1、量子力学 入门 笔记 在 几个月前，我接触到了量子力学 ， 发现这是一 套 有趣的 、 美丽的，却令人 捉摸不透 的理论 。 写在 最前面 ： 一定要把量子力学当作 是 线性代数 去看 ， 去 体会 ，很少有人 能够真正的理解量子力学，但是在学习它是一个十分有趣的过程。 我不明白 为什么国内的教材喜欢把量子力学 与 偏微分方程 联系在一起， 导致很多人、包括我在看了几页书之后一头雾水 ，在我看来 ，把量子力学当作偏微分方程的课程来讲的作者他自己也没有很好的理解量子力学，所以在我看来，把量子力学当作线性代数来看是比较容易理解的。量子力学 很年轻 ，只有 100 年左右的 发展 时间，可是在这 1
2、00 年里 ， 我们的生活被永远 地 、不可逆 地 改变。 下面的 量子力学 被建立 的历程在很多物理学教材上面都可以看得到， 你可以 跳过下面的一大段发展历程，当你学到一些量子力学的内容后回过头来会发现，这 些 人的努力是多么的恰到好处 。 从 机械钟摆到 电子 显示屏 的 手表 ； 从马车到无人驾驶的特斯拉 ； 从机械计算器 到太湖之光，这一切都由 量子力学在做 基石 ，所以说 不了解量子力学等于生活在了 100 年前。 牛顿 所构建的经典 力学完美的 解释了宏观物 体的 力学 性质，麦克斯韦构建 的 麦克斯韦方程组完美的诠释了电磁 场 的 性质 。 I 历史 背景 Figure 1 黑体
3、 辐射谱 （来自： wikipedia） 就像 所有 物 理课本中所说的一样，在 19 世纪末、20 世纪初 ， 物理 学“ 晴空万里 ” ，但是天空中飘着两朵乌云 ，迈克尔逊 莫雷干涉实验 与以太假说的相悖 以及 奇怪的黑体辐射曲线。 而 迈克尔逊 莫雷实验 已经 被解决 ，它就是大名鼎鼎的 狭义相对论。黑体辐射 很好理解，在我们的宇宙中， 所有具有 温度的物体都会辐射出电磁波，不同 的 波长反映了辐射电磁波具有能量的不同，之所以叫做 黑体 辐射 ， 是为了排除物体可能反射其他光源产生的光，所以黑体辐射出来不同电磁波 的分布 仅仅由 温度所决定 ， 这样所得到的谱线就叫做黑体辐射。 经典电磁
4、学 所得出来的结论与实验结果截然 不同。直 到 1900 年，普朗克 （ Max Planck） 利用他 强大的数学能力硬生生 地“凑 ”出来了 我们现在所看到的黑体辐射公式 ，普朗克 自己也没有想到这样一个完全是 “暴力破解 ”所得到 的 公式 ， 竟然能够 完美的 解释黑体辐射谱。 普朗克 自己也说到 ：“a purely formal assumption . actually I did not think much about it.”（来自 ： wikipedia） 。后来 普朗克 假设能量 在传递过程中是 一份 一份 的 传递，也就是我们今天所看到的 = ， 才把 公式解释 的
5、通 ， 如果时间允 许，我会在最后推导黑体辐射的公式 。 在当时 连 普朗克自己都觉得这个想法太过于荒谬， 也没有 在物理界引起很大的反响。 到了 1905 年， 爱因斯坦根据普朗克的思想解释了 光电效应 ，并且 因此 获得了诺贝尔物理学奖。 当时 还有一个 在 高中困扰Figure 2 Max Planck as a young man(1878)（来自： wikipedia） Figure 3 Niels Bohr（来自 ：wikipedia） 1 2 3 4 Figure 4 图一 ：弗 兰克 赫兹 实验 装置；图二： James Franck； 图三： Gustav Herz； 图四：
6、弗兰克 赫兹 实验曲线（ 来源 ： wikipedia） 我的问题困扰着 当时的人们，就是 在 用经典理论解释原子模型的时候，原子核外电子的运动是一个圆周运动，那么核外电子必然有一个向心加速度，一个有加速 度 的 带电物体 一定会产生电磁波 ，而电磁波携带有能 量 ，那么问题来了， 久而久之 电子为什么不会落到原子核上面 ？ 在 1913 年左右， 一个 叫做玻尔（ Bohr） 的 年轻人， 吸取了能量量子化的思想， 他认为 氢原子 和 电子 属于 满足库仑势 束缚 系统 也应该符合 能量 量子化 ，并且用 了一种 不会传播能量的 波 来描述这个系统的能 量 ，这种波就是驻波。他的 理论 很好
7、的解释了氢原子光谱，尤其是我们所熟悉的巴尔莫系的谱线。 当时 还有一个比较著名的实验 是我们 上学期做过的物理选修实验， 1914 年的弗兰克 赫兹 实验 ， 大致的实验思想是这样的：在 一个密闭的玻璃管中 ， 把电子通过电压加速，穿过 玻璃管中 的汞蒸气 ， 电子 形成 的电流随着加速电压的增大，并不是一个线性的函数，而是有很多个峰 和 谷，也就是说 在 某些特定的能量下，阴极发射的电子 可以把能量传递给汞原子，导致 很少有 电子穿过汞蒸气，之后当电子继续达到某个能量值后， 就 又会 产生 一个极小值，这个实验又说明了能量在传递过程中是一份一份 地 传递。 这个 实验也很好的说明了能量量子化
8、的现象。 时间 到了 1920 年， 施特恩和格拉赫 提出了著名的，最能体现量子 现象的 实验 施特恩 格拉赫 实验 （ Stern-Gerlach experiment） 。 他们 把一束银原子通过一个不均匀的磁场， 他们发现 银原子会分成离散的两束粒子 ， 这里可以不去纠结 磁场与粒子 作用具体的 原理 或者过程， 根据 经典物理中 的观点 ，一Figure 5 Stern-Gerlach experiment apparatus and sequential experiment. （来自： wikipedia） Figure 6 Louis de Broglie and Erwin S
9、hrdinger（来自 ： wikipedia） 束粒子中各粒子的 “取向 ”（这里 用取向 代指自旋取向 ） 应该是 均匀的 ，所以 我们得到的图谱应该是连续的一 条 线段 ，但在实验中 却是 分离的、离散的两束 。这说明 在银原子内部的自旋的取向只能取离散的两个值， Figure 5.右侧的图是一组 实验装置 ，后面我们会 大篇幅的 讲解施特恩 格拉赫实验 和量子态，这里只需一个直观的感受即可。 从 普朗克研究黑体辐射发现能量量子化的现象到 施特恩 格拉赫实验 已经过去了 20 年， 在这 20 年里，物理学家们发现了很多量子化现象，但是在理论上还不能完全解释他们，我们唯一有的就是玻尔的
10、氢原子 驻波模型 ， 但是这个 模型 还是十分经典的 。 后来 一个叫做德布罗意 的年轻人 ， 他想 既然波 可以像物质一样，那么物质是不是也具有波的性质呢？于是 他提出了 物质波的概念 并且在 1924年当作博士论文提交了， 他的 导师朗之万也很难理解，于是把他的论文交给了爱因斯坦，爱因斯坦看后赞叹道： “他已经掀起了面纱的一角！ ”。 整个 20 世纪 20 年代是量子力学发展迅速的十年， 这十年中 ， 海森堡到 哥廷根大学 访问学习 ，而 哥廷根 大学有玻尔 在 坐镇，并且泡利 （ Pauli）在跟着玻尔学习 ，形成了 哥本哈根学派 。在 1925 年，海森堡 （ Werner Heis
11、enberg） 、波恩（ Max Born） 和 乔丹 （ Pascual Jordan） 创立了 矩阵力学，他们认为，我们根本不用去纠结真正的机理是什么，我们只需要解释我们的观测值就好了 ， 只要解释我们可观测的东西就好。 之后 就是大家很熟悉的历史，薛定谔在 拿着 德布罗意的论文度假的时候想着，既然物质有了波 ， 我就给他个波动方程好了 。后来 泡利利用海森堡的矩阵力学解出了氢原子的 定态 解， 薛定谔 利用自己的波动方程也解出了一样的解，然后大家就都不淡定了！ 量子力学 来到了辉煌的时代，泡利发现了电子有了自旋，于是就有了泡利 矩阵 （ 有机会 后面会谈到） ，海森堡推出了不确定原理（
12、Uncertainty principle） ， 狄拉克（ Dirac） 着手研究 相对论的量子力学 。 第五次 索尔维 大会也在那一年召开。 之后就有了我们 物理考试必拜的一张图片 。量子力学 在解决问题的时候从来没有错过，所以在当时，所有的物理 学家 都承认量子力学，只是他们并不能很好的理解量子力学， 这其实 和物理学的发展很相似，大家都是小打小闹的 猜出 、提出一 些解释现象 的 理论， 到后面 才慢慢的发展出能够解释物质本质的理论。我们 对 量子力Figure 7 5th Solvay onference(1927)（ 来自 ： wikipedia） 学发展的历史的解释到这里就告一段落
13、了，下面我们来讲讲怎么去入门 地 理解量子力学。 没关系 ， 费曼 曾经说过： “I can safely said (that) no body understands quantum theory.”。也许 我们并不能 完全的 理解量子力学，但在学习它的过程中，我们会收获到很多有趣的、有价值的东西。 II数学 基础 虽然学习 量子力学 并不需要 很强大的数学功底，但 还是 需要 一部分 数学基础的，如果对线性代数十分了解的话那么就 比较容易了 。这里 主要补充些从 欧几里德空间到希尔伯特空间的一些内容 ， 还包括一小部分关于爱因斯坦求和记号 的介绍 。这些工具 都能够在 很大程度上帮助 理
14、解量子力学或者简化计算。 第一个 想向大家介绍的数学概念是 空 间 。 可以把 空间简单的想象成为一间 “房间 ”， 在 空间中 容纳东西 就是能够进行运算的东西 ，在同一个 空间中，这些 运算 都 统一 遵循着相同的代数法则。 我们最常见 的也 是 极其重要的空间叫做线性空间（ Linear Space） 或者 向量空间。 大家 都有这样的直觉，如果想描述某个空间中的某个运动 或者 状态就必须有合适的 数学语言，这便是基 底（ Base） 。 例如 ： 我们想描述某个点的位置， 我们 就要先 选择一个 合适的坐标系，然后 只需 知道 这个点 与原点的相对方向和距离我们就可以很快的找出这个 点
15、 了，这就是矢量的概念，当然， 这些都很小儿科。 更一般的 ， 为了 适 应描述不同 空间 中的 变换、 运动，我们可以 把 矩阵 、函数抽象成为基底。例如 ：我们 可以定义一个多项式空间，它的基底 是 无限多的，由 1,2,3,4,组成 ，在这个空间中的某个 “点 ”，可以这样来表示： () = 0 +1 +22 +33 + 它与我们 平时看到的欧几里德空间中的矢量 = + +是不是 很像？ 还有一个 熟悉的例子是 傅立叶 级数（ Fourier Series ） ，只不过 我 们 选 取 的 基底 是1,2,3,2,3,我们 的 矢量 （ 函数 ） 就可以 表示成 ： () = ( +)0
16、甚至 我们可以把一个 22 矩阵 （举例说明 ，更高维度也可以） 表示成 这样： = 0 1 00 0+1 0 10 0+2 0 01 0+3 0 00 1 如果 仅仅知道一个矢量可以分解 成 基底的线性 和还不够 ， 我们真正关心的是 基矢量 前面的 系数是多少？回想一下 矢量 是怎 么 用基底表示的？ 比如说 在欧几里德空间中，我们有矢量 ，和 基底 ,， 所以我们可以把 表示为 = 1 +2 +3 + 其中 = , , 表示求 两个 矢量 的内积 。我们 可以将这样的性质推广，于是就有了 内积空间 （ inner product space） 的 定义： 定义 ： 一个 向量空间 V 上
17、的 内积 （ inner product） 为 V 上的运算，它将 V 中的 向量 x 和 y 与一个实数 关联 ，并满足以下条件： I 0， 等号成立的条件是 x=0. II 对 V 中所有的 x和 y， 有 =. III 对 V 中 所有的 x,y,z及 所有的标量 a 和 b，有 = a +b . 所以 我们可以在向量空间 Ca,b定义 内积为： = ()()可以 根据上面对内积 空间的定义来证明上面的 式子 满足内积空间的定义。 类似 与欧几里德空间内的单位向量 (1,0)或 (0,1)， 我们可以找到 向量 空间 C 相应 的规范正交集 （ Orthonormal Set） 1,2,
18、3,2,3,，并且 可以用 它来 逼近一个周期为 2pi 的连续周期函数 f(x)， 写成 () = ( +)0所以 我们 可以根据内积的定义求出系数 ,. 0 = = 1 ()以及 = = 1 () = = 1 ()这样一来 ，就十分容易理解傅立叶展开 了 ， 而且 利用相同的手法可以证明我们所选的基底是相互正交的 ， 类似这样的空间叫做希尔伯特空间（ Hilbert Space） 。我们 还可以推广到复数域中，只不过 讨论 复数时我们 的 问题在复希尔伯特空间 （ Complex Hilbert Space）中 。 这里我省略了很多东西，比如 范数 （ norm） ，线性 赋范 空间 （
19、Normed Linear Space） 等等一些 的说明，因为我们只需要理解到这里就够了 。 这里 主要 的目的是想让大家明白 很多 东西都可以抽象 成为 矢量，并且我们可以根据需要定义内积等等概念，这 些 思想 对后面量子力学的 态 矢量 的 理解有着十 分重要 的 作用。 上面 仅仅是对线性代数的一瞥 ， 有个很严重的问题就是学校教我们的 线性代数总是从行列 式 开始，甚至从始至终都没有告诉我们线性代数的 核心 是线性空间 和线性变换 。 这一切 都是十分有趣的东西，我也很想写很多东西，只不过我们的重点是量子力学而不是线性代数。 到后面的 特征值，奇异值分解 等等 概念都是人类 发明的
20、伟大的工具，而这些工具在很多领域都有广泛的应用 ， 最 贴近生活 的 JPEG2000 是电脑存储图片的基于小波变换 的 一种 算法 等等 ，这里就不过多废话了 。 下面 简单介绍一下 爱因斯坦求和 标记 ，一种很实用的矢量运算工具。 如果你在之 前 接触过一些场论 ， 那么你一定对矢量 微积分的 印象十分 深刻 ，比如说 nabla 算符， laplace 算符等等。你一定 见过 这样的公式： = ( )2 想象一下如果 只是简单的按照行列式求矢量叉乘的方法，这样的 等式 要化简的话要等到什么时候啊，于是大名鼎鼎的爱因斯坦发明了 这 种求和助记符 ， 我们 根本不需要 写出矢量 的全部维度来
21、进行计算，因为所有的方向都是轮换对称的，我们仅仅 知道 一个方向就可以了 ！我们先来 回忆一下有关 “ 场 ” 的概念， 物理学家 把某一物理量在某一区域中的分 布成为场 。如果物理量是标量，那么 称作 标量场；如果是矢量就叫做矢量场，比如说： 温度 在某一特定区域内的分布叫做温度场 T()， 它是一个标量场 密度 在某一特定区域内的分布叫做密度场 ()， 它是一个 标量场 速度 在某一特定区域内的分布叫做速度场 ()，它是一个矢量场 诸如此类 的还有很多 。还有一个比较 常见的算符 ， nabla 算符 = ( , , )，以及相应的运算公式 = ( + , + , ) = + + 为了方便
22、 表示我们把矢量写成标量的形式： = (,) ( = ,) + = + = = 上式 右侧的表示方法就是爱伊斯坦指标求和的方法，在与标量不发生混淆的时候我们完全可以用这种简单的方式来 进行 演算 。当情况比较 复杂的时候，比如说遇到叉乘怎么办？这时 我们 引进两种符号 Kronecker 符号和 Epsilon 符号 = 1, = 0, = 1, = ,1, = ,0,这样 我们的点乘和叉乘可以分别表示为 = = ( +, +, +) 这样 我们就可以用研究标量的方法研究矢量了！ 下面 还有一个比较重 要 的公式用来 化简做两次叉 乘运算的式子 ， 仔细观察一下下面式子的指标就可以 很 容易的
23、记住它的形式，这对我们进行矢量的微积分运算是 很有 帮助的 ： = 通过爱因斯坦 指标求和这一强大的工具，我们就可以化简许多场论中出现的公式了 。 比如说 我们 来 利用 麦克斯韦方程组 把 真空中的光速 求出来： = 0 = = 0 = 00 利用 我们 之前介绍的助记符表示就是： = 0 = = 0 = 00 对 = 等式 两边 同时再求一次 旋度得到： = 整理得 = () 可以化简为 ： ( ) = 00 22 还原 到矢量微分方程即为： ( )2 = 00 2 2 由于在 真空中， = 0， 所以 2 00 2 2 = 0 这样 ，我们就得到了真空中电磁波传播时，电场分量的波动方程
24、， 易知 12 = 00。所以在真空 中，电磁场的传播速度 ， 或者光速为 = 100回顾一下， 在这一小节中，我们主要介绍了不同的空间， 把 欧几里德空间中的矢量推广到了 希尔伯特 空间中 ， 并 介绍了一种 化简矢量 微分方程的 爱因斯坦求和指标 的 用法。 有了 数学工具， 下面让我们 进入到 量子 力学的世界中。 III 电子 干涉实验 在 这一小节中，主要 为了 给大家体会量子理论的一些思想，我们为什么把粒子既看作是实物粒子 又 看作 是 波。 介绍 研究量子力学时用到的工具 左矢（ Bra） 和 右 矢 （ ket） ，以及 态叠加原理。 在 前面的介绍中我们知道了德布罗意提出了物
25、质波的理论，那么如何来证明粒子具有波的属性？或者说 波与 宏观物质有什么不同？波 很重要 的一个性质就是可以 发生 衍射和干涉，历史上为了证明光是一种波，托马斯 杨利用了 双 缝 干涉实验证明了光是一种波。那么 我们来复制这样的实验，我们只要证明实物粒子可以发生衍射和干涉就好了 。 挑选 实验 材料是一种考验，因为根据德布罗意的假设 = /， 这说明我们应该 选用 尽可能 质量 比较小的物体Figure 8 电子 干涉实验 来做衍射或者干涉实验 ， 因为如果波长 太短 ，意味着我们没办法找到合适的材料来做双 缝 或者单缝。 所以我们 选择电子来作为实验材料 。 在 上面 这幅图中， （ a）
26、是 实验装置示意图，（ b） （ c） 是在实验过程中 ， 电子打到 荧光屏上的图像。现在 我们来 考虑一种简单的情况， 如果 我们挡 住狭缝 1 或者狭缝 2，那么 我们 会得到如图（ b） 所示 的图像 P1 或者 P2，我们看到电子似乎是发生了衍射现象，电子 在 穿过狭缝后，运动方向 有 无数种可能， 但是 到达荧光屏上的概率最大的地方应该在狭缝附近，无论 你 是 遮挡了 狭缝 1 还是狭缝 2，我们得到的实验结果就是这样。可是 当狭缝 没有被遮挡的时候呢？ 直觉上 我们会认为得到的图像应该是 P1+P2， 就像图（ b） 左边 的 图 那样，它有两个极大值，分别在狭缝 1 和狭缝 2
27、附近 。可是 真正 的实验结果确实图（ c） 所示 的图像，它有一系列的 极大 极小值 。它 的确发生了干涉现象 ！ 这意味着 我们 必须 改变我们以前 在 经 典力学中的思维，我们必须寻求一套新的理论来描述这样的 现象。在 研究 光 波的性质的时候，我们曾经用光 强 来描述干涉现象 ： 对于 来自狭缝 1 的 光波， 振动 的位移方程为 1， 强度正比于 1 = |1|2， 来自狭缝 2 的 光波 ， 振动 的 位移 方程为 2， 强度正比于 2 = |2|2。 由于 人眼 所感知的恰恰是光的强度，我们并不能清楚光子或者光波的振 动 情况，我们只能 感知到光 强 的 平均值 ，所以我们才能够
28、发现 光波的干涉 |1 +2|2，正是 因为其中的相位因子导致了 干涉 图像不同位置光强的不同 。 如果我们 用粒子 的 观点去看待光的干涉现象，那么屏幕上光强的不同恰恰代表了光子到达该位置概率的 平均值 。这个地方 比较“亮” ，说明在单位时间内到达该点的光子比较多，光子到达该点 的 概率大于其 它 点 。 沿着 这个 思路一直下去，我们仿照光强 定义 一个新的物理量 叫做 概率幅（ Probability amplitude） ， 用字母 来 表示， 有时 也会 用 来表示 。 |2表示 该点粒子到 达概率的大小 。 所以利用概率 幅的 思想，我们可以用它来描述电子干涉的现象 。 电子 穿
29、过 狭缝 1 后打到屏幕上的概率密度用|1|2来表示 ，电子 穿过 狭缝 2 后打到屏幕上的概率密度用 |2|2来表示 ，于是 ，在 双 缝干涉中，我们可以用 |1 +2|2来 表示电子打到屏幕上的概率密度。 从这个 实验中，我们窥探到了一些重要的东西， 概率幅与波的 振幅一样，是可以 进行 线性叠加的，以及导致干涉现象产生的是概率幅所带有的 相位 因子。 这些 都是我们从实验中的现象所推断出来的，我们只能去承认，因为Figure 9 Double slit experiment of electrons 这样 的 思 想在其它的量子实验中都没有错过，电子内部可能会有某些 奇特的 东西来控制电
30、子的相位，我们对它一无所知，就像牛顿提出经典力学的三定律 中 ，我们并不知道力只能 改变物体的加速度，力是什么，为什么可以线性叠加，我们依然一无所知 ， 我们只能利用数学工具来总结我们所看到的现象。关于 电子 的相位因子是什么并不重要， 到后面 我们会逐步解释这个东西，它可能是自旋， 也 可能是某种物理量的取向 所表现出 的宏观效果 。 总结一下 ，在电子的干涉实验中，电子打到屏幕上的概率 密度 由一个复数 的 模长平方给出， 当 电子打到屏幕上由几种不同的方式组成时，这个概 率 密度 等于这几种 概率 幅线性叠加后的模长平方给出 。 总 = 1 +2 = |1 +2|2科学家们 把概率幅抽象
31、成为粒子的状态也叫 态（ state） ，拿 电子干涉的实验来说，因为从狭缝 1 和狭缝 2 出来的电子 所 具有的概率幅有一个相位因子的差别，所以 两种 方式 出射的 电子 处于 两种 不同的 态。态 满足态叠加原理，在不同的坐标系中，态可以 表示为不同 基底的 线性 组合 ，一般来说，我们通常把基底选为粒子 态 在这种坐标系 下的 本征态（ Eigen state） ，这和 线性 代数中的 特征 向量（ Eigen vector） 是一样的 。 我们 习惯 用本征态来合成粒子的态，这里我们只要明白在量子力学中，我们描述粒子的运动 用 态 来描述，并且 态 是满足 线性 叠加原理的 ，像 直
32、角坐标 系 中那样 ， 我们习惯用正交的本征态作为基底 。 我在前面 讲过，要用 线性 代数的思想去理解量子力学，我们刚刚讲到了用 态 的基底 来 合成态，既然涉及到了分解，就一定要规定 内积 。因为 是一个 复变量，我们要 像 傅立叶 展开那样 把它 与基底（ 另外一个 复变量） 进行 点乘，才能得到展开系数。我们 还要 拿线性代数的那一套理论来说事： 在 向量 空间中，我们把矢量这样分解： = 1 +2 +3 + = , 那么 ，类似的在态矢空间中，我们这样分解： = 1 +2 +3 + = ,= ()()为了 在态矢空间中，我们的态表达的清晰明了 ， 科学家们（如果没记错 的话应该是狄拉
33、克）根据泊松括号（ Poisson bracket） ， 利用 叫做 Bra-ket 的方式来描述态。 比如说 某个态 用右矢 （ ket） 来表示 = |， 它的 复共轭 用左矢（ bra）来表示 = |， 那么它 在 某点出现的 概率密度， 也就是 自己 与 本身的点积记为 |.其实 bracket 本来就是括号的意思啊，有个比较有意思的梗是：物理 学院 有 很多 同学不能正确拼写括号的英文单词 （ 这里 没有 嘲讽的意思啊） 。 IV 施特恩 格拉赫 实验 在 上面 一节 中我们介绍了 电子 的干涉实验，以及 用 概 率幅或者态 来 描述粒子的运动性质 ，并且有了 bra-ket 的 表
34、示方式 。有了 这些 我们就可以进阶的 来 理解施特恩 格拉赫 实验，这个实验被称为是 “ 最量子 ” 的实验，因为 它 几乎没有 经典的 理论相对应 。 施特恩 格拉赫 仪器 简单来讲 是一个由 非均匀 磁场所构成的一个孔道，粒子穿过孔道的时候会与非均匀磁场发生作用 （注意 这里的 粒子 是电中性的） ，从而 发生偏 折 ， 其实 如果这个实验更早一些就可以 用来证明 AB 效应了， 至于 非均匀磁场如何与粒子 发生作用 这里就不做过多解释了，因为 在这里 我们几乎用不到 这样 的 细节 。我们只需要 清楚 施特恩 格拉赫 仪器能够 把 一束原子劈裂成离散的两束，如果我们 仪器 的磁场变化的
35、方向 是在z 轴方向 我们把 仪器叫做 Sz，那么粒子 束 就被劈裂成沿着 z 轴 方向 的离散的两束 ， 我们把两束粒子分别叫做 z+和 z-，同理如果是 x 轴方向 的 仪器就叫做 Sx，粒子 束 就会被劈裂成沿着 xFigure 20 施特恩 格拉赫 仪器 Figure 11 施特恩 格拉赫实验 结论 轴方向的离散的两束 ， 叫做 x+和 x-， y 轴亦同。 理论上 来说，我们可以把粒子送入一个实验装置，我们也可以把粒子送入串联的几个实验装置中 。 让我们 来 看一下实验结果： 实验 是比较好理解的，在 第一个 实验中，粒子通过一个 z 轴方向的装置被劈裂成两束粒子 z+和 z-，接着
36、我们把 z-的部分遮 住 ，把 z+的部分 继续 通入 z 轴方向的装置 ， 发现 z-的 部分没有出现 ，只有 z+的部分。 第二个实验 中我们把劈裂成 z+和 z-的粒子束去除 z-的部分通入 x轴取向的装置，发现出现了 x+和 x-的两束。第三个 实验中 ，我们把第一个实验装置产生的 z-部分丢掉，把 z+的部分通入 x 轴取向的装置 ， 此时我们得到了 x+和 x-的粒子束，我们继续把 x-的部分丢掉，把 x+的粒子束 再 通入 一个 z 轴取向的装置 中 ，奇怪的现象发生了， 我们 又得到了 z-的部分 的 粒子。 在经典力学中 我们用数来描述物体的各种性质比如说位置、动 量 、速度
37、等等 ， 它就是一个确定的数值 ， 这些数字叠加是没有 意义的 。但在量子力学中 ， 我们 没有办法用 确定的 一个数去描述一个 粒子 ，我们只能说它处于 某种 状态 。 有了 态 这个 物理 语言或者工具我们可以更方便的来描述 施特恩 格拉赫实验 。 对于 量子力学中奇怪的现象，我们只能 先去接受他 ，我不赞同用经典力学中的经典量去与量子力学中的某些性质去类比，因为我们从来没有接触过微观粒子，我 们所积累的仅仅是经典力学中的一些经典思想 和 一些偏见 ， 微观世界 对我们来说是一个 全新 的领域 ， 我们必须 像最初 接受 经典力学 那样来接受量子力学的思想 。 这个 实验告诉我们 原子 的
38、自旋 取向 只 能 有两个方向 而且是 离散的 ，换句话说自旋 只有两个态，这两个态具体是什么不重要，它可能是 | +或者 | ， | +或者 | ， | +或者 | 。而且 在第三个实验中，我们从 | +中 又分出来了 | +和 | ， 这说明 | +是 | +和 |的一种叠加态。我们来 尝试 建立 原子 自旋 方向 中 x 和 z 取向的一种 关系， 我们可以这样写出表达式： |x+ = a|z+b|z x+|x+ = a2z+|z+b2z |z+2 +| 根据 概率论的知识，概率 密度最终是要归一化的，所以 x+|x+ = 1 z+|z+ = 1 z|z = 1 而 当我们 把 |+通入
39、 z 取向的实验装置中，最终出来的并 没 有 | ， 所以 | +中 并不含有 | ， 或者说 | +和 | 是 互不相干的，所以： z+|z = 0 x+|x = 0 y+|y = 0 代入 上面的式子可得： x+|x+ = a2z+|z +b2z|z = a2 +b2 = 1 由于 我们从 | +中 分出来了 | +和 | ， 而且各占一半 ， 所以 a = b = 22 我们就得到了 x 取向 与 z 取向 的关系： |x+ = 22 |z+22 |z 同理 我们还可以得到 类似 的一些等式 ： |x = 22 |z+22 |z |y+ = 22 |z+22 |z |y = 22 |z+
40、22 |z 这里 也许你会奇怪为什么出现了虚数单位 ， 这是因为我们想用二维的东西来表示三维空间中的东西，代价就是多出来一 个 虚数单位来描述另 外一个维度， 这些 可以参考 群论中SU2 群 与 SO3 群 。 到这里 我们所干的事情就是利用态矢 ，以及 态的叠加 来 解释 我们所看到的现象， 这些 都是无法避免的， 客观的 实验结论摆在了我们面前，我们只能用 态 和复数的方式去 解释 这样的现象。 讲完了 施特恩 格拉赫 实验，我们来 谈谈 可观测量的概念。 不知道 有没有注意到我在开头讲 海森堡 发明矩阵力学的那 一部分 内容 ， 海森堡想：我们根本不必去关心粒子到底处在什么样的状态，我
41、们只要关心我们能观测到的东西 就好 了 。 所以 这里 我们来讲讲 算符 和 可观测量 的问题。 无论是 宏观世界还是微观世界 中 ，一个物理量如果不能被 改变，它就一定是不可观测的。举 一 个 不是 很恰当的例子 来说 ，当别人扔给你一个篮球， 无论你是 接住了它还是被它砸到，你都改变了它的运动状态，所以说 有关 这个篮球的一些物理量 就被你“ 观测 ” 到了 。在 量子力学中我们把能改变粒子状态的算符叫做可观测量（ observable） 。 当 对一个 量子系统进行 观测的时候 ，这个量子系统一定会发生不可逆转的改变 。 就像 我们 在研究电子干涉时那样，如果我们 人为 的去考察每个电子
42、的运动状态 ， 比如说用光去照射每个孔，当电子穿过就会有一个闪光， 这样 我们就能知道每个电子从哪个孔穿过，进而知道干涉图样是怎么产生 的了，可是不要忘记，根据普朗克的理论每个光子是携带一定能量的 = ， 这样每个电子就会被光子 所干扰 ，干涉图样就再也不会出现了，当把光源撤 掉 的时候，干涉图样就又神奇的出现了。也许你会说 ， 让我们来把光源 换成 一个红外光，这样 光子 的 动量 就会变小，对电子的影响就会比较小 ，事实的确是这样， 在这种 情况下 ， 电子 的衍射图样就又会重新出现，可是由于光波的波长变长， 这时 不管狭缝 1 或者狭缝 2 穿过的电子都会引起一个小小的 、 模糊的闪光，
43、以至于根本无法分辨 狭缝 1 和狭缝 2 了。 在 每次进行观测的时候都会引起这个量子系统 坍缩 到这个 系统的本 征态， 在电子 干涉实验中， 如果 我们对狭缝 1 进行观测， 意味着 我们要将狭缝 2 进行 遮挡，此时 电子 的 叠加 态就会自动的坍缩到狭缝 1 的 本征态上，同理对狭缝 2 也是 这样 。 于是 我们可 以 用一个数学公式来表 示 这样 的 情况： | = 是 一个 可观测量，或者说是一个算符， 是 一个 实数 ， 代表了系统的本征值 （通常 是 某个 可观测量 在 观测时间内的平均值 ， 到后面会继续说明） 。 所有的 可观测量都属于厄米算符（ Hermitian） ，
44、 这与厄米矩阵的定义是类似的，而且所有经过厄米算符得到的态都是 正交的本征态 ， 因为篇幅限制，这里就不过多赘述了，可以参考 Griffths 的 Introduction to Quantum Mechanics， 关于 算符和可观测量的介绍就到这里 。 V 薛定谔方程 在 得到薛定谔方程之前，首先声明一点，薛定谔方程完全是薛定谔根据波动方程所拼凑出来的公式，所 谓推导不过是把 波动 方程与德布罗意波的公式拼凑出来的一个公式，在很多教科书中都可以找到所谓的推导过程 。 下面 来 介绍一种 能够容易理解的 含时 薛定谔方程。 我们首先 来考虑一个算符 (2,1)， 它是一个延时算 符 ，它的作用是
