1、新课标人教版课件系列 高中数学 必修 5 3.4.1 基本不等式 -均值不等式 审校：王伟 教学目标 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 教学重点： 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 如果 a， b R， 那么 a2+b22ab （当且仅当 a=b 时取“ =”） 证明： 222 )(2 baabba 0)(0)(22babababa时，当时，当 abba 222 1指出定理适用范围： Rba ,2强调取“ =
2、”的条件： ba 定理： 如果 a, b R+，那么 abba 2（当且仅当 a=b 时，式中等号成立） 证明： 22( ) ( ) 2a b a b abba 2即： abba 2当且仅当 a=b时 abba 2均值定理： 注意： 1适用的范围： a, b 为非负数 . 2语言表述： 两个非负数 的算术平均数 不小于 它们的几何平均数。 称 2ab 为 a， b 的算术平均数， 3.我们把不等式 (a0,b0) 2ab ab 称为基本不等式 称 ab 的几何平均数。 为 a， b 2ab把 看做两个 正数 a， b 的等差中项， ab 看做 正数 a， b的等比中项， 那么上面不等式可以叙述
3、为： 两个正数的等差中项 不小于 它们的等比中项。 还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢 ? 几何直观解释： 令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为和 的两条线段，然后比较这两条线段的长。 2abab具体作图如下： （ 1）作线段 AB=a+b，使 AD=a， DB=b, （ 2）以 AB为直径作半圆 O； （ 3）过 D点作 CD AB于 D，交半圆于点 C （ 4）连接 AC， BC， CA，则 2abOC C D a baba+ b2ba O DCBA当 ab时， OCCD，即 2ab ab 当 a=b时， OC=CD，即 2ab ab 例 1已知 ab0，求证
4、： ，并推导出式中等号成立的条件。 2baab 证明：因为 ab0，所以 ， 根据均值不等式得 0 , 0baab22b a b aa b a b 即 2baab 当且仅当 时，即 a2=b2时式中等号成立， baab因为 ab0，即 a， b同号，所以式中等号成立的条件是 a=b. 例 2（ 1）一个矩形的面积为 100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ （ 2）已知矩形的周长是 36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 分析：在（ 1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的 2倍的最小值； 在（ 2）中，矩形的长与宽
5、的和的 2倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。 解：（ 1）设矩形的长、宽分别为 x(m)，y(m)，依题意有 xy=100(m2)， 因为 x0， y0，所以， 2xy xy 因此，即 2(x+y)40。 当且仅当 x=y时，式中等号成立， 此时 x=y=10。 因此，当这个矩形的长与宽都是 10m时，它的周长最短，最短周长是 40m. （ 2）设矩形的长、宽分别为 x(m)， y(m)， 依题意有 2(x+y)=36，即 x+y=18， 因为 x0， y0，所以， 2xyxy 因此 xy 9将这个正值不等式的两边平方，得 xy81, 当且仅当 x=y时，式中等号成立， 此时 x=y=9，
6、 因此，当这个矩形的长与宽都是 9m时，它的面积最大，最大值是 81m2。 规律： 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 例 3求函数 的最大值，及此时 x的值。 223( ) ( 0 )xxf x xx 解： ，因为 x0， 3( ) 1 ( 2 )f x xx 所以 332 2 2 2 6xxxx 得 3( 2 2 6x x ) -因此 f(x) 1 2 6当且仅当 ，即 时，式中等号成立。 32xx2 32x 由于 x0，所以 ，式中等号成立， 62x 因此 ，此时 。 m a x( ) 1 2 6fx 62x 下面几道题的解答可能 有错 ，
7、如果 错了 ，那么 错 在哪里？ 已知函数 ，求函数的最小值和此时 x的取值 xxxf1)( 运用均值不等式的过程中，忽略了“ 正数 ”这个条件 已知函数 ， 求函数的最小值 )2(23)( xxxxf用均值不等式求最值，必须满足“ 定值 ”这个条件 的最小值。，（其中求函数 20s i n4s i n 3 y。函数的最小值为解：4,4s i n4s i n2s i n4s i ny用均值不等式求最值 ,必须注意 “ 相等 ” 的条件 . 如果取等的条件不成立 ,则不能取到该最值 . 1.已知 x0, y0, xy=24, 求 4x+6y的最小值，并说明此时 x,y的值 4 已知 x0,y0,且 x+2y=1,求 的最小值 yxu 11 2 已知 a+b=4,求 y=2a+2b的最小值 练习题： 当 x=6,y=4时 ,最小值为 48 最小值为 8 222()f x xx3.已知 x0，求函数 的最大值 . 3 2 2
