1、第3章 插值法,3.5 分段插值法,数值分析,例,并作图比较.,解:,不同次数的Lagrange插值多项式的比较图,Runge现象,结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插 值效果越好,精度也不一定是随次数的提高 而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现, 故称为Runge现象.,3.5 分段插值法,从上可知,如果插值多项式的次数过高，可 能产生Runge现象，因此，在构造插值多项式 时常采用分段插值的方法。,一、分段线性Lagrange插值,构造Lagrange线性插值,1. 分段线性插值的构造,显然,-(1),-(2),我们称由(1)(2)式构成的插值多项式 为 分段线性Lagrang
2、e插值多项式,也称折线插值,如右图,曲线的光滑性较差,在节点处有尖点,但如果增加节点的数量,减小步长,会改善插值效果,因此,则,n次Lagrange插值多项式的余项为,2. 分段线性插值的误差估计,二、分段二次Lagrange插值,分段线性插值的光滑性较差,且精度不高,因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值,构造Lagrange二次插值,1. 分段二次插值的构造,上式称为分段二次Lagrange插值,2. 分段二次插值的误差估计,由于,例:,解:,(1). 分段线性Lagrange插值的公式为,同理,(2). 分段二次Lagrange插值的公式为,分段低次Lagrange插值的特点,计算较容易,可以解决Runge现象,但插值多项式分段,插值曲线在节点处会出现尖点,插值多项式在节点处不可导,三、分段两点三次Hermite插值,可构造两点三次Hermite插值多项式,其中,我们称,为分段三次Hermite插值多项式，其余项为,即,
