1、 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一、引例：导数的概念起源于物理学中的速度问题以及几何学中的切线问题 1.变速直线运动的速度：设描述质点运动位置的函数为，则到t ，在时刻的瞬时速度为 2.曲线的切线的斜率:曲线上过点和点的割线当的极限位置称为曲线在点处的切线，其斜率为 二、导数的定义 1.导数：设函数在的的某邻域内有定义 ，当自变量在处取得增量，因变量有对应的增量，若极限 存在，则 称函数在点处可导，并称此极限值为在点处的导数，记作 ，或；. 若 不存在，则称在点不可导，但若，也称在点 无穷大. 注： 1 是因变量在以和为端点的区间上的平均变化率，而则是因变量 在点处的变化率，是平均变化
2、率的极限，它反映的是因变量随自变量的变化而变化的快慢程度 在引例1中，瞬时速度为 ； ； 在引例2中，切线斜率为 2. 导数的常见形式： (取即可证得 (取即可证得 2.单侧导数： 知，极限 极限和右极限都存在且相等, 右导数的概念：） (1).左导数：； (2).右导数：； (3).单侧导数：左导数和右导数统称为单侧导数 （由导数的定义式 (4).定理：在点可导，即. 3.导函数：若函数在开区间内每一点都可导,则称在内可导 ，称为的导函数，记作 或，即 或 若及都存在，则称在闭区间上可导. 注：1. . 2.在不至于引起混淆的情况下，也称导函数为导数. 例1.求函数 (C为常数) 的导数.
3、解： ，即. 例2. 求函数的导数 . 解： 注：对一般幂函数(为常数)， 有.(以后证明) ；. 例3. 求函数的导数. 解： ， 即 ，类似可证. 例4. 求函数的导数 ， 解： 即 特殊地，有 例5. 求函数的导数. 解： ， . 特殊地，有. 即 例6. 求函数的导数 解：由于，所以 , 当时， , 当时， 当时， . ，故在点处不可导，于是 三、导数的几何意义及应用 1.几何意义：函数在点的导数是曲线 在其上一点处的切线的斜率，即 注：若函数在点可导，则曲线在点处存在切线 反之未必，即曲线在点处存在切线，但函数在点却未必可导， 例如：函数在点处不可导，即在点处存在水平切线 2.曲线的
4、切线方程：曲线在点处的切线方程为： ，但曲线 3.曲线的法线方程：曲线在点处的法线方程为： . 例7.求曲线 在点处的切线方程和法线方程. 解：由于，则所求切线的斜率为 ，于是 切线方程为：，即， 法线方程为：，即 四、函数的可导性与连续性的关系 命题：若函数在某点可导，则它在该点一定连续. 证明：若函数在点可导，则有 ，从而有 ，其中， 整理得，于是 ， 即，这说明在点连续. 注：反之未必正确，即函数在某点连续可导，但它在该点未必可导. 例如：函数在内连续，但在处不可导，因为 ，即不存在. 又如函数在内连续，但在处不可导，因为 ，即不存在 第二节 函数的求导法则 一、函数四则运算的求导法则
5、定理1. 函数及在点都可导，则它们的和、差、积、商(除分母不为零的点外)都在点都可导，且 (1). ; (2). ; . (3). 证明： (1).设，则 ， 故结论成立. 可推广到任意有限项的情形，如：. (2). 设，则 ， 故结论成立. (3). 设 ，则 ， 故结论成立 推论：设均可导，则 (1). ； (2). ； (3). 当时，. 例1. 设，求 解：. 例2. 设 ，求及. 解：， 例3. 设，求 解：. 例4. 设，求 解：. 用类似方法可得：. 例5. 设，求 解：. 用类似方法可得：. 二、反函数的求导法则 定理2. 若函数在区间内单调、可导且，则它的反函数在区间内也可导
6、，且 dy1 或，即反函数的导数等于dx 直接函数的导数的倒数 证明：，给以增量(),由反函数的单调性知 y1. 且由反函数的连续性知,当时必有x ，因此必有 例6.求函数在区间的导数 解：由于的直接函数在 在内可导，且 内单调且可导，且，则 . 用类似的方法可得 . 或 例7. 求函数在区间的导数 解：由于的直接函数在内单调且可导，且 在内可导，且 . 用类似的方法可得 . 或. 例8. 求函数在区间的导数 解：由于的直接函数在内单调且可导， ，则在内可导，且 . 三、复合函数的求导法则 定理3.若在点可导，在点可导，则复合函数在点可 .(分步完成) 或 证明:由已知条件可得： ，从而有 ，
7、 , (2) 其中， 由(2)知，时，从而也有； 当时，由(1) ，于是 . 注：此法则可推广到多个中间变量的情形. (搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.) 例如, ，例9. 求函数的导数. 解：令， . . 或直接求： 例10. 求函数 的导数. 解：例11. 求函数的导数 . 解：令，则 当 ；当时， . 综上得 例12. 求函数的导数 解： 例13. 求函数的导数 解：. 例14. 求函数 的导数 . 解： 例15. 证明幂函数的导数公式 证明：由于，所以 . 四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (1).； (2).； (3).； (4). (5).； (6).；
8、 (7).； (8).； (9).； (10).； (11). ； (12).； (13).(15). ； (14). ； ； (16). 2.函数有限次四则运算的求导法则 (1). ( C为常数); (2).; . (3).; (4). 3.复合函数求导法则: . 4.初等函数在定义区间内可导,但其导数未必是初等函数，例如： 函数是初等函数，但其导数却不再是初等函数 例16. 求函数的导数 解： 思考与练习： 设，其中在处连续，求. 错误解法：由于，故.(注意到在处未必可导) 正确解法： . 第三节 高阶导数 一、高阶导数的概念 1. 引例： 变速直线运动的位置函数，速度 ，即，加速度 .
9、2. 二阶导数：若函数的导数可导,则称的导数为的二阶导数, 记作或，即 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,依次类推 ,阶导数的导数称为阶导数， 别记作y ，或，. 3. 高阶导数：二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数. 例1. 求次多项式函数的各阶导数 解：, 依次类推,可得,而. 例2. 求正弦函数的阶导数 解：， ， 一般地，类似可证: 例3. 求函数的阶导数 解：， 以此类推得.特别的， 例4. 求函数的阶导数. 解： ， 以此类推得. 二、高阶导数的运算法则:1. 设函数及都有阶导数 , 2., (C为常数). 3.莱布尼茨公式： ， 规律：； ； 例5. 对函数，求 ，解：设，
10、则， 代入莱布尼茨公式 , 得 . 第四节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数以及相关变化率 一、隐函数的导数 1. 隐函数：设A、B是两个非空数集，若，由二元方程对应唯一一个，则称此对应关系(或)是方程确定的隐函数. 注： 1.所谓隐函数就是对应关系不明显，隐含在二元方程中的函数 2.由二元方程确定的隐函数必是方程的解,即 3.在方程中找出隐含的对应关系叫做隐函数的显化，但并不是每一个隐函数都可以显化.例如：. 2.隐函数求导法则: (1). 隐函数显化后求导； (2). 直接求导：对确定隐函数的二元方程 求导，即对方程两端对求导 例1.求由方程所确定的隐函数 . 解：在方程两端对 ，即，整
11、理得 . 注：由于方程能确定隐函数，故有 例2.求由方程所确定的隐函数 解：在方程两端对求导，得 , ，整理得 由于时 在点例3.求椭圆处的切线方程 解：所求切线的斜率为，在椭圆方程两端对 ,将代入得 ，整理得 .于是 切线方程为： ，或. 例4.求由方程所确定的隐函数的二阶导数 解：在方程两端对求导，得 ,在上式两端再，整理得 对求导得，. 3.幂指函数的求导法则对数求导法： (1). 取对数： (2). 对 ， ， （按指数函数求导公式 + 按幂函数求导公式） 注：幂指函数不是一元复合函数,故不能用复合函数求导法则求其导数，可用下册书中的二元复合函数求导法则求之 例5.求函数的导数 解：在
12、方程两端取对数得，两端对 ，即 ， 另解：， 例6.求函数 的导数 两边取对数得， 解：在方程 两端对 ，即 . 二、由参数方程确定的函数的导数 1.参数方程确定的函数：若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数关系， 函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数. 2.参数方程确定的函数的求导法则: (1). 消去参数找出函数关系后求导； (2). 直接求导公式：若函数、在区间内可导，函数具有连续的单调的反函数，且，则反函数与函数 , 即 . 注：若函数、在区间内二阶可导，且，则复合函数 的二阶导数可由新的参数方程求得： ， 例7.已知椭圆的参数方程为，求椭圆在相应的点处的切线方程 解：
13、参数 对应椭圆上相应的点的坐标为，椭圆在点处的切线 ，于是 切线方程为： ，整理得. 例9.计算由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数 . . 第五节 函数的微分 一、微分的概念 1.引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,边长由变到，问此薄片面积改变了多少 解：设薄片边长为, 面积为, 则，当在取得增量时，面积的增量为 . (关于的线性函数 时的高阶无穷小.） 故，即边长改变很微小时，即很小时，面积的增量 代替，而且越小，近似程度越好 还有其它许多具体问题中出现的函数，需要研究函数的增量 与自变量的增量之间的关系，这就涉及到函数的微分 2.函数的微分的定义：设函数在点的某一邻域内有定义，
14、若在点 可表示为，其中为不依赖于的常数， 当时比的高阶无穷小量,则称在点处可微，并称为在点的微分，记作或 若函数在区间的每一点处可微，则称在区间可微 现在要问，函数满足什么条件才能在点可微？如果可微分，那么常数等于什么？下面的定理回答这个问题. 2.函数可微的充要条件： 定理：函数在点可微的充要条件是在点可导，并且. 证明： 必要性：由在点可微，得，于是 ， 令，得，即在点可导，并且. 充分性：由函数在点可导，得 ，从而有，故 ， 即，其中，因此在点可微. 注： 1.由微分的定义可知，自变量本身的微分是，即自变量的微分等于自变量的增量，于是在点的微分又可以写成.进而 ，即函数的导数等于函数的微
15、分与自变量的微分的商，因此导数又称为微商. 2. 对一元函数，函数可导性与可微性这两个概念是等价的，求出函数的导数之后，只要再乘以，就得到了函数的微分 3.微分既与点有关，也与有关，而与是相互独立的两个变量. 3.函数微分的几何意义：函数在点处的导数就是 该曲线在点处的切线的斜率，因此 ， 这就是说，函数在点处的微分在几何上表示曲线在对应点处切线的纵坐标的增量.当很小时，比小得多.因此在点的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段.即在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中是经常采
16、用的. 二、 微分运算法则 (1).函数和、差、积、商的微分法则：设、均可微,则 ； . ； . . ; . (2).复合函数的微分法则：若分别可微，则复合函数的微分为 并称此性质为函数一阶微分的形式不变性 注：1. 复合函数的微分既可以利用链式法则求出复合函数的导数再乘以得到， 用函数一阶微分的形式不变性得到 2. 函数一阶微分的形式不变性可以求复合函数的导数. 例1. 求函数的微分. 解：. 例2. 求函数的微分. 解： 例3. 求函数的微分以及导数. 解： ， . 例4. 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立： (1). (为任意常数)； (2). . 注：1.上述微分的反问题是不定积分要研究的内容 2.数学中的反问题往往出现多值性，例如： ，；三、函数的近似计算公式： ,. 1.近似公式：若函数在点可微，则 推导：由函数在点可微，则有，故当很小时，有，即，整理得 ，得
