1、数学物理方程,第二章 热传导方程,王炯 华南理工大学土木与交通学院,目录,热传导方程及其定解问题的导出初边值问题的分离变量法柯西问题的傅里叶变换法定解问题解的唯一性与存在性解的渐近性态,10/26/2019,2,第2章 热传导方程,10/26/2019,3,2.1 热传导方程及其定解问题的导出,热传导方程,10/26/2019,4,问题背景 热传导方程是一种典型的抛物型方程。它可以描述空间中热量传导、分子扩散等物理现象。,热传导方程的导出,10/26/2019,5,物理模型 考察空间某物体G的热传导问题。以函数(,)表示物体G在位置(,)和时刻t的温度。研究(,)随时间和空间变量的变化规律。,
2、傅里叶热传导定律 物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与物体温度沿曲面dS的法线方向的方向导数/成正比，即,其中(,)为热传导系数，它应取正值。,热传导方程的导出,10/26/2019,6,在物体G内任取一封闭曲面，它所包围的区域记为。根据傅里叶热传导定律可知，从时刻t1到t2流入此闭曲面的全部热量为,由于热量流入，若时段( 1 , 2 )内物体温度从(,1)变为(,2)，它所应吸收的热量为,热传导方程的导出,10/26/2019,7,根据热量守恒定律，由上述两式可得,假设关于变量,具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数。利用高斯公式，上式可化为,热传导方程
3、的导出,10/26/2019,8,由于时刻t1,t2及区域都是任意的，可得,上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程。,如果物体是均匀的，此时, , 均为常数，记 = 2 ，即得,此式即为标准形式的齐次热传导方程。,热传导方程的导出,10/26/2019,9,若所考察物体内部有热源，则热传导方程推导中还需考虑热源的影响。设热源在单位时间单位体积中所产生热量为(,)，则热量平衡方程应化为,基于上式，并通过类似的推导可得,其中= 。该方程称为非齐次热传导方程。,定解问题的提法,10/26/2019,10,若已知物体在边界上的温度状况（或热交换状况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻
4、的温度。因此，热传导方程的定解问题中也需要提出初始条件与边界条件。,初始条件的提法,其中(,)为已知函数，表示物体在t=0时刻的温度分布。,思考：初始条件中是否还需要给出 (,0)的值？,定解问题的提法,10/26/2019,11,边界条件的提法：,第一类边界条件（狄利克雷边界条件）：,设物体表面的温度随时间的变化是已知的。此时边界条件的数学形式为,其中表示物体的边界曲面，(,)是定义在 , , 0上的已知函数。,定解问题的提法,10/26/2019,12,边界条件的提法：,第二类边界条件（诺伊曼边界条件）：,设热量在物体表面各点的流速是已知的。根据傅里叶定律 =/可知，这种情况下温度u在表面
5、上的方向导数是已知的，即,其中/表示u沿边界上的单位外法线方向n的方向导数，(,)是定义在 , , 0上的已知函数。,定解问题的提法,10/26/2019,13,边界条件的提法：,第三类边界条件：,考察物体放在介质（如空气）中的情形。我们所能测量到的是与物体表面所接触的介质的温度 1 。而 1 与物体表面的温度往往并不相同。,此时需要应用另一热传导定律（牛顿定律）：从物体流到介质中的热量和两者的温度差成正比,其中 1 称为热交换系数，也取正值。,定解问题的提法,10/26/2019,14,边界条件的提法：,第三类边界条件：,考虑流过物体表面 的热量，从物体内部一侧来看它应由傅里叶定律确定，而从
6、物体与介质的接触面来看，它应由牛顿定律所确定，因此成立,上述边界条件可进一步写为,其中 为已知常数。,定解问题的提法,10/26/2019,15,热传导方程的柯西问题：,如果所考察的物体体积很大，而所需知道的是在较短时间和较小范围内温度的变化，边界条件的影响可以忽略。此时可提出热传导方程的柯西问题：,考虑：是否还可以给出 的初始条件？,低维热传导方程,10/26/2019,16,一维热传导方程：,例如当物体是均匀细杆时，假如它的侧面是绝缘的，又温度分布在同一截面是相同的，则温度函数 u 仅与坐标 x 和时间 t 有关，于是可得,二维热传导方程：,类似地，如果考虑薄片的热传导，且假设薄片的表面绝
7、热，则可得,扩散方程,10/26/2019,17,与热传导方程类似地方程也可以在研究分子扩散的过程中（如气体的扩散、液体的渗透、半导体材料中杂质的扩散等）得到。,扩散定律与质量守恒定律,其中(,)为扩散物质的浓度，dm表示时段dt内沿法线n通过面积ds的物质的质量，(,)为扩散系数。,扩散方程,10/26/2019,18,通过比较可知，扩散过程中所满足的物理规律与热传导过程中所满足的物理规律具有非常类似的形式。,基于上述物理规律，并通过与热传导方程类似的推导，可得如下扩散方程,如果为常数，记= 2 ，则扩散方程就化为与热传导方程完全相同的形式。,第二章,10/26/2019,19,2.2 初边
8、值问题的分离变量法,分离变量法,10/26/2019,20,考虑下述一个空间变量的热传导方程的初边值问题：,其中 h 为正常数。,我们将采用分离变量法对上述初边值问题进行求解。,分离变量法,10/26/2019,21,令,其中 和 为仅依赖于 x 和 t 的函数。,将上式代入方程 2 =0，得到,分离变量法,10/26/2019,22,首先考虑方程 +=0,根据边界条件,综上，需求解下述常微分方程,分离变量法,10/26/2019,23,情形 A：,此时方程通解可以写成,为了满足边界条件，必须,因为,分离变量法,10/26/2019,24,情形 B：=,此时方程通解可以写成,为了满足边界条件，
9、必须,对于情形A和情形B，方程没有分离变量形式的非平凡解。,分离变量法,10/26/2019,25,情形 C：,此时方程通解可以写成,由边界条件,由边界条件,为了得到非平凡解，应使0，从而应有,分离变量法,10/26/2019,26,情形 C：,令= ，则有方程,该方程具有可列无穷多个正根 0 =1,2, 。这些根满足条件,分离变量法,10/26/2019,27,由以上结果可知特征问题,存在着无穷多个固有值,及相应的固有函数,分离变量法,10/26/2019,28,将= 代入方程 + 2 =0，可得,由 ()和 ()，我们得到一列可分离变量的特解,由于方程和边界条件都是齐次的，故可利用叠加原理
10、构造级数形式的解,需要确定系数 的值，使得上述解满足初始条件。,分离变量法,10/26/2019,29,为了使 t=0 时(,)取到初值()，应成立,为了确定系数 ，下面证明固有函数系 = 在0,上正交：,设固有函数 和 分别对应于不同的固有值 和 ，则有,以 和 分别乘以上面的第一式和第二式，得到,分离变量法,10/26/2019,30,上两式相减后在 0, 上积分，有,上式通过分部积分，并利用边界条件，有,分离变量法,10/26/2019,31,另一方面，通过计算可得,于是，在式子 的两端乘以 ，再进行积分，利用函数正交性可得,由此即得原热传导方程初边值问题的形式解,谢谢!,10/26/2019,32,
