1、1第一章：一 、 波 粒 二 象 性 ：1、 单 缝 衍 射 、 双 缝 干 涉 证 明 光 具 有 波 动 性 ，黑 体 辐 射 、 光 电 效 应 证 明 光 具 有 粒 子 性 。2、 波 函 数 具 有 相 位 的 不 定 性 ， 即 ( )r 与( )ie r 描 述 的 是 同 一 个 量 子 态 。3、 使 用 电 子 的 平 面 波 函 数 解 释 双 缝 干 涉 实验 ， 例 题 见 第 一 章 作 业 。4、 结 合 Bohn的 统 计 诠 释 ， 解 释 什 么 是 波 粒二 象 性 。波 粒 二 象 性 是 指 物 质 同 时 具 备 波 的 特 性 及粒 子 的 特
2、性 。 在 测 量 中 ， 微 观 粒 子 体 现 出 不可 分 割 的 特 性 ， 体 现 了 粒 子 性 ， 但 粒 子 在 空间 上 的 分 布 却 由 波 函 数 来 描 述 ， 根 据 Bohn的 统 计 诠 释 ， 粒 子 在 空 间 某 点 附 近 出 现 的 概率 正 比 于 该 点 的 波 函 数 的 模 的 平 方 。 波 函 数的 演 化 由 波 动 方 程 （ 薛 定 谔 方 程 ） 来 决 定 ，体 现 了 微 观 粒 子 的 波 动 性 。二 、 波 函 数 的 意 义 ：1、 设 粒 子 的 波 函 数 是 ( )r ， 则 在 位 置 r处的 体 积 元 x y
3、 z 中 找 到 粒 子 的 概 率 是2( )r x y z 。 在 位 置 ( , )x x dx 之 间 找到 粒 子 的 概 率 是 2( )dy dz r dx 。2、 设 粒 子 在 动 量 空 间 的 波 函 数 是 ( )p ， 则在 动 量 p 处 的 体 积 元 x y zp p p 中 找 到 粒子 的 概 率 是 2( ) x y zp p p p 则 粒 子 动 量在 ( , )x x xp p dp 范 围 内 的 概 率 是 2( )y z xdp dp p dp 。3、 设 粒 子 的 波 函 数 为 2 /2( ) xx Ae ， 求 归一 化 常 数 A 。
4、 并 说 明 2( ) xx d 的 物 理 意义 。【 注 ： 请 利 用 高 斯 积 分 公 式2axe dx a 】解 ： 归 一 化 条 件 是222 2 214 1214( ) 11 1( ) xxx dx A e dx AA x e 2( )x dx 的 物 理 意 义 是 在 位 置 ( , )x x dx范 围 中 找 到 粒 子 的 概 率 。这 里 A 只 取 实 数 ， 相 当 于 自 由 相 因 子 取 为 1了 。4 、 设 粒 子 在 动 量 空 间 的 波 函 数 为2 /2( ) pp Ae ， 求 归 一 化 常 数 A。 并 说 明2( ) pp d 的 物
5、 理 意 义 。解 ： 归 一 化 条 件 是 222 2 214 1214( ) 11 1( ) ppp dx A e dp AA p e 2( )p dp 的 物 理 意 义 是 在 动 量( , )p p dp 范 围 内 找 到 粒 子 的 概 率 。这 里 A 只 取 实 数 ， 相 当 于 自 由 相 因 子 取 为 12了 。三 、 坐 标 表 象 和 动 量 表 象1、 在 一 维 空 间 中 ， 动 量 为 0p 的 动 量 本 征 态用 Dirac 符 号 表 示 为 0p , 它 在 坐 标 表 象下 的 形 式 为 0x p 0 /1/21(2 ) ip xe ， 它
6、在动 量 表 象 下 的 形 式 为 0p p 0( )p p 。2、 在 一 维 空 间 中 ， 位 置 为 0x 的 位 置 本 征 态用 Dirac符 号 表 示 为 0x ， 它 在 坐 标 表 象 下的 形 式 为 0x x 0( )x x ， 它 在 动 量 表象 下 的 形 式 为 0p x 0 /1/21(2 ) ix pe 。3、 动 量 表 象 下 的 波 函 数 和 坐 标 表 象 下 的 波函 数 的 关 系 。4、 证 明 ： 在 一 维 空 间 中 ， 坐 标 表 象 下 动 量算 符 的 形 式 是 xi 。证 明 ： 一 维 的 波 函 数 的 坐 标 表 象
7、和 动 量 表 象的 关 系 是 /1/2 /1/21( ) ( )(2 )1( ) ( )(2 ) ipxipxx x e dxp x e dx 根 据 波 函 数 在 动 量 空 间 的 统 计 诠 释 ， 动 量 平均 值 是 2* */1/2 * /1/2 * /1/2 * /1/2 ( )( ) ( )1 ( ) ( )(2 )1 ( ) ( )(2 )1 ( ) ( )(2 )1 ( )(2 ) ipxipxipx ipxp p pdpp p p dp x e dx p p dpx e dx p p dpx pe dx p dpx i e dx p* /1/2* ( )1( ) (
8、 )(2 )( ) ( )( ) ( ) ipx x p dpx i e p dp dxxx i x dxxx p x dx 交 换 积 分 顺 序 ， 先 积所 以 在 坐 标 表 象 下 ， 动 量 算 符 的 形 式 是p i x 四 、 薛 定 谔 方 程1、 写 出 在 势 场 ( )V r 中 的 粒 子 满 足 的 薛 定 谔方 程 。2、 写 出 在 势 场 ( )V r 中 的 粒 子 满 足 的 能 量 本征 方 程 。五 、 流 密 度1 在 一 维 空 间 中 ， 概 率 密 度*( , ) ( , ) ( , )x t x t x t ， 利 用 薛 定 谔 方 程证
9、 明 概 率 流 密 度 的 形 式 为* *( , ) 2ij x t m x x 3证 明 ： 一 维 的 薛 定 谔 方 程 是2 22( , ) ( ) ( , )2i x t V x x tt m x ， （ 1）两 边 取 复 共 轭 得 到 2 2* *2( , ) ( ) ( , )2i x t V x x tt m x （ 2）* (1) (2) 得 到 ， *2 2 2* *2 22 * *22i t m x xm x x x 于 是 2* *( , ) ( , )2 x t x tt tim x x x 根 据 物 质 概 率 密 度 和 流 的 关 系( , ) ( ,
10、 )x t j x tt x 所 以 * *( , ) 2ij x t m x x 五 、 物 理 量 的 测 量 ， 量 子 态 的 坍 缩理 解 ： 物 理 量 的 可 能 测 得 的 值 是 该 物 理 量 算符 的 本 征 值 ， 而 测 得 该 值 的 概 率 是 量 子 态 在该 本 征 态 上 分 解 系 数 的 模 的 平 方 。 测 得 某 值后 ， 量 子 态 立 刻 坍 缩 成 该 值 对 应 的 本 征 态 。例 题 ： 假 设 一 个 力 学 量 算 符 A的 本 征 方 程 是 2 21 21 1A aA a ， ( 1 2, 已 经 归 一 化 )（ 1） 如 果
11、 一 个 粒 子 处 于 状 态1 2(12 )i （ 波 函 数 未 做 归 一 化 ） ，对 该 粒 子 测 量 A这 个 力 学 量 ， 那 么 我 们 测 得1a 和 2a 的 概 率 各 是 多 少 ？（ 2） 如 果 某 次 测 量 粒 子 的 A这 个 力 学 量 得到 了 结 果 2a ， 写 出 测 量 后 的 时 刻 该 粒 子 的 波函 数 。解 ： （ 1 ） 测 到 1A a 的 概 率 是21 22 2 232 1p i ，测 到 2A a 的 概 率 是22 22 1 132 1ip i ，（ 2） 答 ： 2六 、 量 子 态 的 演 化掌 握 ： 求 解 初
12、态 演 化 问 题 的 常 规 解 法 ， 分 三步 ： （ 1） 解 能 量 本 征 问 题 ， 求 出 一 系 列 的 本征 能 量 和 本 征 态 ； （ 2） 初 态 在 各 本 征 态 下 分解 ， 用 内 积 的 方 法 求 出 分 解 系 数 ； （ 3） 各 项配 上 动 力 学 相 因 子 即 为 演 化 的 解 。例 题 ： 假 设 粒 子 的 能 量 本 征 方 程 为, 1,2,3.n n nH E n （ 1） 如 果 一 个 粒 子 在 0t 时 刻 处 于 状 态(0) n nn c ， 则 对 于 其 后 的 任 意 时刻 t， 波 函 数 ( )t 将 是 怎
13、 样 的 ？（ 2） 如 果 某 次 测 量 粒 子 的 能 量 得 到 了 结 果1E ， 写 出 测 量 后 的 瞬 间 该 粒 子 的 波 函 数 。答 ： 1、 /( )niE tn nnt c e 2、 1第二章：一 、 一 维 势 场 能 量 本 征 态 的 一 般 性 质 ：41、 势 是 实 的 ， 能 量 本 征 波 函 数 一 定 是 实 函数 吗 ？否 ， 因 为 自 由 相 因 子 可 以 是 复 数 ， 又 或 者 在反 射 透 射 问 题 中 ， 本 征 波 函 数 就 可 以 取 为 复函 数 。2、 当 势 是 实 函 数 ， 能 量 本 征 波 函 数 总 可
14、 以取 为 实 函 数 。 证 明 见 书 上 p27。3、 势 具 有 空 间 反 射 不 变 性 ， 本 征 波 函 数 一定 有 确 定 的 宇 称 吗 ？否 ， 比 如 有 简 并 的 时 候 就 可 以 组 合 出 没 有 确定 宇 称 的 本 征 波 函 数 ， 比 如 在 反 射 透 射 问 题中 ， 本 征 波 函 数 就 没 有 确 定 的 宇 称 。4、 势 具 有 空 间 反 射 不 变 性 ， 如 果 能 级无 简 并 ， 则 本 征 波 函 数 一 定 有 确 定 的 宇 称 ，证 明 见 书 上 p28。5、 当 势 具 有 空 间 反 射 不 变 性( ) ( )
15、V x V x 时 ， 粒 子 的 能 量 本 征 波 函 数可 能 具 有 偶 宇 称 ( ) ( )x x ， 也 可 能 具有 奇 宇 称 ( ) ( )x x 。6、 能 量 本 征 波 函 数 和 波 函 数 的 导 数 总 是 连续 的 吗 ？否 ， 比 如 在 势 中 ， 波 函 数 导 数 就 不 连 续 。7、 在 有 限 势 场 中 ， 能 量 本 征 波 函 数 和 波 函数 的 导 数 总 是 连 续 的 ， 证 明 见 书 上 p29。8、 规 则 势 场 中 的 能 量 本 征 态 可 以 有简 并 ， 比 如 在 反 射 透 射 问 题 中 ， 从 左 入 射 和
16、从 右 入 射 的 本 征 解 是 能 量 简 并 的 。9、 规 则 势 场 中 能 量 本 征 态 如 果 是 束缚 态 ， 则 必 定 是 非 简 并 的 ， 证 明 见 书 上 p30。二 、 束 缚 态 问 题 ：1、 对 于 一 维 无 限 深 势 阱 ， 有 限 深 势 阱 ， 谐振 子 势 ， 分 别 画 出 最 低 的 三 个 能 级 的 波 函 数的 示 意 图 ， 和 对 应 的 概 率 密 度 的 示 意 图 。 例题 见 第 二 章 作 业 。三 、 束 缚 态 问 题 和 反 射 透 射 问 题 ：掌 握 ： 求 解 一 维 势 场 中 的 能 量 本 征 问 题
17、的 一般 解 法 ， 分 三 步 ： （ 1） 能 量 分 区 ； （ 2） 在 选定 的 能 量 区 ， 再 把 空 间 分 区 ， 在 各 区 给 出 形式 解 (含 待 定 参 数 )； （ 3） 根 据 边 界 条 件 确 定解 里 面 的 参 数 。要 求 会 ：1、 在 空 间 各 区 会 写 出 能 量 本 征 方 程 。2、 在 任 何 能 量 区 间 ， 任 何 空 间 区 域 写 出 波函 数 的 形 式（ 1） 能 量 E V 处 ，通 式 是 ( ) ikx ikxx Ae Be ， 但 还 要 会 根据 实 际 情 况 写 出 最 简 的 形 式 ， 比 如如 果 是
18、 左 侧 入 射 区 ， ( ) ikx ikxx e Re 如 果 是 右 侧 出 射 区 ， ( ) ikxx Se 如 果 是 中 间 区 ， ( ) ikx ikxx Ae Be （ 2） 能 量 E V 处 ，通 式 是 ( ) x xx Ae Be ， 但 还 要 会 根据 实 际 情 况 写 出 最 简 的 形 式 ， 比 如在 左 侧 的 经 典 禁 区 ， ( ) xx Ae 在 右 侧 经 典 禁 区 ， ( ) xx Be 如 果 是 中 间 区 ， ( ) x xx Ae Be 还 要 会 根 据 宇 称 选 择 系 数 ， 比 如 ， 偶 宇 称 态A B ， 奇 宇
19、 称 态 A B（ 3） 会 写 出 指 数 上 的 参 数 和 能 量 之 间 的 关系 式 2 22 ( ) 2 ( ),m V E m E Vk 3、 会 写 出 边 界 的 连 接 条 件 ： 波 函 数 连 续 ，波 函 数 导 数 连 续 。4、 会 根 据 流 的 定 义 在 各 个 空 间 区 域 写 出 流的 表 达 式 ： *( ) ( )2j x im x x ， 会 区 分入 射 流 ij 、 反 射 流 rj 、 透 射 流 tj 。 进 而 求出 反 射 系 数 rijR j ,透 射 系 数 tijT j 。例 题 见 第 二 章 作 业 。四 、 对 势 垒 和
20、 势 阱 ， 会 求 解 能 量 本 征 问题 ， 包 括 势 阱 中 束 缚 态 ， 势 阱 或 势 垒 中5的 反 射 透 射 问 题 。 例 题 见 第 二 章 作 业 。第三章：一 、 算 符 的 运 算 和 性 质 ：1、 记 忆 书 上 54 页 （ 9） 式 的 几 个 对 易 关 系式 ， 并 会 利 用 位 置 和 动 量 的 对 易 关 系 式 , x p i ， 证 明 角 动 量 与 位 置 、 动量 、 角 动 量 之 间 的 对 易 关 系 式 。 例 题 见 第 三章 作 业 。2、 算 符 的 厄 米 共 轭 :3、 厄 米 算 符 ：4、 证 明 厄 米 算
21、符 的 平 均 值 必 为 实 数 ， 证 明见 作 业 。5、 实 验 上 的 可 观 测 量 ， 相 应 的 算 符 必 为 厄米 算 符 。5、 证 明 厄 米 算 符 的 本 征 值 必 为 实 数 ， 证 明见 作 业 。6、 证 明 厄 米 算 符 属 于 不 同 本 征 值 的 本 征 态彼 此 正 交 ， 证 明 见 作 业 。二 、 力 学 量 完 全 集 的 一 些 性 质 ：1、 若 两 个 算 符 对 易 ， 则 它 们 可 以 有 共 同 的本 征 态 ， 证 明 见 书 上 65 页 。2、 两 个 互 不 对 易 的 算 符 可 以 有 共 同 的 本 征态 。
22、比 如 , ,x y zl l l 互 不 对 易 ， 但 它 们 有 共 同本 征 态 0,0 14Y 。3、 若 两 个 算 符 的 对 易 式 , 0A B 常 数 ，则 A 和 B 一 定 没 有 共 同 的 本 征 态 。 因 为 它们 的 不 确 定 度 要 满 足 不 等 式 ， 书 上 p65页 （ 7）式 。4、 如 果 体 系 具 有 两 个 互 不 对 易 的 守 恒 量 ，系 统 的 能 级 不 一 定 是 简 并 的 。比 如 2H l ， 有 守 恒 量 , ,x y zl l l 互 相 不 对 易 ,但 有 一 个 能 级 0,0 14Y 非 简 并 ， 其 他
23、 能级 简 并 。记 忆 角 动 量 算 符 的 本 征 能 级 结 构 ， 几 乎 可 以做 任 何 判 断 题 。球 谐 函 数 lmY 是 2l 和 zl 的 共 同 本 征 态 ， 满 足本 征 方 程2 2( 1) , 0,1,2., , , 1. 1,lm lmz lm lml Y l l Y ll Y m Y m l m l l l l 即三 、 会 计 算 关 于 球 谐 函 数 的 测 量 、 演 化 等 问题 。 例 题 见 第 三 章 作 业 ， 要 会 灵 活 运 用 。例 如 ： 假 设 一 个 粒 子 处 于 状 态, lm lml m c Y （ 已 归 一 化
24、）（ 1） 对 该 粒 子 测 量 其 轨 道 角 动 量 的 z 分 量zl ， 可 能 测 得 的 值 是 多 少 ？, 0,1,2m m测 得 各 值 的 概 率 是 多 少 ？2lml czl 的 平 均 值 是 多 少 ？ 2 2z lm lmm l lml c m c m （ 2） 对 该 粒 子 测 量 其 总 角 动 量 2l ， 可 能 测得 的 值 是 多 少 ？2( 1) , 0,1,2l l l 测 得 各 值 的 概 率 是 多 少 ？62lmm c2l 的 平 均 值 是 多 少 ？2 2 22 2 ( 1)( 1) lml mlmlml c l lc l l （
25、3） 如 果 系 统 的 哈 密 顿 量 是 22zlH I ， 其中 I 是 转 动 惯 量 ， 假 设 0 时 刻 粒 子 处 于 上 述状 态 ， 求 以 后 的 任 意 t时 刻 粒 子 的 状 态 。该 系 统 的 能 量 本 征 方 程 是2 2 22 2zlm lm lm lm lml mHY Y Y E YI I ， 所 以lmY 对 应 的 本 征 能 量 是 2 22lm mE I ， 所 以任 意 t时 刻 粒 子 的 状 态2/, ,( ) lmiE t im tlm lm lm lml m l mt c Y e c Y e （ 4） 如 果 系 统 的 哈 密 顿 量
26、 是 22lH I ， 其中 I 是 转 动 惯 量 ， 假 设 0 时 刻 粒 子 处 于 上 述状 态 ， 求 以 后 的 任 意 t时 刻 粒 子 的 状 态 。该 系 统 的 能 量 本 征 方 程 是2 2( 1)2 2lm lm lm lm lml l lHY Y Y E YI I ， 所以 lmY 对 应 的 本 征 能 量 是 2( 1)2lm l lE I ，所 以 任 意 t 时 刻 粒 子 的 状 态/ ( 1), ,( ) lmiE t il l tlm lm lm lml m l mt c Y e c Y e 第四章：一 、 力 学 量 随 时 间 的 演 化1、 记
27、 忆 并 理 解 力 学 量 随 时 间 的 演 化 公 式。2、 对 于 定 态 ， 是 否 一 切 力 学 量 平 均 值 都 不随 时 间 变 化 ？否 ， 如 果 力 学 量 算 符 显 含 时 间 ， 则 其 平 均 值可 以 随 着 时 间 变 。3、 对 于 非 定 态 ， 是 否 一 切 力 学 量 平 均 值 都随 时 间 变 化 ？否 ， 守 恒 量 的 平 均 值 可 以 不 变 。 证 明 见 书 上p78.4、 如 果 系 统 有 一 个 守 恒 量 ， 则 系 统 的 能 量本 征 态 一 定 为 该 守 恒 量 的 本 征 态 吗 ？否 ， 如 果 能 级 有 简
28、 并 ， 则 能 量 本 征 态 可 能 不是 该 守 恒 量 的 本 征 态 。 比 如 22pH m 有 守 恒量 动 量 p ， 但 本 征 态 sin( )kx 不 是 p 的 本 征态 。5、 设 体 系 处 于 定 态 ， 则 不 含 时 力 学 量 的 测量 值 的 平 均 值 和 概 率 分 布 都 不 随 时 间 变 化 。证 明 见 书 上 p21。6、 自 由 粒 子 处 于 定 态 ， 动 量 不 一 定 取 确 定值 。 自 由 粒 子 能 级 简 并 ， 不 同 方 向 的 动 量 本征 态 可 能 具 有 相 同 的 能 量 ， 定 态 是 能 量 的 本征 态
29、， 不 必 是 动 量 的 本 征 态 ， 所 以 不 一 定 具有 确 定 的 动 量 。7、 体 系 的 守 恒 量 的 测 量 值 总 是 确 定 值吗 ？否 ， 要 看 粒 子 在 什 么 状 态 ， 如 果 不 在 守 恒 量的 本 征 态 上 ， 那 么 测 量 值 就 不 确 定 。8、 在 定 态 下 ， 所 有 的 物 理 量 都 是 守 恒 量 吗 ？否 ， 守 恒 量 的 定 义 跟 粒 子 的 状 态 无 关 ， 只 跟哈 密 顿 量 有 关 。9、 两 个 无 相 互 作 用 的 费 米 子 可 以 处 于 相 同的 单 粒 子 态 吗 ？否 ， 因 为 费 米 子
30、要 满 足 交 换 反 对 称 性 ， 导 致泡 利 不 相 容 原 理 ， 所 以 不 能 处 于 相 同 的 单 粒子 态 。 而 两 个 无 相 互 作 用 的 玻 色 子 可 以 处 于7相 同 的 单 粒 子 态 ， 因 为 它 们 的 波 函 数 满 足 交换 对 称 性 。第七章：一 、 矩 阵 形 式1、 有 一 套 正 交 归 一 完 备 基 , 1,2,3.k k 。求 量 子 态 在 这 套 基 下 的 列 向 量 形 式123 12 ,3. .j aaA aa j 求 算 符 L在 这 套 基 下 的 矩 阵 形 式11 12 1321 22 2331 32 33 ,
31、. . .ij L L LL L LL L L LL i L j 2、 有 两 套 正 交 归 一 完 备 基 k ， ， 求 从kA k 变 换 到 B 的 方 法 。kk kk k kkB k kk kS kS AB SA 求 从 k 表 象 下 的 算 符 矩 阵 元 kjL 变 换 到 表象 下 的 算 符 矩 阵 元 L 的 方 法 k jk k kj jkL Lk k L j jk k L j jS L SL SLS 3、 力 学 量 在 任 何 表 象 下 的 矩 阵 形 式 都 是 厄米 矩 阵 。4、 力 学 量 在 任 何 表 象 下 的 矩 阵 都 具 有 相 同的 本
32、征 值 ， 因 为 表 象 变 换 不 影 响 本 征 值 。第八章：一 、 自 旋 算 符 的 矩 阵 表 示0 1 0 1 0, ,1 0 0 0 12 2 2x zy is s si 二 、 如 果 已 知 两 个 ， 要 求 会 利 用 角 动 量 对 易关 系 式 , i j ijk ks ss i 求 出 另 一 个 ， 比 如 已知 0 1 0,1 0 02 2x y is s i ， 求 zs 。解 ： 2 2 , ,1 0 1 0 0 0 11 1 0 0 0 1 04 40 00 04 1 00 12z x yz x y y xi s s ss s s s si i ii
33、ii i ii ii 2、 会 求 解 每 个 自 旋 算 符 的 本 征 值 和 本 征 态（ 并 做 好 归 一 化 ） 。解 ： （ 1）8220 1 ,1 02 2det( ) 022x xs s 得 到 本 征 值 1 2,2 2 对 于 第 一 个 本 征 值 1 2 ， 设 本 征 向 量 为ab ， 解 方 程 1 12 02 ab ， 得 到a b，所 以 本 征 向 量 为 1 aa ， 归 一 化 条 件 2* *1 1 22 1, 2aa a a aa ， 所 以 第 一 个 本 征 值 和 本 征 态1 12, 12 2x ；对 于 第 二 个 本 征 值 1 2 ，
34、 设 本 征 向 量 为ab ， 解 方 程 2 22 02 ab ， 得 到a b ， 所 以 本 征 向 量 为 2 aa ， 归一 化 条 件 2* *2 2 22 1, 2aa a a aa 所 以 第 二 个 本 征 值 和 本 征 态2 12, 12 2x ；(2) 220 ,02 2det( ) 022y y is i is i 得 到 本 征 值 1 2,2 2 对 于 第 一 个 本 征 值 1 2 ， 设 本 征 向 量 为ab ， 解 方 程 1 12 02 i abi ， 得 到ia b ，所 以 本 征 向 量 为 1 aai ， 归 一 化 条 件 2* *1 1
35、22 1, 2aa ia a aia 所 以 第 一 个 本 征 值 和 本 征 态1 12,2 2y i ；对 于 第 二 个 本 征 值 1 2 ， 设 本 征 向 量 为ab ， 解 方 程 2 22 02 i abi ， 得 到a ib ， 所 以 本 征 向 量 为 2 aia ， 归一 化 条 件 2* *2 2 22 1, 2aa ia a aia 所 以 第 二 个 本 征 值 和 本 征 态92 12,2 2y i ；(3) 1 0 ,0 12zs 已 经 是 对 角 矩 阵 ， 本 征 值1 2,2 2 对 于 第 一 个 本 征 值 1 2 ， 归 一 化 的 本 征 向
36、量 为 10z ；对 于 第 一 个 本 征 值 1 2 ， 归 一 化 的 本 征向 量 为 0, 1z 。三 、 对 于 一 个 一 般 的 自 旋 量 子 态ab ， 会 计 算 自 旋 算 符 的 平 均 值 ， 比如 ， 求 ys 的 平 均 值 。 * * * * *0, 02, 2 2y i as a b i biba b iab ia bia 四 、 会 计 算 态 的 演 化 问 题 ：例 题 见 第 八 章 作 业 。又 比 如 ： 假 设 粒 子 的 哈 密 顿 量 是 zH s假 设 粒 子 在 零 时 刻 的 状 态 是11(0) 12 ， 求 解 以 后 的 任 一
37、 t时 刻 粒子 的 状 态 ( )t 以 及 自 旋 三 分 量 的 平 均 值 。解 ： 能 量 的 本 征 问 题 求 解 如 同 zs 的 本 征 问 题的 求 解 ， 解 出 的 本 征 值 和 本 征 态 如 下 ：1 1 1, 02E 2 2 0, 12E 用 线 性 组 合 法 解 演 化 问 题 ：1 211 1 1(0) 12 2 2 接 下 来 的 演 化 就 是 配 上 动 力 学 相 因 子1 2/ /1 2/2 /2/2/22 2( ) 2 21 02 20 12 222 iE t iE ti t i ti ti tt e ee eee 自 旋 三 分 量 平 均
38、值 分 别 是 /2/2 /2 /2/2/2 /2 /2/ / /2/2 /2( ) ( ) ( ) 0 12 21 02 2 244 cos /2 ( ) ( ) ( ) 02 202 2 2x x i ti t i t i ti ti t i t i ti t i ty y i ti t i t i ts t t s t ee e eee e ee ets t t s t i ee e i e /2/2/2 /2 /2/ / /2/2 /2 /2/2/2 /2 /244 sin( / )2 ( ) ( ) ( ) 1 02 20 12 2 24 i ti t i t i ti t i tz
39、 z i ti t i t i ti ti t i t i tiee e ieie iets t t s t ee e eee e e 0 即10即 自 旋 向 量 平 均 值 绕 z 轴 旋 转 。五 、 理 解 直 积 态 的 概 念 ， 比 如 粒 子 1 处 于1 2zs 的 本 征 态 ， 粒 子 2 处 于 1 2xs 的 本征 态 ， 则 其 两 电 子 的 自 旋 量 子 态 就 是 直 积 态 11 1 2 122 2 2222222 z xz z zz z z z 六 、 记 忆 两 电 子 自 旋 系 统 的 2, zS S 的 共 同本 征 态 ，了 解 它 们 满 足
40、 的 本 征 方 程 ，2 2( 1)lm lmz lm lmS l lS m 第十章：一 、 非 简 并 微 扰 论 ， 背 会 ：能 量 的 一 阶 修 正(1) (0) (0)k k kE H 波 函 数 的 一 阶 修 正(1) (0)(0) (0)(0) (0) (0)(0) (0) nkk nn k k nn n kn k k nHE EHE E 能 量 的 二 阶 修 正 2(2) (0) (0)nkk n kk nHE E E 例 题 ， 见 第 十 章 作 业 。又 例 如 ： 宽 度 为 a 的 一 维 无 限 深 势 阱 中 的粒 子 的 本 征 能 量 是2 2 222 , 1,2,3.n nnE ma 对 应 的 能 量 本征 波 函 数 是2 sin , 0( ) 0, 0n n x ax a a x ax x 当当 或。 若 外 加 一 个 弱 的 线 性 势 ( )V x x 。 请 应用 非 简 并 微 扰 论 ， 每 个 本 征 能 量 的 一 级 修正 ；（ 注 ： 请 利 用 sin 函 数 的 性 质 2 2 2 20 , 4sin sin 2 ( 1) 1), ( )m n m nx mx nx dx m
