1、第 1 页（共 28 页）2017 年山东省淄博市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）1 （4 分） （2017淄博） 的相反数是（ ）23A B C D32 32 23 23【考点】14：相反数【分析】直接根据相反数的定义即可得出结论【解答】解： 与 是只有符号不同的两个数，2323 的相反数是 23 23故选 C【点评】本题考查的是相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解答此题的关键2 （4 分） （2017淄博）C919 大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过 100 万个，请将 100 万
2、用科学记数法表示为（ ）A1 106 B10010 4 C110 7 D0.1 108【考点】1I：科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 100 万用科学记数法表示为：110 6故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的第 2 页（共 28 页）形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及
3、 n 的值3 （4 分） （2017淄博）下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）A B C D【考点】U1：简单几何体的三视图【分析】找出四个选项中几何体的主视图，由此即可得出结论【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，A 不符合题意；B、正方体的主视图为正方形，B 不符合题意；C、球体的主视图为圆形，C 不符合题意；D、圆锥的主视图为三角形，D 符合题意故选 D【点评】本题考查了简单几何体的三视图，牢记圆锥的主视图为三角形是解题的关键4 （4 分） （2017淄博）下列运算正确的是（ ）Aa 2a3=a6 B （a 2） 3=a5C a10a9=a（a0） D （ bc） 4（ bc） 2=b
4、2c2【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可第 3 页（共 28 页）【解答】解：A、a 2a3=a5，故 A 错误；B、 （a 2） 3=a6，故 B 错误；C、 a10a9=a（a0） ，故 C 正确；D、 （bc） 4（bc） 2=b2c2，故 D 错误；故选 C【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键5 （4 分） （2017淄博）若分式 的值为零，则 x 的值是（ ）|1+1A1 B1 C1 D2【考点】63：分式的值为零的条件【分析】直接
5、利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案【解答】解：分式 的值为零，|1+1|x|1=0，x +10，解得：x=1故选：A【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键6 （4 分） （2017淄博）若 a+b=3，a 2+b2=7，则 ab 等于（ ）A2 B1 C2 D 1【考点】4C：完全平方公式【分析】根据完全平方公式得到（a+b） 2=9，再将 a2+b2=7 整体代入计算即可求解【解答】解：a+b=3，（a +b） 2=9，a 2+2ab+b2=9，第 4 页（共 28 页）a 2+b2=7，7+2ab=9，ab=1故选：B【点评】此题考查了完全平方公
6、式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键7 （4 分） （2017淄博）将二次函数 y=x2+2x1 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位长度，得到的函数表达式是（ ）Ay= （ x+3） 22 By=（x+3） 2+2 Cy=（x1） 2+2Dy=（x 1） 22【考点】H6：二次函数图象与几何变换【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式【解答】解：y=x 2+2x1=（x+1） 22，二次函数 y=x2+2x1 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+12） 22=（x 1） 22，故选 D【
7、点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移8 （4 分） （2017淄博）若关于 x 的一元二次方程 kx22x1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）Ak 1 Bk1 且 k0 Ck 1 Dk 1 或 k=0【考点】AA：根的判别式【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k0 且= （ 2）24k（1）0，然后其出两个不等式的公共部分即可第 5 页（共 28 页）【解答】解：根据题意得 k0 且=（2） 24k（1）0，解得 k 1 且 k0故选 B【点评】本题考查
8、了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根9 （4 分） （2017淄博）如图，半圆的直径 BC 恰与等腰直角三角形 ABC 的一条直角边完全重合，若 BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ）A2 + B2+2 C4+ D2+4【考点】MO：扇形面积的计算；KW：等腰直角三角形【分析】如图，连接 CD，OD ，根据已知条件得到 OB=2，B=45 ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论【解答】解：如图，连接 CD，OD ，BC=4，OB=2，B=45，CO
9、D=90，图中阴影部分的面积=S BOD +S 扇形 COD= 22+ =2+，12 9022360故选 A第 6 页（共 28 页）【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键10 （4 分） （2017淄博）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7 ，8 ，9 四个数字，这些小球除数字外都相同甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为 m，再由乙猜这个小球上的数字，记为 n如果 m，n 满足|m n|1，那么就称甲、乙两人 “心领神会”，则两人“心领神会 ”的概率是（ ）A B C D38 58 14 1
10、2【考点】X6：列表法与树状图法；15：绝对值【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会 ”的结果数，根据概率公式求解可得【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有 16 种等可能结果，其中满足|mn|1 的有 10 种结果，两人“心领神会 ”的概率是 = ，101658故选：B【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率=所求情况数与总情况数之第 7 页（共 28 页）比11 （4 分） （2017淄博）小明做了一个
11、数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位 h 与注水时间 t 之间的变化情况的是（ ）A B C D【考点】E6：函数的图象【分析】根据用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可分段求出小水杯内水面的高度 h（cm）与注水时间 t（min）的函数图象【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时水位高度不变，当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢故选：D【点评】此题主要考查了函数图象，
12、关键是问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小12 （4 分） （2017淄博）如图，在 RtABC 中， ABC=90，AB=6，BC=8，BAC，ACB 的平分线相交于点 E，过点 E 作 EFBC 交 AC 于第 8 页（共 28 页）点 F，则 EF 的长为（ ）A B C D52 83 103 154【考点】S9：相似三角形的判定与性质； KF：角平分线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质【分析】延长 FE 交 AB 于点 D，作 EGBC、作 EHAC ，由 EFBC 可证四边形BDEG 是矩形，由角平分线可得 ED=EH=EG、DAE= HAE，
13、从而知四边形 BDEG是正方形，再证DAE HAE、CGECHE 得 AD=AH、CG=CH，设BD=BG=x，则 AD=AH=6x、CG=CH=8 x，由 AC=10 可得 x=2，即BD=DE=2、AD=4，再证ADFABC 可得 DF= ，据此得出 EF=DFDE= 163 103【解答】解：如图，延长 FE 交 AB 于点 D，作 EG BC 于点 G，作 EHAC 于点H，EF BC、 ABC=90，FDAB，EGBC，四边形 BDEG 是矩形，AE 平分BAC、CE 平分ACB，第 9 页（共 28 页）ED=EH=EG，DAE=HAE ，四边形 BDEG 是正方形，在DAE 和
14、HAE 中， ，=DAE HAE（SAS） ，AD=AH，同理CGECHE ，CG=CH，设 BD=BG=x，则 AD=AH=6x、CG=CH=8 x，AC= = =10，2+2 62+826 x+8x=10，解得：x=2，BD=DE=2，AD=4 ，DFBC，ADFABC， = ，即 = ， 468解得：DF= ，163则 EF=DFDE= 2= ，163 103故选：C【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键第 10 页（共 28 页）二、填空题（本大题共 5 小题
15、，每小题 4 分，共 20 分）13 （4 分） （2017淄博）分解因式：2x 38x= 2x（ x2） （x +2） 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式 2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式【解答】解：2x 38x，=2x（x 24） ，=2x（x+2） （x2） 【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：（1）二项式；（2）两项的符号相反；（3）每项都能化成平方的形式14 （4 分） （2017淄博）已知 ， 是方程 x23x4=0 的两个实数根，则2+3 的值为 0 【考点】AB：根与系数的
16、关系【专题】11 ：计算题【分析】根据根与系数的关系得到得 +=3，再把原式变形得到 a（+）3，然后利用整体代入的方法计算即可【解答】解：根据题意得 +=3，=4，所以原式=a（+）3=33=0故答案为 0【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程ax2+bx+c=0（ a0 ）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= 第 11 页（共 28 页）15 （4 分） （2017淄博）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下：则计算器显示的结果是 959 【考点】1M ：计算器基础知识【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子然后求值【解答】解：根
17、据题意得：（3.5 4.5）31 2+ =959，4故答案为：959【点评】本题目考查了计算器的应用，根据按键顺序正确写出计算式子是关键16 （4 分） （2017淄博）在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边上的任意一点，过点 D 分别作 DEAB，DF AC，垂足分别为 E，F，则 DE+DF= 2 3【考点】KK：等边三角形的性质【分析】作 AGBC 于 G，根据等边三角形的性质得出B=60 ，解直角三角形求得 AG=2 ，根据 SABD +SACD =SABC 即可得出 DE+DF=AG=2 3 3【解答】解：如图，作 AGBC 于 G，ABC 是等边三角形，B=60，
18、AG= AB=2 ，323连接 AD，则 SABD +SACD =SABC ，第 12 页（共 28 页） ABDE+ ACDF= BCAG，12 12 12AB=AC=BC=4，DE+DF=AG=2 ，3故答案为：2 3【点评】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角函数以及三角形面积等，根据 SABD +SACD =SABC 即可得出 DE+DF=AG 是解题的关键17 （4 分） （2017淄博）设ABC 的面积为 1如图 1，分别将 AC，BC 边 2 等分，D 1，E 1 是其分点，连接 AE1，BD 1 交于点F1，得到四边形 CD1F1E1，其面积 S1= 13如图 2，分别将 A
19、C，BC 边 3 等分，D 1，D 2，E 1，E 2 是其分点，连接 AE2，BD 2 交于点 F2，得到四边形 CD2F2E2，其面积 S2= ；16如图 3，分别将 AC，BC 边 4 等分，D 1，D 2，D 3，E 1，E 2，E 3 是其分点，连接AE3，BD 3 交于点 F3，得到四边形 CD3F3E3，其面积 S3= ；110按照这个规律进行下去，若分别将 AC，BC 边（n+1）等分，得到四边形CDnEnFn，其面积 S= 2(+1)(+2)第 13 页（共 28 页）【考点】38：规律型：图形的变化类；K3：三角形的面积【分析】先连接 D1E1，D 2E2，D 3E3，依据
20、 D1E1AB，D 1E1= AB，可得12CD1E1CBA，且 = = ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的1111112平方，即可得到 SCD1E1 = SABC = ，依据 E1 是 BC 的中点，即可得出 S14 14D1E1F1= SBD1E1 = = ，据此可得 S1= ；运用相同的方法，依次可得13 1314112 13S2= ，S 2= ；根据所得规律，即可得出四边形 CDnEnFn，其面积 Sn= +16 16 1(+1)2n ，最后化简即可1(+1)2 11+1【解答】解：如图所示，连接 D1E1，D 2E2，D 3E3，图 1 中，D 1，E 1 是ABC 两边的中点，
21、D 1E1AB，D 1E1= AB，12CD 1E1CBA，且 = = ，1111112S CD1E1 = SABC = ，14 14E 1 是 BC 的中点，第 14 页（共 28 页）S BD1E1 =SCD1E1 = ，14S D1E1F1 = SBD1E1 = = ，13 1314112S 1=SCD1E1 +SD1E1F1 = + = ，1411213同理可得：图 2 中，S 2=SCD2E2 +SD2E2F2 = + = ，1911816图 3 中，S 3=SCD3E3 +SD3E3F3 = + = ，116380110以此类推，将 AC，BC 边（n+1）等分，得到四边形 CDn
22、EnFn，其面积 Sn= + n = ，1(+1)2 1(+1)2 11+1 2(+1)(+2)故答案为： 2(+1)(+2)【点评】本题主要考查了图形的变化类问题以及三角形面积的计算，解决问题的关键作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的性质进行计算求解解题时注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分）18 （5 分） （2017淄博）解不等式： 22 73【考点】C6：解一元一次不等式第 15 页（共 28 页）【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解集【解
23、答】解：去分母得：3（x2）2（7x） ，去括号得：3x6142x，移项合并得：5x20，解得：x4【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键19 （5 分） （2017淄博）已知：如图，E ，F 为ABCD 对角线 AC 上的两点，且AE=CF，连接 BE，DF，求证：BE=DF【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质【分析】证明AEBCFD，即可得出结论【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，AB=DCBAE=DCF在AEB 和CFD 中， ， =AEBCFD（SAS） BE=DF 【点评】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判
24、定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键20 （8 分） （2017淄博）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济第 16 页（共 28 页）发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口 420km 的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了 50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度【考点】B7：分式方程的应用【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为 420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了 2h等量关系为：原来时间现在时间=2【解答】解：设汽车原来的平均速度是 x km/h，根据题意得
25、： =2，420 420(1+50%)解得：x=70经检验：x=70 是原方程的解答：汽车原来的平均速度 70km/h【点评】本题考查了分式方程的应用应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键21 （8 分） （2017淄博）为了“ 天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续 30 天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：空气污染指数（）30 40 70 80 90 110 120 1
26、40天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：50 时，空气质量为优；51 100 时，空气质量为良；101150 时，空气质量为轻度污染；151 200 时，空气质量为中度污染，根据上述信息，解答下列问题：（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数 90 ，中位数 90 ；第 17 页（共 28 页）（2）请补全空气质量天数条形统计图：（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在 100 以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年（以 365 天计）中有多少天适合做户外运动？【考点】VC：条形统计
27、图；V5：用样本估计总体； VB：扇形统计图；W4：中位数；W5：众数【分析】 （1）根据众数的定义就可以得出这组数据的众数为 90，由 30 各数据中排在第 15 和第 16 两个数的平均数就可以得出中位数为 90；（2）根据统计表的数据分别计算出，优、良及轻度污染的时间即可；（3）由条形统计图分别计算出优、良及轻度污染的百分比及圆心角的度数即可；（4）先求出 30 天中空气污染指数在 100 以下的比值，再由这个比值乘以 365天就可以求出结论【解答】解：（1）在这组数据中 90 出现的次数最多 7 次，故这组数据的众数为 90；在这组数据中排在最中间的两个数是 90，90，这两个数的平均
28、数是90，所以这组数据的中位数是 90；故答案为：90，90（2）由题意，得轻度污染的天数为：303 15=12 天第 18 页（共 28 页）（3）由题意，得优所占的圆心角的度数为：330360=36，良所占的圆心角的度数为：1530360=180，轻度污染所占的圆心角的度数为：1230360=144（4）该市居民一年（以 365 天计）中有适合做户外运动的天数为：1830365=219 天【点评】本题是一道数据分析试题，考查了中位数，众数的运用，条形统计，扇形统计图的运用，样本数据估计总体数据的运用，解答时根据图表数据求解是关键22 （8 分） （2017淄博）如图，在直角坐标系中，RtA
29、BC 的直角边 AC 在 x轴上，ACB=90 ，AC=1，反比例函数 y= （k0）的图象经过 BC 边的中点D（3，1）（1）求这个反比例函数的表达式；（2）若ABC 与EFG 成中心对称，且EFG 的边 FG 在 y 轴的正半轴上，点 E在这个函数的图象上求 OF 的长；连接 AF，BE，证明四边形 ABEF 是正方形第 19 页（共 28 页）【考点】GB：反比例函数综合题【分析】 （1）由 D 点坐标可求得 k 的值，可求得反比例函数的表达式；（2）由中心对称的性质可知ABCEFG ，由 D 点坐标可求得 B 点坐标，从而可求得 BC 和 AC 的长，由全等三角形的性质可求得 GE
30、和 GF，则可求得 E点坐标，从而可求得 OF 的长；由条件可证得 AOFFGE，则可证得AF=EF=AB，且EFA=FAB=90，则可证得四边形 ABEF 为正方形【解答】解：（1）反比例函数 y= （k0）的图象经过点 D（3，1） ，k=31=3，反比例函数表达式为 y= ；3（2）D 为 BC 的中点，BC=2，ABC 与EFG 成中心对称，ABCEFG ，GF=BC=2，GE=AC=1，点 E 在反比例函数的图象上，E （1 ，3 ） ，即 OG=3，OF=OGGF=1；如图，连接 AF、BE，第 20 页（共 28 页）AC=1，OC=3，OA=GF=2，在AOF 和FGE 中=A
31、OFFGE（SAS） ，GFE=FAO= ABC，GFE+AFO=FAO+BAC=90，EF AB，且 EF=AB，四边形 ABEF 为平行四边形，AF=EF，四边形 ABEF 为菱形，AFEF，四边形 ABEF 为正方形【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得 E 点坐标是解题的关键，在（ 2）中证得AOF FGE 是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中23 （9 分） （2017淄博）如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 MN 折叠，顶点 B 恰好与 CD 边上的
32、动点 P 重合（点 P 不与点 C，D 重合） ，折痕为 MN，点 M，N 分第 21 页（共 28 页）别在边 AD， BC 上，连接 MB，MP，BP，BP 与 MN 相交于点 F（1）求证：BFNBCP；（2）在图 2 中，作出经过 M，D ，P 三点的O（要求保留作图痕迹，不写做法） ；设 AB=4，随着点 P 在 CD 上的运动，若中的O 恰好与 BM，BC 同时相切，求此时 DP 的长【考点】MR：圆的综合题【分析】 （1）根据折叠的性质可知，MN 垂直平分线段 BP，即BFN=90，由矩形的性质可得出C=90=BFN，结合公共角FBN=CBP，即可证出BFN BCP；（2）在图
33、2 中，作 MD、DP 的垂直平分线，交于点 O，以 OD 为半径作圆即可；设O 与 BC 的交点为 E，连接 OB、OE，由MDP 为直角三角形，可得出 AP为O 的直径，根据 BM 与O 相切，可得出 MPBM ，进而可得出BMP 为等腰直角三角形，根据同角的余角相等可得出PMD=MBA，结合A=PMD=90 、BM=MP，即可证出ABMDMP（AAS） ，根据全等三角形的性质可得出 DM=AB=4、 DP=AM，设 DP=2a，根据勾股定理结合半径为直径的一半，即可得出关于 a 的方程，解之即可得出 a 值，再将 a 代入 OP=2a 中求出DP 的长度【解答】 （1）证明：将矩形纸片
34、ABCD 沿直线 MN 折叠，顶点 B 恰好与 CD 边上的动点 P 重合，MN 垂直平分线段 BP，BFN=90第 22 页（共 28 页）四边形 ABCD 为矩形，C=90FBN=CBP，BFN BCP（2）解：在图 2 中，作 MD、DP 的垂直平分线，交于点 O，以 OD 为半径作圆即可如图所示设O 与 BC 的交点为 E，连接 OB、OE，如图 3 所示MDP 为直角三角形，AP 为 O 的直径，BM 与 O 相切，MPBM MB=MP，BMP 为等腰直角三角形AMB+ PMD=180AMP=90 ，MBA +AMB=90，PMD=MBA 在ABM 和 DMP 中， ，=90=ABM
35、 DMP（AAS） ，DM=AB=4， DP=AM设 DP=2a，则 AM=2a，OE=4 a，BM= =2 2+2 4+2BM=MP=2OE，2 =2（4a） ，4+2第 23 页（共 28 页）解得：a= ，32DP=2a=3【点评】本题考查了相似三角形的判定、矩形的性质、角的计算、切线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合翻折的性质，找出C=90=BFN；（2）利用尺规作图，画出O；根据全等三角形的判定定理 AAS 证出ABM DMP 24 （9 分） （2017淄博）如图 1，经过原点 O 的抛物线 y=ax2+bx（a0）与 x轴交于另一点
36、 A（ ，0） ，在第一象限内与直线 y=x 交于点 B（2，t ） 32（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点 C，满足以 B，O，C 为顶点的三角形的面积为 2，求点 C 的坐标；（3）如图 2，若点 M 在这条抛物线上，且 MBO=ABO，在（2）的条件下，是否存在点 P，使得POCMOB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 24 页（共 28 页）【考点】HF ：二次函数综合题【分析】 （1）由直线解析式可求得 B 点坐标，由 A、B 坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；（2）过 C 作 CDy 轴，交 x 轴于点 E，交 OB 于点 D，
37、过 B 作 BFCD 于点 F，可设出 C 点坐标，利用 C 点坐标可表示出 CD 的长，从而可表示出BOC 的面积，由条件可得到关于 C 点坐标的方程，可求得 C 点坐标；（3）设 MB 交 y 轴于点 N，则可证得ABONBO，可求得 N 点坐标，可求得直线 BN 的解析式，联立直线 BM 与抛物线解析式可求得 M 点坐标，过 M 作MGy 轴于点 G，由 B、 C 的坐标可求得 OB 和 OC 的长，由相似三角形的性质可求得 的值，当点 P 在第一象限内时，过 P 作 PHx 轴于点 H，由条件可证得MOGPOH，由 = = 的值，可求得 PH 和 OH，可求得 P 点坐标；当 P 点在
38、第三象限时，同理可求得 P 点坐标【解答】解：（1）B（2，t）在直线 y=x 上，t=2，B（2，2） ，把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，4+2=294+32=0 =2=3第 25 页（共 28 页）抛物线解析式为 y=2x23x；（2）如图 1，过 C 作 CDy 轴，交 x 轴于点 E，交 OB 于点 D，过 B 作 BFCD于点 F，点 C 是抛物线上第四象限的点，可设 C（t，2t 23t） ，则 E（t ，0） ，D （t ，t） ，OE=t ，BF=2t，CD=t（2t 23t）= 2t2+4t，S OBC =SCDO +SCDB = CDOE+ CDBF=
39、（ 2t2+4t） （t +2t）=2t 2+4t，12 12 12OBC 的面积为 2，2t 2+4t=2，解得 t1=t2=1，C （1，1） ；（3）存在设 MB 交 y 轴于点 N，如图 1，第 26 页（共 28 页）B（2，2） ，AOB= NOB=45，在AOB 和NOB 中=AOBNOB（ASA） ，ON=OA= ，32N（0， ） ，32可设直线 BN 解析式为 y=kx+ ，32把 B 点坐标代入可得 2=2k+ ，解得 k= ，32 14直线 BN 的解析式为 y= x+ ，1432联立直线 BN 和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，=14+32=223 =2=2 =38=
40、4532M（ ， ） ，384532C （1，1） ，COA=AOB=45，且 B（2，2） ，OB=2 ，OC= ，2 2POCMOB，第 27 页（共 28 页） = =2，POC= BOM ，当点 P 在第一象限时，如图 3，过 M 作 MGy 轴于点 G，过 P 作 PHx 轴于点H，COA=BOG=45，MOG=POH，且PHO= MGO ，MOGPOH， = = =2，M（ ， ） ，384532MG= ，OG= ，38 4532PH= MG= ，OH= OG= ，12 316 12 4564P（ ， ） ；4564316当点 P 在第三象限时，如图 4，过 M 作 MGy 轴于点
41、 G，过 P 作 PHy 轴于点H，第 28 页（共 28 页）同理可求得 PH= MG= ，OH= OG= ，12 316 12 4564P（ ， ） ；3164564综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为（ ， ）或（ ， ） 4564316 3164564【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用 C 点坐标表示出BOC 的面积是解题的关键，在（3）中确定出点 P 的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大
