod138x解：因为 ， ， .15,8|,|138,251|故原同余方程组有解，解数唯一 .,60将第一个同余方程的解 ，代入第二个同余方程185xtZ2011 年 2 月初等数论题库第 17 页 共 24 页得 ，即 ， ，13mod8t21238,ttZ2530xt代入第三个同余方程 得 ，即 ， ， od,tZ41360xt所以原同余方程组的解为 .4m
21、6x20、讨论并解答：7od15236x（ ）（ ）（ ）解： 且153（ ， ） m（ ）且（ ， ） 71od（ ）且2（ ， ） 2（ ）原同余式组等价于37od52m163od7xx（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）25x（ ）（ ）（ ），3710M， ，15m2315Mm由 得1od3M， （ ） i同理， =1， =12， ， 5125od10x（ ）14mod0（ ） 37od0（ ）21、解同余式 89（ ）解： 1864x！5od（ ）22、解同余式 （用三种方法解）89m1x（ ）2011 年 2 月初等数论题库第 18 页 共 24 页解： 81（ ， ）同余式只有一
22、个解法 1：11 是素数， 1098mod1x（ ）法 2： 8976549x（ ） ！ 58（ ） （ ）法 3：（求解不定方程 ）x1y23、解同余式 326710(mod3)xx解：设 ()f由定理 3 知解同余式 ()fx可先分别解以下两同余式()0mod5,fx0od6,容易验证第一个同余式有解 12(m5)x第二个同余式有解 ,()由孙子定理，当 取 时，得到a12()0,(),1,(2),5()0mod3fx的个解 1265706mod3xa24、求相邻的四个整数，它们依次可被 整除22， 3， 及解：设这四个相邻的整数是 ，按要求应满足1,xx, ,210(mod)x20(od
23、), .5m7x所以，这是一个解同余方程组问题，这里 2222134,5,7m两两既约.满足定理 1 的条件. 212357MAA,237MA242011 年 2 月初等数论题库第 19 页 共 24 页由 知21(mod)MA12(mod)MA因此可取 ，由120743知 因此可取124(3)12由 知223 od5A 1233(od5)MA1123(m)M 11264(m)因此可取 ，由943()8od7知 11248(od7A435)120(mM因此可取 ，因而由定理 1 知492222 22357157()0379(1)35(19)(mod357)xAAAAA08634(od0所以满足
24、要求的四个相邻整数有无穷多组，它们是,29341,29410,tt2935410,2935410tt0,t最小的这样的四个相邻的正整数是 .29348， ， ，25、解同余式 ，(mod35)fx39xfx解：上式与同余式组 等价，0()7f容易证第一个同余式有两个解即： ，第二个同余式有三个解即14(mod5)x，故题中所求同余式 ， 有 6356(mod7)x， ， 03f43892xfx个解，即同余式组的解 ， ， ，1(od5)xb1(7)bx1,5b由孙子定理得 ，以 ， 的值分别代入即得全部解：2+23126493()x， ， ， ， ，2011 年 2 月初等数论题库第 20 页
25、 共 24 页26、求同余方程 的解.21(mod)lx解：当 时，解数为 ，l(2当 时，解数为 ,2,)x当 时，同余方程可写为3l(10(mod2)lx由于 是解时，必可表为 .带入上式得x2y即4(1)0(mod)ly2()()l所以必有 2,l因此，解 必满足x1,()l所以原方程的解是 解数为 .+2,(mod2)lll， 427、解同余方程组 1234(mod5),(od6),(od7),(od1)xxxxbbbb解：由题意可知： 16730,42M234518,5630,56710M解得 1(mod),2,34iMi得 1234,11234346850(od2310)xbb即为
26、所求2011 年 2 月初等数论题库第 21 页 共 24 页28、求 的整数解1(mod3)527()x解： 1234,1575m由孙子定理得： 123438,1625MM， ，5(od)(mod)223515316(7)(7)445ododM038(1)21652()453x6m5所有整数解为： 016()xtZ29、解同余方程3250(mod16)x解：同余方程(6)即是 320(od16)x解同余方程1620(mod3)x2011 年 2 月初等数论题库第 22 页 共 24 页，21(mod3)y得到 ，因此方程的解是2(mod3)y02164(od16)xA30、解同余方程组 35
27、8(mod47)10xy解：消去 得 解得y841(mod7)x()代入原方程组中的第二式得 od47y即 ()1od47xy31、 60(mod25)x解 同 余 方 程解： 1760(od25)341()x有 9x则 243()70(od25)x所以 7mod532、解同余方程的解 2(od)3817x解： 0785M，4,6321 ，1,，)280mod05（x2011 年 2 月初等数论题库第 23 页 共 24 页)280(mod136733、解同余方程： 210(mod15)x解：因 ，同余方程 的解为同 ，同余方程1053723(3)x1(mod3)x的解为 ，同余方程28(od
28、5)x,的解为 ，故原同余方程有 4 解， .作同026(od7)x 05余方程组： ， ， ，其中 ， ，1(m3)xb5b3()b1b2,3=.32b=34、解方程 18(od17)x解： 23m38(mod21)y-94(2)49yz-od9()zw01(3)wA最后同余方程无解，所以原方程无解.35、化简同余方程 18510243(mod7)xx+-解： 先去掉系数项为 7 的项得： 20x+做多项式除法得：150783243243() (2) xxxxx-+-=-+-由此得到等价同余方程： 4320(mod7)-+-直接代入 ，计算知同余方程无解.0,1,x=36、解同余方程 328+4530od7x2011 年 2 月初等数论题库第 24 页 共 24 页解：原同余方程即是 32+-0mod7x用 ，每个代入验证，得到它的解是0,1,x123od7
