1、高等数学习题集及解答第二章一、 填空题1、设 在 可导，则 。()fxa0()()limxfafx2、设 ，则 。320_(3)li2hf3、设 ，则 。1()xfe0_(lihff4、已知 ，则 。0cos,()2,)inffxx0_()fx5、已知 ，则当经 1、 1 时， 。2xyydy6、 ，则 。()fe_(l)f7、如果 是 的切线，则 。0yax2yx_a8、若 为奇函数， 且，则 。()f0()1f 0_()fx9、 ，则 。12xxn _10、 ，则 。ln(3)y_y11、设 ，则 。01fx0 _0lim(2)()xxff12、设 ，则 。tany_dy13、设 ，则 。
2、21lx_(0)14、设函数 由方程 所确定，则曲线 在点()yf42lnyx()yfx（1，1）处的切线方程是 。_15、 ，其导数在 处连续，则 的取值范围是1cos0()xf0x。_16、知曲线 与 轴相切 ，则 可以通过 表示为 。32yxabx2ba_二、 选择题。17、设 可导， ，则 是 在 处可导的（ ） 。()f()(1sin)Ff(0)f()Fx0充分了必要条件， B 充分但非必要条件，AC 必要条件但非充分条件， D 既非充分条件又非必要条件。18、函数 在 处 （ ）321()xfxA 左右导数均存在， B 左导数存在，右导数不存在，C 左导数不存在，右导数存在， D
3、左右导数均不存在。19、设周期函数 在 内可导，周期为 4，又 ，则曲线()fx,)0(1)lim12xfx在点 处的切线斜率为 （ ）y5fA ， B 0 ， C 10， D 2 。1220、设函数 则实常数 当 在 处可导时必满足（ 1cos()axfxa()fx1）A ； B ； C ； D 1a10x0a21、已知 ，且 存在，则常数 的值为 （ ）2()xb(2) ,abA B C D ,1;a1,5;ab4,5;3,.ab22、函数 在 上处处可导，且有 ，此外，对任何的实数 恒有()fx,)(0)1f ,xy，那么 （ ） (2yfyxxA B C ； D 。;xe; x23、已
4、知函数 具有任何阶导数，且 ，则当 为大于 2 的正整数时，()f 2()fxfn的 阶导数 是 （ ）()fxn()nxA ； B ； C ； D 1!f1()nfx2()nfx2!().nfx24、若函数 有 ，则当 时，该函数在 处的微分 是 的（ ()yx0)2f00dy）A 等价无穷小； B 同阶但不等价的无穷小；C 低阶无穷小； D 高阶无穷小。25、设曲线 和 在它们交点处两切线的夹角为 ，则 （ ）1yx2 tanA ； B C 2； D 3 。;26、设由方程组 确定了 是 的函数，则 （ ）10yteyx20tdyxA ； B ； C ； D 。2121e1e一、 填空题的
5、答案1、2 2、-1 ； 3、 ； 4、 5、-1)(af 21e36、6+2ln2 7、2 8、1 9、n! 10、-x31ln11、1 12、 13、 14、 dxyd1sec2230yx15、 16、 264ab二、选择题答案：17、A 18、B 19、D 20、A21、C 22、C 23、A 24、B25、D 26、B三、综合题：27、求曲线 上与直线 垂直的切线方程。cuxy1yx剖析：求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。解：设切点为 则点 处的切线斜度为)(0yx).(0yx01|xyk依题意知所求切线（）坐 垂直，从而 yx110x10x利切点为 ；切线（）为
6、 )01(、.k故所求切线方程为 即： 10xy1xy设 则xef1)(2104)(2(limetcfft9、如果 为偶函数，且 存在 证明f )0(f 0)(f证明：因为 为偶函数，所以 从而)(x )(xff0)(lim0li)0( 0xfff xx : 故2 )f28、讨函数 在 处方程连续性与可得01sin2xy解： ，所以函数 在 处连续)(silmli20xxy0x又 01sinlli)(li 000 xyxxx故函数 在 处可导、值 |0y29、已知 求)(2xf )(.ff及 是 否 存 在02f解: 0lim0li)0( 2 xff xx1li)(li00 ff xx故 不
7、存 在)(30、已知 )(0sin)(,xfxf 求解： fxcos)(.0时当1时当 lim)(li)0(0 xxff所以： 1f从而 0cos)(xxf31、证明：双曲线 上往一点处切线与两坐标轴构成的2ay三角形的面积都等于 。证明：设 为双曲线 上的一点，则该点处切线的斜),(0yx2xy率为 从而切线方程为,20ak )(002xa令 得 轴上的截距为xy 020xy令 得 轴上的截距为002从而 0|.|1|2axyxs32、设 求xein1ta解： )1(sisi)(ta1ta xeyx )(coin)(sec21tan221tanxxx 33、设 在 求3fyrsi)f 0xd
8、y解：设 23),(xufy则： 2)3()( xuffdx22)3(1)(arcsinx2i从而 1arcsin|0xdy34、设 ，讨论 处连续性rt)(2xf 0)(xf在 点剖析：本题需先求 的表达式，再讨论 在点 处的)(f )(fx连续性解：当 232)1(arctn)(0xxf时 421arctnx21arctnlim0)(li00 xff xx从而： 021rt)(4xf由于 )(21arctnlim)(li 4200 fxf 处 连 续在 点 0)(xf35、 :,)( dxyxf 的 导 数求 下 列 函 数可 导设（1） （2）)(2xfy )(cos)(sin22xfx
9、fy解：（1） )(xf（2） )(cso)(sini 222 xxfy= fxinc= )(s)(si2i 2121fx37、设 ,lm)(tftftx求提示： 。答案： tef2 te2)1()38、求 导数21arcsinty解: 22)1()(tt= 22)1(tt=12t39、 yfxfy求二 阶 可 导 ,),(2解 u2)1()( xffy222fx40、设 )(265nyy求剖析：此类函数直接求导，很难找出规律，先对 而 后 求 导再 将 又 拆 项分 解 因 式 ,652x11)( 443322)3(!)2(.!)(.).()(1)33( nnnn xxyxyxxy41、求下
10、列函数的 n 阶导数的一般表达式xy2si)1(xyl)(xey)(3,2)!(1231ln)2(2)1(si )2sin()cos(2:)(4)5()4(21)( nxyxyxy、xyx、nnn 解xnxxxeyeey、)(3)2(1)() 44、求曲线 上对应于 点处的法线方程ty3sinco6t从 而 所 求 法 线 方 程 为时当则解 法切 ,81363|tanta)i(cosi632yxtKtdxy、t 13)3(xy20sin21)(45 dxyyx、确 定 的 求是 由 方 程设 函 数 3222 )(cosin4)s(in)cos(0cos1i: yyydxyyxx得 求 导
11、数 有两 边 对将 方 程解46、求 二 导 数xal1剖析：由于函数是根式私连乘，所以用对数示导法 取 对 数 有将解 xyln:1)ln21l(ln21l:412ln.1lnlll xaxayxxaxy从 而 求 导 数再 将 上 式 两 边47、 （相关变化率问题是）设气球以 100cm3 的速度，浸入气球（假设气球是球体）求在半径为 10cm 的气球半径增加的速度（假空气体压力不变）剖析：解决相关变化率问题一般分三步：第一步：是建立气球体积 v 和半径 r 之间的关系。第二步：根据等式找出 的 关 系和 dxy第三步：由己知的变化率求出未知的变化率解： = v34rtrtv.42由 =
12、10cmscmdt/10r即当 =10cm 时)(4r半径以 的速率增加。/sc48、已知 求ttytxarcn)1l(23dxy34 2223 222811)4(./411*1t ttdtxdxyt tdtxeaxtdytxy、解49、设 是由方程 确定的隐函数，求)(xy )ln()(2yxxydy解：利用公式 dxy将方程 两边分别对 求导，有)ln()(2xyx得 =yx 1l)1( )ln(32y从而 =dydyx)ln(3250、设 y= (1+3-x). 求解： =dyxxd31)(31)(d=- xln51、求下列函数的微分 x、yx、y )2(1ln(cosl)1(2解：(1
13、)、 =(dydxx)12cosin=(- - )ta2（2）函数变形为 两边取对数有 两边对xyxyln)l(求微分得xdxydlnx1)(l53、扩音器插头为圆柱形，截面半径为 0.15cm，长度 l 为4m，为了提高它的导电性能，要在这个圆柱的侧面镀上一层厚为 0.001cm 的钱铜，问每个插头约要多少克纯铜。解： lrV2.2lrdvx=2 0.1540.0 03769.故镀的铜的重量为 0.00376998.9 )(035.g54、有一立方形的铁箱，它的边长为 700.1cm，求出它的体积，并估计绝对误差和相对误差。解：体积：V=70 3=343000cm3绝对误差 = v310.4
14、72|.07| cm相对误差 %.341255、求 、 的值，使 在 可导。ab1ln)(si)(xbaxf 解：为使 在 得可导，必须在 连续)(xf1故 xx)(limli1即0)(fb又因 10)(sinlm1)(li11 xaxfxxf=a0li)(lim)1(1 xxfxxf= n1因此有 ，从而当 时a0,ba在 处可导)(xf56、证明可导偶函数的导数 为奇函数)(xf证：由题设 存在)(fxfx)(lim0于是 xfxf()(f)(li0=- )(xxfx 可导偶函数 的导数 为奇函数)ff同理可证：可导奇函数的导函数为偶函数以同期为 T 的可导函数的导函数以 T 为周期的函数
15、。57、设 求 ).(2)1(nxxy)0(y解： )1).().(32 nxnxx!)0(y4、 321lnxx解：两边取对数)1ln(l)21ln(3)l(n 2xxxy 两边对 求导XxyxxY2/ 1)ln21(312/ 1ln3)( x58、设 存在， 求)(“xf)(xefy2ayd解： /)(xxdyxeef)/xxxx eedxyf )(/2“2= )(/2“ xxxx zeef59、设 求xy1tany解： )1(sec)(t 221tan/a/ xexx 21tan1/xdxedysct/60、设 求xeyxarctnl21yd= dxexdexx 22121 1arctnarctl)(
