1、流体力学 第2章流体静力学 流体静力学研究流体在静止状态下的受力平衡规律及其在工程中的应用根据力学平衡条件研究静压强的空间分布规律 确定各种承压面上静压强产生的总压力 是流体静力学的主要任务 2 1静止流体中应力的特性 2 2流体平衡微分方程 2 3重力场中液体静压强的分布规律 2 4流体的相对平衡 2 5液体作用在平面上的静水总压力计算 2 6液体作用在曲面上的静水总压力计算 流体力学 2 1静止流体中应力的特性 一 流体静压强的定义 T 0 切力为零 只存在压力 P 平均静压强 点静压强 静止流体内部只存在压应力 流体力学 二 静止流体中应力的特性1 应力的方向和作用面的内法线方向一致 垂
2、向性流体不能承受拉力 且具有易流动性 静止时不能承受切向力 故只存在压应力即静压强 其方向与作用面的内法线方向重合 2 静压强的大小与作用面方位无关 各向等值性作用于静止流体同一点压强的大小各向相等 与作用面的方位无关 流体力学 证明第二个特性 1 表面力 取微元四面体 动画 流体力学 2 质量力 受力平衡 流体力学 由于 流体力学 同理 流体静压强是空间点坐标的标量函数 说明 1 静止流体中不同点的压强一般是不等的 同一点的各向静压强大小相等 2 运动状态下的实际流体 流体层间若有相对运动 则由于粘性会产生切应力 这时同一点上各向法应力不再相等 流体力学 2 2流体平衡微分方程 流体平衡微分
3、方程的推导 1 表面力设六面体中心点M x y z 的压强为p 则 点的压强为 点的压强为 流体力学 2 质量力 流体力学 x方向平衡微分方程 流体力学 由瑞士学者欧拉于1775年首次导出 称为欧拉平衡微分方程 二 平衡微分方程的全微分式 流体力学 有势力场中的静压强 W x y z 称为势函数 具有势函数的质量力称为有势力 重力 牵连惯性力都是有势力 流体力学 三 等压面及其特性 等压面上任意点处的质量力与等压面正交可根据质量力的方向来判断等压面的形状密度只是压强的单值函数的流体称为正压流体 对于正压流体 等压面 等密面 等温面重合 因此 静止水体 室内空气均按密度和温度分层 压强相等的空间
4、点构成的面 平面或曲面 称为等压面 流体力学 2 3重力场中液体静压强的分布规律 一 液体静力学基本方程 X Y 0 Z g dp gdz 流体力学 液体静力学基本方程 两种表达方式 水平面是等压面 浙大动画 自由液面是水平面 流体力学 推论 1 静压强的大小与液体的体积无直接的关系 只要深度h相同 容器底面压强就相等 2 两点的压强差 等于两点间竖向单位面积液柱的重量 流体力学 推论 3 静止液体内任意一点 包括边界面上 压强的变化 将等值地传到其它各点 帕斯卡原理 流体力学 例2 1 自由锻造水压机 已知A1 0 02m2 A2 8m2 P1 10kN试求P2 解 P2 pA2 P1 A1
5、 A2 10 0 02 8 4000 kN 流体力学 二 气体压强的分布 液体静力学基本方程也适用于气体 但由于气体容重很小 故高差不大时 气体压强为 表示空间各点气体压强相等 1 按常密度计算 2 大气层压强的计算 大气层分层 对流层 从海平面至高程11km范围 温度随高度上升而降低 温度降低率为 0 0065K m 同温层 高程从11 25km范围 温度几乎不变 恒为 56 5 C 流体力学 边界条件 z0 0m T0 288K 15 C p0 1 013 105N m2 1 对流层压强分布 2 同温层压强的分布 dp gdz 见P23 0 0065K m R 287J kg K 流体力学
6、 三 压强的度量1 压强的两种计算基准绝对压强pabs 以无气体分子存在的完全真空为零点起算的压强相对压强p 以当地同高程的大气压强pa为零点起算的压强p pabs pa 正压负压真空度pvpv p pa pabs 以后讨论所提压强 如未说明 均指相对压强 流体力学 为了正确区别和理解绝对压强 相对压强和真空度之间的关系 可用下图来说明 真空度pv 绝对压强pabs 相对压强p 绝对压强pabs 图2 14绝对压强 相对压强和真空之间的关系 浙大动画 流体力学 例2 2水池中盛水如图 已知液面压强p0 98 07kN m2 求水中C点 以及池壁A B和池底D点所受的水静压强 解 A B C在同
7、一水平面上 此处所求压强是绝对压强还是相对压强 流体力学 例2 3容重为 a和 b的两种液体 盛在如图容器中 各液面深度如图所示 若 b 9 807kN m3 大气压强pa 98 07kN m2 求 a及pA 解 此处所求压强是绝对压强还是相对压强 流体力学 2 压强的三种量度单位应力单位法 大气压倍数 液柱高度 标准大气压p标准 13 6 1000 9 8 0 76 101 325kN m2 1atm工程大气压p工程 1000 9 8 10 98kN m2 1ath p 1mmH2O 9 8N m2 9 8Pa 流体力学 压强度量单位的换算关系 流体力学 四 测压管水头 测压管是一端与大气相
8、通 另一端与液体中某一点相接的管子 如图 在同一容器的静止液体中 所有各点的测压管水面在同一水平面上 各项物理意义和几何意义如下 1 测压管高度 测压管水头 流体力学 流体力学 2 真空高度 pv 流体力学 例2 4封闭水箱如图 自由面的绝对压强p0 122 6kN m2 水箱内水深h 3m 当地大气压pa 88 26kN m2 求 1 水箱内绝对压强和相对压强最大值 2 如果p0 78 46kN m2 求自由面上的相对压强 真空度或负压 解 1 压强最大值在水箱底面 2 流体力学 例2 5封闭水箱如图 水箱顶面安装的压力表读值为p0 10kN m2 水箱内水深h 3m 当地大气压pa 98k
9、N m2 求水面下2m处的绝对压强和相对压强 解 流体力学 例2 6蓄水池水深h 3m 大气压pa 1at 求水池底部的相对压强p及绝对压强pabs 解 pabs p0 gh pa gh 98 1 9 8 3 127 4 kpa p pabs pa 127 4 98 0 29 4 kpa 例2 7虹吸管内最低绝对压强为45kPa 及pa 1at 试求虹吸管内的最大真空值pv和最大真空高度hv 解 pv pa pabs 98 45 53 kPa hv pv g 53000 9 8 1000 5 41 m 流体力学 例2 8如图 求A B两点的压强差 等压面 解 流体力学 例2 9如图 求A B两
10、点的压强差和测压管水头差 解 流体力学 例10 在管道M上装一复式U形水银测压计 已知测压计上各液面及A点的标高为 1 1 8m 2 0 6m 3 2 0m 4 1 0m A 5 1 5m 试确定管中A点压强 解 流体力学 作业 2 15 16 17 例11 水银密度为 2 酒精密度为 1如果水银面的高度读数为z1 z2 z3 z4求 气压差 pA pB 解 界面2的压强pA 2g z2 z1 界面3的压强pA 2g z2 z1 1g z2 z3 界面4的压强pA 2g z2 z1 1g z2 z3 2g z4 z3 pB 界面1的压强pA pA pB 2g z2 z1 z4 z3 1g z2
11、 z3 流体力学 2 4流体的相对平衡 略 流体力学 2 5液体作用在平面上的总压力计算 压强分布图绘在受压面上表示各点压强大小和方向的图形 流体力学 流体力学 各点压强大小 水平平面上的液体总压力 处处相等 各点压强方向 方向一致 各点压强大小 倾斜平面上的液体总压力 非处处相等 各点压强方向 方向一致 总压力的方向垂直于受压的平面 总压力大小 流体力学 总压力计算的解析法1 静止液体总压力的大小 面积矩 流体力学 2 静止液体总压力的作用点合力矩定理 合力对任一轴的力矩等于各分力对同一轴力矩之和 惯性矩 流体力学 惯性矩的平行移轴定理 流体力学 圆 矩形 流体力学 流体力学 惯性矩 流体力
12、学 总压力计算的图解法适用于计算上 下边与水面平行的矩形平面上的静水总压力及其作用点位置 1 静止液体总压力的大小 流体力学 2 静止液体总压力的作用点 梯形压强分布 三角形压强分布 流体力学 例10 某干渠进口为一底孔引水洞 引水洞进口处设矩形平面闸门 其高度a 2 5m 宽度b 2 0m 闸门前水深H 7 0m 闸门倾斜角为60 求作用于闸门上的静水总压力的大小和作用点 解析法 解 沿闸门建立坐标轴y 向下为正 原点O在水面上 先求形心水深 总压力为 再求作用点 流体力学 压力图法 闸门顶边压强 闸门底边压强 总压力为 p2 p1 P 再求作用点 作业 24 26 流体力学 各点压强大小
13、大小不等 各点压强方向 方向不同 因作用在曲面上的总压力为空间力系问题 为便于分析 拟采用理论力学中的分解概念将其分解为水平分力和垂直分力求解 一 总压力的大小和方向 作用在微分面积dA上的压力 2 6静止液体作用在曲面上的总压力 1 水平分力 作用在曲面上的水平分力等于受压面在垂直坐标面oyz的投影面积Ax形心处的相对压强pC与其面积Ax的乘积 流体力学 2 7静止液体作用在曲面上的总压力 2 垂直分力 作用在曲面上的垂直分力等于压力体的液体重力 式中 为曲面ab上的液柱体积abcd的体积 称为压力体 流体力学 3 总压力 大小 总压力与垂线间的夹角 方向 4 将P的作用线延长至受压面 其交
14、点D即为总压力在曲面上的作用点 确定方法 1 水平分力Px的作用线通过Ax的压力中心 2 铅垂分力Pz的作用线通过压力体V的重心 二 总压力的作用点 3 总压力P的作用线由Px Pz的交点和确定 流体力学 三 压力体的两点说明 压力体仅表示的积分结果 体积 与该体积内是否有液体存在无关 1 压力体的虚实性 实压力体 压力体abc包含液体体积 垂直分力方向垂直向下 虚压力体 压力体abc不包含液体体积 垂直分力方向垂直向上 流体力学 2 压力体的组成 受压曲面本身 压力体的底面 由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱面 压力体的侧面 压力体一般是由三种面所围成的体积 自由液面或自
15、由液面的延长面 压力体的顶面 三 压力体的两点说明 续 流体力学 绘出压力体 流体力学 压力体动画1 压力体动画2 压力体动画3 压力体动画4 压力体动画5 压力体动画6 流体力学 四 静止液体作用在潜体和浮体上的浮力 浮体 W gV 物体下沉 直至液体底部 物体沉没在静止液体中 x方向 z方向 阿基米德原理 液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向上 大小等于沉没物体所排开液体的重力 该力又称为浮力 流体力学 2 8如图所示 圆柱体压力罐由上 下两个半圆筒合成 水罐长l 2m 半径R 0 5m 压力表读值pM 23 72kPa 试求 1 上 下半圆筒所受的水压力 2 半圆筒连接螺栓所受的总拉
16、力 解 1 先求上半筒所受水压力 2 连接螺栓所受的总拉力等于上半筒所受水压力 下半筒所受水压力 流体力学 例11 图示一盛水容器 底部开孔 孔直径为r 一倒置圆锥体塞住圆孔 圆锥底直径为2r 高为h 3r 设水深H 4r 水密度为 圆锥密度为 1 试求顶起圆锥最小的力F 解1 由圆孔边向圆锥底面作投影线 设投影线所切割的圆锥外围部分所受浮力为Fb 投影线内部分受水压力为F1 圆锥自身重量为F2 顶起圆锥最小的力为 流体力学 例11 图示一盛水容器 底部开孔 孔直径为r 一倒置圆锥体塞住圆孔 圆锥底直径为2r 高为h 3r 设水深H 4r 水密度为 圆锥密度为 1 试求顶起圆锥最小的力F 解2
17、 沿圆孔边作水平截面得到一圆锥台 设圆锥台底面受到所处水深的水压力 则圆锥台所受浮力为Fb 圆锥台所受虚拟水压力为F1 圆锥实际所受水压力为F2 圆锥自身重量为F3 顶起圆锥最小的力为 流体力学 解 先求水平分力 再求竖向分力 例 流体力学 例 如图所示球形密封容器内部充满水 已知测压管水面标高m 球外自由水面标高m 球直径D 2m 球壁重量不计 试求 1 作用于上下半球连接螺栓上的总拉力 2 作用于垂直柱上的水平力和竖向力 解 1 2 作业 27 33 流体力学 回顾 一 静压强特性 1 垂向性2 各向等值性 二 液体静力学基本方程 三 绝对压强 相对压强 真空度 四 平面上的静水总压力 流
18、体力学 五 曲面上的静水总压力 流体力学 一 等加速度直线运动的液体的相对静止 二 等角速度旋转容器内液体的相对平衡 2 4液体的相对平衡 流体相对于地球有相对运动 而流体微团之间及流体与容器壁之间没有相对运动 流体力学 一 等加速水平运动容器中液体的相对平衡 容器以等加速度a向右作水平直线运动 质量力 1 静压强分布规律 得 利用边界条件 自由液面 等压面方程 等压面是一簇平行的斜面 也可用水深来表示压强分布规律 h 任一点距离自由液面的淹没水深 流体力学 2 与绝对静止情况比较 2 压强分布 1 等压面 绝对静止 相对静止 绝对静止 相对静止 水平面 斜面 h 任一点距离自由液面的淹深 流
19、体力学 二 等角速旋转容器中液体的相对平衡 质量力 容器以等角速度 旋转 1 等压面方程 积分 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面 自由液面 流体力学 2 静压强分布规律 积分 得 利用边界条件 流体力学 3 与绝对静止情况比较 2 压强分布 1 等压面 绝对静止 相对静止 绝对静止 相对静止 水平面 旋转抛物面 h 任一点距离自由液面的淹深 流体力学 例1 图所示为盛满液体的容器顶盖中心处开口 当容器以等角速度 绕垂直轴z旋转时 液体借离心力向外甩 但是受顶盖限制 液面不能形成抛物面 液体内各点的压强分布符合下式 即 常数C 可利用r 0 z 0 p 0确定 即C 0 故 流体力学 故作用于顶盖
20、上 z 0 各点的压力仍按抛物面分布 如图箭头所示 边缘B处 作用于顶盖上的总压力 可知 越大 则边缘处压力越大 离心铸造就是依据此原理 即通过离心铸造机的高速旋转而增大铸模外缘处液态金属的压力 从而得到较密实的铸件 流体力学 利用r R z 0时 p 0 以确定常数C 即 例2 如图所示 盛满液体的容器顶盖边缘处开口 当其旋转时 液体借离心惯性力而向外甩 但当液体刚要甩出容器时 在容器内部即产生真空 紧紧吸住液体 以致液体跑不出去 流体内各点的压强分布符合下式 即 流体力学 故作用于顶盖上 z 0 各点压力仍按抛物面分布 如图箭头所示 o点处 r 0 z 0 的真空度为 压强分布为 z 0时 由上式可知 越大则o点处的真空越大 离心式水泵和离心式风机就是根据此原理设计的 当叶轮旋转时 在叶轮中心处形成真空 流体被吸入 又借离心力将流体甩向外缘 增大压力后输送出去
