1、概率论与数理统计第一章 随机事件与概率事件之间的关系：事件之间的运算：运算法则：交换律 AB=BA AB=BA结合律(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)对偶律 = = A B A B A B A B 古典概型：概率公式：求逆公式 P( )=1- P(A)A 加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当 AB 时，有 P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A
2、 = A-AB = (AB)-BB 条件概率公式：P(A|B)= ; (P(B)0)P(AB)P(B)P(A|B)表示事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中 P(A)0, P(B)0)一般有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中 P(AB)0)全概率公式：P(A)= P(A|Bi)P(Bi) 其中 B1,B2,Bn构成的一个分斥。ni=1贝叶斯公式：P(A k|B)= = （由果溯因）P(B|Ak)P(Ak)P(B)概论的性质：事件的独立性：如果事件 A 与事件 B 满足 P(AB)=P(A)
3、P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立。结论：1. 如果 P(A)0，则事件 A 与 B 独立 2. 事件 A 与事件 B 独立事件 A 与事件 独立B 事件 与事件 B 独立事件 与事件 独立A A B 贝努里概型：指在相同条件下进行 n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种 A 与 ；各次试验是相互独立；A 每次试验的结果发生的概率相同 P(A)=p, P( )=1-p。A 二项概率-在 n 重独立试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 b(k;n,p)，则b(k;n,p)= C pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n)。nk 第二章 随机变量与概率分布随机变量的分布函数：
4、分布函数 F(x)的性质 (1)0F(x)1;(2) F(x)=0,lim x-F(x)=1lim x+一些概率可用分布函数来表示Paa=1-F(a), Pa=1-F(a-0), 离散型随机变量常见分布：1)两点分布 X(0,1)；X 的取值只有 0 或 1，其概率为 PX=0=p, PX=1=1-p2)二项分布 XB(n,p)；分布律为 b(k;n,p)= PX=k= C pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n) 其中 0b)2)指数分布exp( )；密度函数 p(x)= 分布函数 F(x)= e-x x00 x0kk! 均匀分布 Ua,bp(x)=1b-a axb0 其 他 )a+
5、b2 (b-a)212几何分布XGe(p) 分布列为 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 1p 1-pp2超几何分布X h(n,N,M)PX=k= k=0,1,2,3, minM,nnMN nM(N-M)(N-n)N2(N-1)指数分布 exp() p(x)=e-x x00 x0) 1 12正态分布N(,2) p(x)= e (-x+)1 2 -(x-)222 2二维正态分布N(1,12,2,22,)p(x,y)= exp- 1212 1-2 12(1-2)- + (x-1)212 2(x-1)(y-2)12 (y-2)222 E=1E=2 D=12D=22第五章 大数定
6、律及中心极限定理切比雪夫不等式：P|-E | , P|-E| 1 - D2 D2中心极限定理：棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理：设随机变量 Yn (n=1,2,3,)服从参数为 n, p 的二项分布，即 YnB(n,p)，则对任意实数 x，恒有 P x= (x) = e dt elim n Yn-npnpq -x 12 -t22 ab 12dt-t22 这一定理说明，服从二项分布 B(n,p)的随机变量 Yn作标准化后的随机变量 的极限分布是标准正态Yn-npnpq分布 N(0,1)。中心极限定理(林德贝格-勒维)：设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立，服从同一分布
7、，且具有数学期望EXk=，和方差 D(Xk)=20，随机变量 Yn=( -n)/ 的分布函数为 Fn(x)，则对任意实数 x，恒nk=1xk n有 Fn(x)= PYnx= (x) = e dtlim n lim n -x 12 -t22 这一定理说明， 的标准化随机变量 Yn=( -n)/ 的极限分布是标准正态分布 N(0,1)nk=1xknk=1xk n第六章 样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念：样本函数和统计量：常见统计量及其性质：样本均值 .1nix样本方差 niixS122 .)(样本标准差 .)(12nii样本 k 阶原点矩 nikkxM1.,2,样本 k 阶中心矩 nikik
8、x1.,3,)(， ，)(XEnD2)(， ,2S221*S其中 ，为二阶中心矩niiX122)(（2）正态总体下的四大分布：正态分布设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数nx,21 ),(2N).1,0(/udeft 分布设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数nx,21 ),(2N),1(/ntsxtdef其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。分 布2设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数nx,21 ),(2N),1(122nSnwdef 其中 表示自由度为 n-1 的 分布)1(2n第七章 参数估计（1）点估计矩估计设总体 X 的分布中包含有未知数 ，则其分布函
9、数可以表成 它的 km,21 ).,;(21mxF阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即)(kEvkm,21。又设 为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为),(21mkvnx,21ik1).,(m这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 nimmmnimnixvxv1211221121.),(,),(,),( 由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。,21 m,21若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计)(xg)(g极大似然估计：当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未),;(
10、21mxf m,21知参数。又设 为总体的一个样本，称nx,21 ),;(),(111 22ni mimxfL为样本的似然函数，简记为 Ln.当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称),;(21mpXP,;),;,( 1111 222 niimn xx 为样本的似然函数。若似然函数 在 处取到最大值，则称),;,(2211mnxL m,21分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。m,21 2 iLiin,21,0l若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。)(xg)(g（2）估计量的评选标准无偏性：设 为未知参数 的估计量。若 E （ ）= ，则
11、称 为 的无偏估计),(21nx 量。E（ ）=E（X） ， E（S 2）=D（X）有效性：设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。),(211nx ),(212nx若 ，则称 有效)(2D比一致性：设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有n ,0)|(|limnnP则称 为 的一致估计量（或相合估计量） 。n若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。),(0)D只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计：置信区间和置信度：设总体 X 含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个统计量nx,21与 ，使得区间
12、以),(211nx),(212nx)(,21的概率包含这个待估参数 ，即0,121P那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平） 。,21单正态总体的期望和方差的区间估计：设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的nx,21 ),(2NX12和置信区间 。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度 ，查表找分位数；1（iii）导出置信区间 。,2已知方差，估计均值（i）选择样本函数 ).1,0(/0Nnxu(ii) 查表找分位数 ./0xP（iii）导出置信区间 nx00,未知方差，估计均值（i）选择样本函数 ).1(/ntSxt(ii)查表找分位数 .1/
13、nSxP（iii）导出置信区间 x,方差的区间估计（i）选择样本函数 ).1()1(22nSnw（ii）查表找分位数 .1)1(221 SnP（iii）导出 的置信区间 S12,第八章 假设检验基本步骤：假设检验的基本步骤如下：(i) 提出零假设 H0； (ii) 选择统计量 K；(iii) 对于检验水平 查表找分位数 ；(iv) 由样本值 计算统计量之值 K；nx,21将 进行比较，作出判断：当 时否定 H0，否则认为 H0相容。与K)(|或两类错误：第一类错误：当 H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定 H0。这时，我们把客观上 H0成立判为 H0为不成立（即
14、否定了真实的假设） ，称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即 P否定 H0|H0为真= ；此处的 恰好为检验水平。第二类错误：当 H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受 H0。这时，我们把客观上 H0。不成立判为 H0成立（即接受了不真实的假设） ，称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即 P接受 H0|H1为真= 。两类错误的关系：人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n 一定时， 变小，则 变大；相反地，变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只
15、能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平 。 大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真” 、而不愿“以真当假”时，则应把 取得很小，如 0.01，甚至0.001。反之，则应把 取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件 零假设 统计量 对应样本函数分布 否定域(拒绝域)00:H 21|u已知 200:nxU/0N（0，1） 1uH )(|2nt00: 1t未知 2nSxT/0)(t )(n广东工业大学下 页上 页 返 回 0:H)1,(/NnXu2u|2Px01 ,| ; 2 .0x)(fO2/8.2.1 2广东工业大学下 页上 页 返 回 0:H)1(/ntSXt2t|2Px01 ,|t ;0 2 .x)(fO2t/8.2. 2
