1、第四章 插值法,4.1 问题的提出 疑问 什么是插值法? 有什么用? 为什么要使用插值法? 在什么时候使用插值法? 如何使用插值法? ,1,第四章 插值法,4.1 问题的提出 函数的表示形式 解析表达； 图形（曲线）表示； 表格表示，表格之外的数据如何获得？ 谁在使用插值法？ 理论研究人员； 工程技术人员。,2,第四章 插值法,4.1 问题的提出 适用场合 实际问题中经常遇到 表达式未知，数据通过表格形式给出； 表达式已知，但其形式不适合计算使用。 求解函数表达式或近似表达式如硬件实现中函数(sin,log等函数)的查表,3,第四章 插值法,4.1 问题的提出 例1弹簧在力F的作用下伸长x，
2、在一定范围内服从Hooker定律：F = kx。试通过下面实际测量的一组数据，求解x = 5时F的值。,4,例2：相关干涉仪,5,干涉仪的基本原理,相关干涉仪基本原理,6,原始相位样本库,相关峰及抛物线拟合示意图,方位角,幅度,相关干涉仪基本原理,7,SNR=20dB 3600MHz D=0.6m相关图,五单元天线阵,相关干涉仪基本原理,8,第四章 插值法,4.1 问题的提出 例3 数字图像处理， 如：图像放大,9,102 by 77,1020 by 770,第四章 插值法,4.1 问题的提出 插值法概念,10,第四章 插值法,4.1 问题的提出 插值法概念,11,f(x)成为被插函数，p(x
3、)称为插值函数。x0 , x1, , xn 插值节点，区间 a, b 称为插值区间, (x0,y0 ), (x1, y0 , xn,第四章 插值法,4.1 问题的提出 历史 公元6世纪，中国隋朝数学家刘焯； 公元7世纪，英国科学家牛顿； 公元18世纪，法国数学家拉格朗日。 要求 在给定的范围内具有较好的近似效果； 具有一定的平滑性； 表达式简单，易于计算。,12,第四章 插值法,4.1 问题的提出 分类 多项式插值法 待定系数法 拉格朗日（Lagrange）插值多项式 牛顿（Newton）插值多项式 分段插值 分段线性插值 三阶样条（Spline）函数法 新方法,13,第四章 插值法,4.1
4、问题的提出 多项式插值法 计算简单 Weierstrass逼近定理 插值多项式插值多项式存在的唯一性,14,第四章 插值法,4.1 问题的提出 龙格现象 1901年龙格（Runge）给出一个例子,15,几点结论： 插值次数高时，逼近效果更好； 越靠近插值区间端点时效果越差； 具有中点对称性。,第四章 插值法,4.1 问题的提出 插值余项,16,第四章 插值法,4.1 问题的提出 例3 已知函数f(x)的两个插值节点，求其插值多项式。,17,18,第四章 插值法,4.1 问题的提出 例4 已知函数y = f(x)有如下数据：,19,求 f(x) 的插值多项式 p(x)，及 f(x) 在 x=0.
5、5 处的近似值。,20,第四章 插值法,4.1 问题的提出 几种常用插值方法比较,21,第四章 插值法,4.2 拉格朗日差值多项式 基本差值多项式,22,第四章 插值法,4.2 拉格朗日差值多项式 性质,23,第四章 插值法,4.2 拉格朗日差值多项式 拉格朗日差值多项式,24,第四章 插值法,4.2 拉格朗日差值多项式 差值余项,25,第四章 插值法,4.2 拉格朗日差值多项式 例5,26,27,第四章 插值法,4.2 拉格朗日差值多项式 带导数条件的差值 例6,28,29,30,第四章 插值法,4.3 牛顿差值多项式 差商,31,第四章 插值法,4.3 牛顿差值多项式 差商的性质,32,第
6、四章 插值法,4.3 牛顿差值多项式 牛顿差值多项式,33,第四章 插值法,4.3 牛顿差值多项式 例7,34,35,第四章 插值法,4.3 牛顿差值多项式 等距节点之差分,36,第四章 插值法,4.3 牛顿差值多项式 等距节点插值多项式,37,第四章 插值法,4.3 牛顿差值多项式 例8,38,39,第四章 插值法,4.4 分段差值 分段线性插值,40,41,第四章 插值法,4.4 分段差值 分段二次插值,42,43,第四章 插值法,4.5 样条差值 问题的引入 多项式插值在高次插值时计算量大，且存在龙格现象； 分段插值在插值节点处导数不连续，在几何上表现为曲线光滑性较差。样条插值,44,第
7、四章 插值法,4.5 样条差值 三次样条函数,45,第四章 插值法,4.5 样条差值 三次样条插值函数的唯一性,46,合计4n个条件，唯一确定系数。,第四章 插值法,4.5 样条差值 三次样条插值函数的求解,47,48,第四章 插值法,4.5 样条差值 三次样条差值多项式唯一性,49,第四章 插值法,4.5 样条差值 例9,50,第四章 插值法,实验 拉格朗日插值多项式,51,第四章 插值法,实验 牛顿插值多项式,52,第四章 插值法,作业:1,2,5,9,14 上机:实习题4电子版作业：班机、学号、姓名、第几章 学号：1-29，发至：30-60，发至： 主题词：计算方法，第X章作业,53,图像修复,54,图像修复,55,图像修复,56,图像修复,57,
