1、第4章 粘性流体动力学基础4.1、流体的粘性及其对流动的影响 4.2、雷诺实验、层流与湍流 4.3、粘性流体的应力状态 4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系） 4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程 4.6、流动相似及相似准则*,4.1、流体的粘性及其对流动的影响1、流体的粘滞性在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运动状态下，流体可以承受剪力，而且对于不同种流体所承受剪力大小是不同的。流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗剪切变形能力。流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动。因此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间的相对运动能力。,4.1、流体的粘性及其对流动的影响流体抵抗
2、剪切变形能力，可通过流层之间的剪切力表现出来。（这个剪切力称为内摩擦力）。流体在流动过程中，必然要克服内摩擦力做功，因此流体粘性是流体发生机械能损失的根源。牛顿的内摩擦定律（Newton，1686年）F=AU/h （U h F）,4.1、流体的粘性及其对流动的影响 流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。 设 表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），则 -流体的动力粘性系数。（量纲、单位）=M/L/T kg/m/s Ns/m2=Pa.s =/-流体的运动粘性系数（量纲、单位） =L2/T m2/s 水： 1.13910-6 空气： 1.7810-5,一般流层速度分布不是直线，如图所示。yu 0
3、=du/dydu/dy - 表示单位高度流层的速度增量，称为速度梯度， 即流体微团剪切变形速度或角变形率。,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,4.1 流体的粘性及其对流动的影响,流体切应力与速度梯度的一般关系为：1 . =0+du/dy，binghan流体，泥浆、血浆、牙膏等 2 . =（du/dy）0.5 ，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等 3 . =du/dy ，牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等 4 . =(du/dy)2，胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等 5 . 0，0，理想流体，无粘流体。,2、粘性流体运动特点自然界中流体都是有粘性的，因此粘性对流体运动的影响是普遍存在的。但对于具体的流
4、动问题，粘性所起的作用并不一定相同。特别是象水和空气这样的小粘性流体，对于某些问题忽略粘性的作用可得到满意的结果。因此为了简化起见，提出了理想流体的概念和理论。,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,以下用若干流动事例说明粘性流动与无粘流动的差别。 （1）绕过平板的均直流动当理想流体绕过平板（无厚度）时，平板对流动不产生 任何影响，在平板表面，允许流体质点滑过平板，但不允许 穿透平板（通常称作为不穿透条件）。平板对流动无阻滞作 用，平板阻力为零。,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,但如果是粘性流体，情况就不同了。由于存在粘性，紧贴平板表面的流体质点粘附在平板上，与平板表面不存在相对运动（既不允
5、许穿透，也不允许滑动），这就是说，在边界面上流体质点必须满足无滑移条件。随着离开平板距离的增大，流体速度由壁面处的零值迅速增大到来流的速度。这样在平板近区存在着速度梯度很大的流动，因此流层之间的粘性切应力就不能忽略，对流动起控制作用。这个区称为边界层区。平板对流动起阻滞作用，平板的阻力不为零。即,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,沿平板的边界层实验演示,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,无滑移实验演示,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,（2）圆柱绕流理想流体绕流圆柱时，在圆柱上存在前驻点A，后驻点D,最大速度点B、C。中心流线在前驻点分叉，后驻点汇合。根据Bernoulli定理，流体质点
6、绕过圆柱所经历的过程为：在A-B（C）区，流体质点在A点流速为零，压强最大，以后质点的压强沿程减小，流速沿程增大，到达B点流速最大，压强最小。该区属于增速减压区，顺压梯度区；在B（C）-D区，流体质点的压强沿程增大，流速沿程减小，到达D点压强最大，流速为零。,该区属于减速增压区，逆压梯度区。在流体质点绕过圆柱的过程中，只有动能、压能的相互转换，而无机械能的损失。在圆柱面上压强分布对称，无阻力存在。（著名的达朗贝尔疑题）。,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,而粘性流体的绕流，存在很大的差别。由于流体与固壁表面的粘附作用，在物面近区将产生边界层，受流体粘性的阻滞作用，流体质点在由A点到B点的流程
7、中，将消耗部分动能用之克服摩擦阻力做功，以至使其无法满足由B点到D点压力升高的要求，导致流体质点在BD流程内，流经一段距离就会将全部动能消耗殆尽（一部分转化为压能，一部分克服摩擦阻力做功），于是在壁面某点速度变为零（S点）。,这种现象称为边界层分离，S 这一点称为分离点，以后流来的流体质点将从这里离开物面进入主流场中 。在分离点之间的空腔内流体质点发生倒流，从而在圆柱后面形成了旋涡区。这个旋涡区的出现，使得圆柱壁面压强分布发生了变化，前后不对称（前驻点的压强要明显大于后驻点的压强），因此出现了阻力D。可见对绕圆球的粘性流动不仅存在摩擦阻力，还存在压强不平衡造成的压差阻力，压差阻力本质上仍然是由
8、于粘性造成的。,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,绕圆球分离实验演示（烟线）,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,粘性流体绕圆柱的数值模拟1,粘性流体绕圆柱的数值模拟2,有逆压梯度时，边界层变厚并可能分离（低速扩压段中的边界层与分离实验演示：）,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,无逆压梯度的平板边界层沿流向会变厚但不分离，有摩擦阻力（平板边界层流动实验演示：）,分离的必要条件是：存在粘性和逆压梯度,粘性对流动的影响小结： （1）粘性摩擦切应力与物面的粘附条件（无滑移条件）是粘性流体运动有别与理想流体运动的主要标志。 （2）粘性的存在是产生阻力的主要原因。 （3）粘性边界层的分离必要条件是，
9、流体的粘性和逆压梯度。 （4）粘性对于研究阻力、边界层及其分离、旋涡的扩散等问题起主导作用，不能忽略。,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,雷诺（Osborne Reynolds，18421921，英国工程师兼物理学家，维多利亚大学（曼彻斯特）教授，最早详细研究了管道中粘性流体的流动状态及其影响因素。,4.2、雷诺实验、层流与湍流,加大流速或减小粘性时,4.7 层流、紊流及其能量损失,流体运动中的基本型态（Reynolds转捩试验） 1880年，O.Reynolds（英国科学家）用管径2.54cm、长度1.372m玻璃管进行了著名的流态转捩试验，并于1883年在一篇论文中明确指出了管中水流存在
10、层流和紊流（湍流）两种流态， 层流（Laminar flow） ：管中流速小时，水流像一根玻璃柱，清晰透明。 紊流(Turbulent flow)：在大流速时，水流浑浊，不再清晰，流速时大时小。 实验发现，不同的流态对于流动的摩擦阻力、压力损失、速度分布等影响很大。,流态从层流到湍流的过渡称为转捩。实验表明流态的转捩不是单单取决于某一个流动参数V ,等，而是取决于无量纲的组合量 Re,这就是管道粘性运动的相似参数：雷诺数。 对圆管流动，当Re2300时为湍流在非管道流动中，也存在这两种不同的流态：层流与湍流，从层流到湍流的转捩也与雷诺数大小有关。,雷诺数之所以对流态起着重要作用，从而对粘性流体
11、运动的其他特性起着重要作用，在于雷诺数具有很强的物理意义。,4.2、雷诺实验、层流与湍流,雷诺数的物理意义：雷诺数代表作用在流体微团上的惯性力与粘性力之比,惯性力正比于质量乘加速度,其中 质量正比于: L 3 加速度正比于： V2 L -1 从而惯性力正比于： V2 L2,粘性力正比于剪应力乘面积,其中 剪应力正比于: V L-1 ， 面积正比于： L 2 从而粘性力正比于： VL,因此惯性力与粘性力之比正比于：V L / , 此即雷诺数,4.2、雷诺实验、层流与湍流,层流与 湍流的对比,管道雷诺实验,平板边界层：上： 湍流下：层流,4.2、雷诺实验、层流与湍流,湍流的定义最早对紊流的描述可追
12、溯到意大利文艺复兴时期的科学和艺术全才Da Vinci(1452-1519)，他对紊流的流动进行了细致的观察，在一副关于紊流的名画中写到：乌云被狂风卷散撕裂，沙粒从海滩上扬起，树木弯下了腰。,4.7 层流、紊流及其能量损失,紊流是一种杂乱无章、互相混掺，不规则的随机运动。近年的认识： 紊流中即包含着有序的大尺度旋涡结构，也包含着无序的、随机的小尺度旋涡结构。紊流物理量的随机脉动就是由这些大小不同尺度涡共同作用的结果。紊流的扩散性由于紊流质点的脉动和混掺，致使紊流中动量、能量、热量、质量、浓度等物理量的扩散大大增加，明显大于层流的情况。 紊流能量的耗散性紊流中的小尺度涡将产生大的瞬时速度梯度，从
13、而引起较大的粘性耗散作用，这是由于紊动涡体产生的，比层流大得多。 在管道紊流中，由于流体质点的随机脉动，致使流层之间的动量发生不断的交换，快层流体速度减慢，慢层流体速度增大，造成时均流速分布更加均匀。,4.7 层流、紊流及其能量损失,4.7 层流、紊流及其能量损失,6、Reynolds时均值的概念 考虑到紊流的随机性，1895年Reynolds首次将瞬时紊流看作为时均运动（描述流动的平均趋势）+脉动运动（偏离时均运动的程度）。在紊流场中任一点的瞬时速度u可分解为时均速度脉动速度。,4.7 层流、紊流及其能量损失,式中，时均速度定义为上式中，均值时间T,要远小于时均运动的特征时间而又远大于脉动运
14、动的特征时间。,层流与湍流的区别 层流 湍流,1. 外观2. Re3. 质量与动量交换4. 速度分布5. 壁面摩擦应力 6. 剪应力,流动紊乱不规则，外表粗糙较大宏观微团纵、横向大的质量、动量交换较饱满的对数分布，壁面附近速度和梯度相对较大大牛顿应力及雷诺应力,色线规则，流动分层，外表光滑较小层间只限于分子间的较小的扩散较尖瘦的抛物线分布，壁面附近速度和梯度都相对较小小牛顿应力,4.3、粘性流体的应力状态,1、理想流体和粘性流体作用面受力差别流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的
15、能力。因此，作用于流体内部任意面上的力只有正（法）向力，无切向力。粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力。,2、粘性流体中的应力状态 在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。,4.3、粘性流体的
16、应力状态,由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。 如，对于x面的合应力可表示为:y面的合应力表达式为:z面的合应力表达式为:,4.3、粘性流体的应力状态,如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。,因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张量）。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵是个对称矩阵。,4.3、粘性流体的应力
17、状态,（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压强的负值。即：（2）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和为一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即：（3）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。,4.3、粘性流体的应力状态,4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）,Stokes（1845年）根据牛顿内摩擦定理（粘性流体作直线层状流动时，流层之间的切应力与速度梯度成正比）的启发，并在做了一些合理的假设之后， 将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理-应力应变率关系（或称本构关系）：,这个关系将六个应力与微团的变形率直接联系（线
18、性关系）。满足上述关系的流体称为牛顿流体。,对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可化简为：,4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,1、流体运动的基本方程利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方程。像推导欧拉方程一样，在流场中取一个微元六面体进行分析，以x方向为例，建立运动方程。现在由于是粘性流体，作用在中心P点处不仅有法向应力，而且还有切向应力，控制面上的应力可用中心点处应力泰勒展开表示。,作用在ABCD和ABCD两个x侧面的法向力差是：,作用在ABBA和CDCD两个侧面y的x方向切向力差是：,作用在ADAD和BCBC两个z
19、侧面的x方向切向力差是：,仍然设单位质量彻体力分量为：fx , fy , fz ,按照牛顿第二定律：,是加速度或速度的物质导数。,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,即,将反映粘性应力与应变率关系的广义牛顿内摩擦定理代入上式右端，即得到粘性流动的运动方程 NS 方程，当粘性系数为常数时，为,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,其中 是拉普拉斯算子：,可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,当不可压时，根据连续方程：,则不可压粘流的 NS方程写为：,4.5、粘性流体运动方程-Nav
20、ier-Stokes方程,不可压粘流 N-S方程比较简捷的向量形式：,其中 为速度矢量 为哈密顿算子为拉普拉斯算子,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,与第二章一样，这个方程中速度的随体导数可以加以分解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为兰姆型方程。这样有利于研究流体的有旋性：,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,2、伯努利(Bernoulli)积分伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史上罕见的数学大家族。其中， Bernoulli, Nocholas(尼古拉斯伯努利），1623-1708，瑞士伯努利数学家族第一代。Bernoulli
21、, Johann（约翰伯努利），1667-1748，伯努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。Bernoulli, Daniel（丹尼尔伯努利），1700-1782，伯努利数学家族第三代， Johann.伯努利的儿子，著有流体动力学（1738），将微积分方法运用到流体动力学中，提出著名的伯努利方程。,4.5、粘性流体运动方程- Bernoulli积分,与Bernoulli积分理想流体运动方程类似，积分N-S方程假定: （1）不可压缩粘性流体；（2）定常流动；（3）质量力有势； （4）沿流线积分。沿流线积分N-S方程，可推导出粘性不可压流体的能量方程。与理想流体能量不同的是，方程中多了一项因粘
22、性引起的损失项，表示流体质点克服粘性应力所消耗的能量。在粘性不可压缩定常流动中，任取一条流线，在流线上某处取一微段ds，该处所对应的流速为,4.5、粘性流体运动方程- Bernoulli积分,对不可压N-S方程的三个分量分别乘 dx、dy、dz后相加得：,4.5、粘性流体运动方程- Bernoulli积分,与欧拉方程沿流线积分类似，注意到沿流线有流线方程,设彻体力有势，因此有：不可压缩流动，有：粘性项照写为：,左边三项之和为：,4.5、粘性流体运动方程- Bernoulli积分,与不可压理想流体能量微分方程相比，在上式中多了一项与粘性有关的项，物理上表示单位质量流体质点克服粘性应力所做的功，代
23、表机械能的损失，不可能再被流体质点机械运动所利用。故称其为单位质量流体的机械能损失或能量损失。对于质量力只有重力的情况，方程的形式变为方程两边同除以 g，得到表示单位重量流体总机械能量沿流线的变化。,从而不可压N-S方程，在定常沿流线积分为：,4.5、粘性流体运动方程- Bernoulli积分,上式与第二章中得到的有粘性损失一维能量方程形式相同。其中 为单位重量流体所具有的机械能， 是粘性力做功使每单位重量流体损失的能量。,如果令:方程变为:沿着同一条流线积分，得到：,4.5、粘性流体运动方程- Bernoulli积分,上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上单位重量流体的所具有的机械能总是沿程
24、减小的，不能保持守恒（理想流体时，总机械能是保持守恒的，无机械能损失），减小的部分代表流体质点克服粘性应力做功所消耗的机械能量。粘性流体的Bernoulli积分方程说明，粘性流体在流动中，无论势能、压能和动能如何转化，但总机械能是沿程减小的，总是从机械能高的地方流向机械能低的地方。应该指出，由于粘性流体必然存在剪切层是有旋的，上述对N-S方程的积分只能沿流线进行。,4.5、粘性流体运动方程- Bernoulli积分,y1,y2,H1,H2,静力水头线,总水头线,1,2,y,x,本章基本要求了解流体的粘性及其对流动的影响了解雷诺实验、掌握雷诺数的定义与意义、层流与湍流的 特征与区别了解粘性流体的
25、应力状态了解广义牛顿内摩擦定理（本构关系）5. 了解粘性流体运动方程-N-S方程，掌握N-S方程各项所代表的意义,NS方程为非线性偏微分方程，它的求解一般需要借助计算机用数值方法求解。而在一些简单的粘流问题上，NS方程也有解析解。 例：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，二壁固定。,解: 设流动定常，彻体力可略。 二维不可压 NS 方程写为：,3. N-S方程的解析解举例*,4.5、粘性流体运动方程- N-S方程的解析解举例*,由于 ，第二个方程化为：,即在流动横截面压强不变。又第一个方程化为：,对 y 积分，注意到 不是 y 的函数，对 y 积分时当常数看,4.5、粘性流体运动方程- N-S
26、方程的解析解举例*,由边界条件定常数 C1 和 C2 ：y=b 处，vx=0，定得 C10， C2b2/2，于是：,即 vx 在y 向作抛物线分布。中心点流速为： 表明沿x轴 是个负值，即压强是逐步下降的。一段长度 L 上的压降是：,这个压降是用于克服壁面摩擦阻力的。,4.5、粘性流体运动方程- N-S方程的解析解举例*,管道平均流速为：,壁面摩擦应力为：,一段长 L 的壁面上摩擦应力是： 两侧壁面上的总摩擦力是,这个力刚好等于压降乘以通道面积，说明流动的损失完全消耗在克服壁面摩擦上了。,4.5、粘性流体运动方程- N-S方程的解析解举例*,4.6、流动相似及相似准则*,有了NS方程，我们可以
27、看一看考虑粘性的作用在内，流动要符合什么条件才能相似。要流动相似，毫无疑问首先要求对流动起扰动作用的物体形状要相似，即尺寸成比例。假设有两个流场，一个记为1，另一个记为2，两个流动的各项参数之间的比例关系为：,其中的 r 是比例系数，下标代表了相应的参数。,将上述比例关系代入第二个流场的x方向NS方程：可得：,4.6、流动相似及相似准则*,方程的各不同类型的项都出来一个各比例常数所组成的数，如果这些数相等，那么流场 2 的方程就变成流场 1 的方程了。方程一样，无量纲的边界条件也一样，流动就相似了。所以流场相似要求：,这个式子包含四个独力的等式关系。 第一、二两部分相等得：,即：,4.6、流动
28、相似及相似准则*,第二、三两部分相等得：,第二、四两部分相等得：,或：,第二、五两部分相等得：,4.6、流动相似及相似准则*,上面四个等式规定了四个相似参数，或称相似准则。这些相似参数都是无量纲的数。称为斯托罗哈尔数，是非定常运动的相似准则。,称为傅劳德数，是水面船只运动须遵循的相似准则。,称为马赫数，是高速可压缩流动须遵循的相似准则。,称为雷诺数，是粘性流动须遵循的相似准则。,4.6、流动相似及相似准则*,当两个流场的相似参数完全相等时，两个流场相似。事实上当考虑到其他一些力学和热力学关系时还会有相应的相似参数要求满足。然而要想同时满足这些相似准则几乎是不可能的。在实用中只能就具体问题抓住主要矛盾，满足一个（顶多两个）相似准则。雷诺数与粘性流动的流态有密切关系，从而影响到跟粘性有关的物理量如摩擦阻力等，因此雷诺数是研究粘性流体运动时须尽量满足的相似准则。即使是雷诺数一个相似准则要准确满足也是不容易的，例如在风洞中作飞机模型实验，模型尺寸远小于实际飞机，要满足雷诺数相似需要加大实验速度 v，增大 或减小 。 一来增大 v 是受动力所限的，二来 v 过高时M数也不对了。,4.6、流动相似及相似准则*,
