1、第3章,理想流体动力学,第三章 理想流体动力学,流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动，通常不考虑力和质量等因素的影响。流体动力学把流体的运动和力联系起来，通过对流体动力学的研究可以得到一些基本定律。本章的学习目标： 掌握系统和控制体的概念，掌握雷诺输运方程，掌握积分型和微分型的基本方程，理解边界条件的概念，掌握流体静力学的相关知识。,本章学习的内容,系统和控制体 作用在理想流体上的力 输运方程 积分型基本方程 微分型基本方程 边界条件 流体静力学 有旋运动动力学,3.1系统和控制体,3.1系统和控制体,系统 包含着确定不变的物质的任何集合，称之为系统，系统以外的一切，统称为外界。系统的边
2、界是把系统和外界分开的真实或假想的曲面。在流体力学中，系统就是指由确定的流体质点所组成的流体团。所有的力学定律都是由系统的观念推导而来的。在系统与外界之间以边界来划分。 系统的边界随着流体一起运动。 在系统的边界处没有质量交换. 在系统的边界上，受到外界作用在系统上的表面力。 在系统边界上可以有能量交换，如可以有能量（热或功）进入或跑出系统的边界。,系统,系统是与拉格朗日观点相联系的。 以确定的流体质点所组成的流体团作为研究的对象。 对应的方程叫拉氏型方程.问题的提出: 但是对大多数实际的流体力学问题来说，感兴趣的往往是流体流过坐标系中某些固定位置时的情况。例如，在飞机或导弹的飞行; 当燃气轮
3、机在运行时，我们希望知道其进、出口截面处的诸流动参数的分布等等。在处理流体力学问题时，采用欧拉观点更为方便，与此相应，必须引进控制体的概念。,控制体,相对于某个坐标系来说，被流体流过的的固定不变的任何体积称之为控制体。控制体的边界面称之为控制面，其总是封闭表面。 占据控制体的流体质点是随着时间而改变的。 控制体是与欧拉观点相联系的。 控制面有如下特点： 控制体的边界（控制面）相对于坐标系是固定的。 在控制面上可以有质量交换。在控制面上受到控制体以外物体加在控制体之内物体上的力。 在控制面上可以有能量交换，即可以有能量（内能、动能、热或功）跑进或跑出控制面。 对应的方程叫欧拉型方程.,3.1作用
4、在理想流体上的力,3.2作用在理想流体上的力,质量力 作用于体积内每一质量微元（或质点）上的，与其他力或邻近流体无关。 重力、惯性力、电磁力等都是质量力。表面力 外界（流体或固体）作用于流体表面上的力。 大气压强、摩擦力。质量力与表面力均为分布力 质量力分布于体积上。 表面力分布于面积上。 一般情况下，它们分布并非均匀，为空间和时间的函数。,质量力,对应于某流体微元，其体积为，质量为m作用于该微元上的质量力为F。在流体力学中，常关心单位质量流体所受的质量力，即 f ：,f又称为质量力分布密度，为空间和时间的函数。,体积为的流体微团受到的总的体积力为：,表面力,对应于某流体微元表面,其面积为,其
5、外法线单位向量为n，作用于该微元表面的表面力为Pn 。我们常关心单位面积所对应的表面力，即pn ：,从普遍意义上讲，表面力pn有如下特点： (1) pn和作用面不一定垂直；（可分解为法向和切向两部分）。 (2) pn和 n 的方向有关。,定义:,(Pound per Squire Inch),压强,在任何地方,压强的大小与方向无关.,证明：,上表面和左表面上的力为:,表面力合力的性质、 压强梯度力,可见作用于单位体积的表面力合力的量值为,方向为,称为压强梯度力,也可以写为,3.3输运方程,关于系统的基本方程,适用于控制体的方程,雷诺输运定理(RTT),风对于梁,流体的压力对活塞,火箭上的升力及
6、阻力,在流体系统中，我们并不专注于某一质点上，事实上，我们很少一路追踪某个特定的流体质点；相反的，我们经常是关注在流体所形成的周遭环境上，看看对我们所研究的问题有何影响。,3.3雷诺输运定理,观察公式：,公式都和流体的物理量的时间变化率有关。为此需将系统物理量的时间变化率和该物理量在某一固定区域上的变化率联系在一起。,雷诺输运定理,表示一局部系统的任一属性的变化率与一固定控制体积之间的关系。等式右边分别表示： 该属性在控制体积内的变化率 该属性通过控制面A流出的相应的物理量,某物理量的系统导数，等于单位时间内，控制体中所含物理量I的增量与通过控制面A流出的相应的物理量之和。,某物理量的系统导数
7、，等于单位时间内，控制体中所含物理量I的增量加上通过控制面Aout流出的相应的物理量再减去通过控制面Ain流入的相应的物理量。,特殊情况：,定常流动：,如果有几个一维的入口或出口,只要求入口和出口为一维稳定流动,而不管控制体内部是如何流动的。,一维流动：,例题,一固定不动的控制体积具有三个一维的边界界面，流体在控制体内的流动是稳定的，各截面上的流体属性如下表所示，求此瞬间控制体积内部系统的能量变化率。,3.4积分形式的基本方程,任取一个体积为 ，表面为 的确定的系统作为的考察对象。对这个系统直接写出质量守恒原理、动量定理（即牛顿第二定律），动量矩定理和能量守恒原理的数学表达式，就是拉格朗日型基
8、本方程。,拉格朗日型基本方程,一、连续方程,在系统中不存在源或汇的条件下，系统的质量不随时间变化。,上式即为拉格朗日型的积分形式的连续方程。,对于一个确定的系统来说，质量守恒原理可简述如下,系统的动量K对于时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力 。,二、动量方程,动量定理可简述如下：,式中，f为单位质量的质量力。p为压强。,上式即为拉格朗日型的积分形式的动量方程。,系统对某点的动量矩对时间的变化率等于外界作用在系统上所有外力对于同一点的力矩之和。,三、动量矩方程,动量矩定理可简述如下：,上式即为拉格朗日型的积分形式的动量矩方程。,四、能量方程,对于一个确定的系统来说，能量守恒原理可表述如下：
9、,单位时间内由外界传入系统的热量Q与外界对系统所作的功W之和，等于该系统的总能量E对于时间的变化率。,其中e是单位质量流体所含有的内能，它是状态的函数， 包含了各种形式的能量，如随着温度和压力变化的狭义 内能，化学能，电磁能等。V22是单位质量流体所具有的动能。,传给系统的热量可能有下列两种途径：热传导和热辐射。,热 传 导,若在单位时间内，通过系统表面单位面积传入的热传导热量用 q 表示，称为热通量，则单位时间内通过系统表面传入的总热传导量为,热 辐 射,若在单位时间内，辐射到系统内单位质量流体上的热量为用 qR 表示，则单位时间内系统所吸收的总辐射热为,于是有单位时间内系统吸收的总热量为,
10、总热量热传导热辐射,即,外力对系统所作的功可分成两类：质量力所作的功和表面力所作的功。,质量力对系统所作的总功为,作用在系统表面上的表面力的总功为,外界对系统所做的总功质量力做功表面力做功,于是能量方程可写为：,3.4积分型的基本方程,雷诺输运方程,令 = ,代入上式得,又由系统的质量守恒定律,所以,连续方程,对于不可压流体,连续性方程变为,此式说明：对于不可压缩流体，质量流出、流入控制体 的量刚好相等，即,通过控制面的体积流量,通过控制面的质量流量,体积流量,对于仅有一维进出口且密度为常量的不可压流体来说,如果仅有一个进口和一个出口,例题,考查等密度速度场，,采用的三角形控制体如图，顶点为(
11、0,0)、(L,L)、(0,L)且厚度为b，求截面1,2,3的体积流量，并相加比较看质量是否守恒。,解：,例题,水从两个一维的入口注入图示水槽，槽中空气被压缩在上方 水的高度为h，求水位的变化dh/dt。,解：,动量方程,令,代入动量方程,作用在固定控制体上的合外力，等于控制体内的动量 变化率加上外流动量流率，减去入流动量流率。,输运方程,一维线动量方程,如果流动沿流管流动，则可看做一维流动，其线动量流量,上式为一个矢量式，如果流动为稳定流动时,课堂习题,如图所示，一固定不动的导叶将截面积为A的水束转一角度，且水速保持不变。此为一稳定流场，周遭的压力均为Pa，不计摩擦，求作用在叶片上的力。,解
12、：,解：,动量矩方程,令,输运方程,作用在控制体内流体上的所有外力矩与单位时间内通过控制面流入的流体动量矩之和，等于控制体内流体的动量矩对于时间的变化率。,若流动是一维的，则通过控制面流出的动量矩为,例,已知进口速度和出口速度为V，管子截面积为A，且进出 口压强均为大气压强P0，求作用在管子中间的力矩大小。,例题,欧拉涡轮机公式,四、能量方程,输运方程,选取,控制体的能量守恒原理可叙述如下：,传给控制体的热量,外界对控制体作的功,通过控制面流入总能量,控制体内流体的总能量对时间的变化,单位时间内传给控制体内流体的热量及外界对控制体内流体所作的功与通过控制面流入的流体总能量之和，等于控制体内流体
13、的总能量对时间的变化率.,考察理想流体作绝热定常流动，且质量力有势的情况下的能量方程的形式。,(1)由于是定常流动，连续方程可写成,(2)对于理想流体,例,(4)由于质量力有势，即,(3)由于绝热运动,高斯公式,(5)定常流动,对于不可压理想流体的绝热定常流动，流体内能近似不变,所以,于是,一、不可压缩理想流体对弯管管壁的作用力,采用固结于弯管上的绝对坐标系，并取如图3-4-1中虚线所示的体积为控制体。设流动定常且质量力为重力,3.4.3 欧拉型积分形式基本方程的应用,控制面,如为理想流体时,不考虑质量力时则为,上式说明作用在流体表面的表面力的合力等于流出去的动量。,得,若,则,流体作用于管子
14、的力为,由牛顿第三定律,如图所示管流，其为稳定流场，且具有均匀的入流 (P0, A, V )和出流. 求作用在控制体上的合力。,解：,例,不计流体重力. 求弯管作用在流体上的力。,解,已知,例,课堂习题,如图所示，一固定不动的导叶将截面积为A的水束转一角度，且水速保持不变。此为一稳定流场，周遭的压力均为Pa，不计摩擦，求流体作用在叶片上的力。,解：,又管壁上的力不做功，两端的压力功率为,二、能量定理的应用,不可压流体在细管中作定常流动，设出入口的的面积和流速分别为,计算出单位时间流出去的动能为,单位时间流出去的势能为,根据能量守恒定理，得：,这就是著名的伯努利方程式。,位置势能,压力能,动能,
15、伯努利方程,找出管嘴出流速度与自由液面高度之间的关系.假设为理想流体的定常流动. 假设1,2面的各条件为已知且1面远大于出路2。,例,h,1,2,V2,连续性方程:,Bernoulli方程:,Torricelli 1644,解：,根据bernoulli方程，在开口容器上的孔口流出的速度与孔口距离液面的距离的方根成正比。,如图所示，开口容器含有四个孔，其射流清楚的反应了上述的规律，深度越大，速度越大。,例,在水平流动的管中，插入如图所示的两个玻璃管，已知两个玻璃管的水位高度差，求管中的速度。,类似的应用,求文丘里管中的速度,根据连续性方程和伯努利方程，当流体流过文丘里管的时候，压力会降低.,3.
16、5微分型基本方程组,一、欧拉型连续方程,3.5 理想流体动力学微分型基本方程式,3.5.1 连续方程,通量法求欧拉型的连续方程,在X方向流入的质量为：,同理，在y,z方向为,总流入量为,此流体流入后，体积内质量相应地增加,如为不可压缩流体即D/Dt =0，则,如为定常情形，则,（三）连续方程式在海洋学上的推广（略）（四）连续方程和速度散度在球坐标系中的表示式 （略）,两者应相等,考察同一流体团在t0时刻和t时刻的两个位置,二、拉格朗日型连续方程,根据质量守恒原理，若不存在源或汇，则同一流体团的质量不随时间变化，即,左侧,右侧,其中,对于不可压缩流体,于是式,化为,3.5.2 运动方程,一、欧拉
17、型的运动方程,因为某一流体质点的坐标都是初始坐标a,b,c和时间t 的函数，从运动方程,二、拉格朗日型的运动方程,组合后得,如为保守力场，则有,已知积分形式的欧拉型能量方程为,3.5.3 能量方程,由傅立叶定律,最后得,或,从而,3.6理想流体方程完整组,问题的提出:,3.6 理想流体运动方程式完整组,3.6.1 欧拉型的运动方程式,未知数的个数为5个，方程组不封闭，无法求解。,未知数为u,v,w,p，为完整方程组，即封闭方程.,3.6.2 完整方程组、热流方程式,一、均匀不可压流体,此时流体的密度仅与流体压强有关，其状态方程为,二、正压流体,关于正压的说明,此时完整方程组为：,3.6.3 拉
18、格朗日型的运动方程式,对于不可压缩流体,所以,如果保守力场已知,两者也构成完整方程组.,3.7边界条件,在上述动力学微分方程组的解中包含了一些任意函数和常数，这些数值要由有关流体运动的一系列条件来确定。这些条件分为两类：初始条件和边界条件。 所谓初始条件，即在初始时刻流体质点必须满足运动情况。边界条件分为运动学边界条件和动力学边界条件。,第七节 边界条件,取笛卡儿坐标系，并设运动边界（如海水表面方程式）为,3.7.1运动学的边界条件,在t+dt时刻，质点到达(x+udt,y+vdt,z+wdt)仍在边界上面，则,将上式在(x,y,z,t)泰勒级数展开，得,假定海面方程以下列形式给出：,如果边界
19、固定不动（例如海岸等）则边界方程为,同理得到边界条件为,说明质点相对于边界的法线速度为零。对于运动的边界来说，也得到同样的结果，即,其中l,m,n为边界上一点得法线方向余弦。,一半径为 a 的圆柱体沿 X 轴正向以速度 U 在流体中运动，求此时流体在圆柱处的边界条件。,例题,此时边界方程为 :,因为边界必须满足,由于流体的法向速度与边界的法向速度相同，很显然速度的边界条件为,边界上P点在x向速度为U，法向 速度为,其临近点流体上Q点的速度为V， 其在x,y向分量为u,v，故法向分量 为,例：截面均匀的直角折管，内盛不可压缩流体，求水栓B打开后，流体内各点的压强和速度。,解：由于管截面相同，故同
20、一时刻各 点的速度相同，设为u，则可写出连续方程：,3.7.2动力边界条件及其应用,或,（3-7-10）,由于压强的连续性，有,至于铅垂和水平部分的运动方程为,以上几个式子构成完整方程组。积分得,（3-7-11）,（3-7-12）,管的铅垂部分于 t 时刻压强的边界条件为,水平部分为,得,由,由初始条件,求得,所以速度为,3.8运动方程的积分、普遍定理,3.8运动方程的积分、普遍定理,3.8.1 压力函数,因此在给定的曲线上，密度总可以看成是压力的函数：,定义压力函数,于是在曲线L上，压力函数对l的变化率为,一般情况下，曲线上的函数关系,只是在某些特殊情况下能够确定。,下面讨论正压流场中的压力
21、函数,如果在均匀不可压流体中，流场的压力函数为,是不知道的,3.8.2能量积分,现将上式中各项分别讨论。1.等号左侧,2.右侧第一项为质量力的总功率，如为保守力场并且密度为常数，则可写为,为势能的变化率。,3.最后一项为表面力合力的总功率，作细致的分析,这两项的意义分别讨论如下：,取一小体积dxdydz 来计算压力对这块流体做的总功率,X方向压力功率为,在y和z方向的功率分别为,故压力作用于体积上的总功率为,根据奥高定理，压力的总功率还可以写成,将上述分析结果代入（3-8-5）,上式称为能量方程。,对不可压缩流体,此即机械能守恒原理的表示式。,如果流体边界是固定不动的，则因边界有,3.8.3伯
22、努利积分,求出在定常情况下沿任一流线的伯努利定理。,因为这时线元满足流线方程,引入定常条件得,同理,伯努利定理：如果流体是理想的，质量力有势，且流动是定常的，则沿任一流线存在伯努利积分。,在不可压缩的情况下，并设为重力场，则（3-8-13）式可写为,3.8.4柯西-拉格朗日积分,利用无旋条件,同理,将欧拉的三个运动方程分别乘以dx,dy,dz（空间任意方向，不受任何积分路线的限制）后相加，积分得拉格郎日积分。,柯西-拉格朗日定理：如果理想流体作无旋运动，且质量力有势，则流场必然是正压的，并且在整个流场中有柯西-拉格朗日积分存在。,伯努利积分与定常情况下和柯西-拉格朗日积分的比较：,伯努利积分
23、条件：理想，质量力有势，定常 结论：沿任一流线存在,情况下和柯西-拉格朗日积分 条件：理想，质量力有势，定常，无旋 结论：整个流场中有,3.10流体静力学,惯性坐标系中任何物体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的外力及外力矩为零，即,根据平衡的第一个条件：外力的合力为零，于是,3.10 流体静力学,3.10.1 流体静力学基本方程,根据平衡的第二个条件：外力的合力矩为零，有,(3-10-1),若将式（3-10-1）代入此式，能够自然满足。由此可见，在惯性坐标系中，流体处于静止状态的必要条件是式（3-10-1）成立。,即,考虑静止流体中的微元体，其中心压力为P，质量力为：,表面力:,质量力:
24、,在X方向:,左侧面上的力,右侧面上的力,X方向的质量力,Euler 平衡方程 (Euler 1775),压力在体积力的方向增加。,流体中压强相等的面, 其在任意地方都是与质量力垂直，在重力场中为一个水平面.,等压面,由平衡方程（3-10-1）可见，能使流体处于静止的质量力是有条件的。,3.10.2 静止流场的基本特性,一、流体静止的质量力条件,由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力满足,对此式两侧取旋度，则有,（1）对于不可压缩流体，平衡方程（3-10-1）可以写成,这是不可压流体静止对质量力所加的限制条件。由此条件可见，质量力必须有势。因此，质量力有势是不可压流体静止的必要条件。,所
25、以，不可压流体在静止条件下，其质量力势等于,令,积分并取常数为零得：,代入,（2）具有正压性质的静止流场的特性,为讨论方便起见，我们再次使用压力函数,由,得,可见，在正压静止流场中质量力必须有势。因此质量力有势是正压流场中流体处于静止状态的必要条件。,正压流场在静止条件下，其质量力的势等于相应的压力函数的负值。显然，在这种情况下，等压面与等势面重合。,正压流场在平衡条件下，等压面、等密度面及等势（质量力势）面三者重合。,在质量力有势的条件下，处于静止状态的流场必然是正压流场（或不可压流场）,二、有势质量力场中的静止流体,因为质量力有势,方程两侧取旋度,证毕！,一、重力场中静止液体的压力公式,3
26、.10.3 重力场中静止流体的压力分布,由于质量力只是重力，所以单位质量力为,直角坐标系中,帕斯卡原理：密封容器中的静止流体，由于部分边界上承受外力而产生的流体静压力，将均匀地传递到液体内所有各点上去。,二、帕斯卡原理,问题,解释大坝为什么做成上面窄下面宽？ 解释虹吸原理？,完全浸没在液体中、或部分浸没在液体中的物体，受到液体对它的作用力，其合力称为物体的浮力。,(1)完全浸没,液体中的压力分布为,而作用在物体上的合力为,一、物体浮力及浮力中心,分完全浸没和部分浸没两种情况。,3.10.4 重力场中静止液体作用在物面上的合力及合力矩,阿基米德浮力公式:浸没在液体中的物体所受的浮力，等于物体排开
27、的同体积的液体的重量，而方向向上。,(2)部分浸没,结论：部分浸没在液体中的物体所受的浮力，其大小等于物体所排开的同体积的液体的重量，而方向向上。,即,作用在物体上的合力矩为,即,上面二式的右侧为被排开的液体体积的形心坐标，因此，浮力通过被排开的液体体积的形心。,应理解为浸在液体中的那部分物体体积及相应的周面。所以此式既适用于完全浸没的物体也适用于部分浸没的物体。,流体对物面的作用力,静止液体作用在物体表面上的合力为,二、平面上的静水总压力,静止液体中的压强分布为,静止液体作用在任意物面上对参考点o的合力矩为,根据刚体力学中寻找合力作用中心（通常称为压力中心）的原理，合力中心存在的条件为,例题
28、,如图所示为水下一倾斜平面，与水平方向夹角为， 求水对于平面的作用力大小及作用点的位置。 注：水面及斜面下方均受到大气压强的作用。,解,由面积对x轴的面积矩的定义,作用于任意平面上的静水总压力，大小等于该平面的面积与其形心处静水压强的成绩，方向垂直指向斜面。,静水力矩为,由此可见，静水力矩与作用力合力垂直，故可以求出作用点。,为面积A对x轴的惯性矩。,二、任意曲面受力及合力中心,二、任意曲面受力及合力中心,合力,合力矩,上式也可写 成分量形式,图示为宽度为b，半径为a的圆柱形闸门。试求作用在闸门上的合力。,例题,作用在闸门上的合力为,液体中压力公式为,解,将坐标系（x，y，z）的原点放在闸门宽
29、度的平分面上的圆弧的圆心处 .,或,由于闸门在xoz平面上为圆弧形，因此，取极坐标系最方便。在极坐标系中，,3.10.5 非惯性坐标系中的静止液体,二、旋转容器中的静止液体,一、直线等加速运动容器中的静止液体,例题 盛有液体的容器以等加速度a作水平运动。容器静止时，液体的深度为H，如图3-10-7所示。求作等加速运动时，自由液面的形状，液体内的压力分布。,一、直线等加速运动容器中的静止液体,取与容器固结在一起的运动坐标系，把坐标原点放在容器静止时的自由液面的中点。,解,而等压面方程为 dp=0，于是,积分得：,边界条件：,自由面方程为：,已知：,把上式改写为,所以,是自由液面以下的深度,汽车内
30、放一个杯子，内盛 7cm 深的咖啡. 1. 当汽车加速度为 a=7m/s2，咖啡会溢出吗？ 2. 杯底 A 点的压强是多少?,解,所以不会溢出,例,例：设有半径为R的一圆柱形容器中装有液体，当容器静止时，液体的深度为H，现在让容器本身以等角速度绕容器中心轴作旋转运动，求压力分布。,二、旋转容器中的静止液体,将坐标原点放在旋转轴与容器底面的交点上。则单位质量液体所受的质量力为,解,表明等压面是一族旋转抛物面 。自由液面也是一个等压面，在自由液面的最低点有,在等压面上，dp=0，积分得,令,得到,则,因此，自由液面的方程为,已知：,积分得：,由边界条件：,得：,所以：,最后得自由液面的方程为：,令
31、：,则：,确定,3.11有旋流体动力学,流体的涡旋是一种自然现象，也是一种基本的流动现象。真正的涡旋研究是从19世纪开始的，1815年，柯西引进了流体质点平均旋转的概念，1843年，亥姆霍兹引进了涡线、涡面和涡管的概念。他也是无粘性旋涡理论的创始者。流体的旋涡对于人们的日常生活来说有利也有弊。 台风、龙卷风会造成巨大灾害； 三角翼可以提升飞机的升力； 燃烧化工过程可以提高混合效率。,水中旋涡,台风,直径1000km，高度10m,龙卷风,直径10m，高度1000m,星系,汤姆逊环流定理,当流体中存在环流时，这些环流以后将如何发展呢？,归结为求环流加速度的问题,由欧拉方程,如果在保守力场中,若流体
32、为正压,开尔文定理,正压流体在保守力场中任封闭流体线上环流不随时间而改变。,如果流体原来为无旋流动，则永远为无旋流动。,亥姆霍兹涡旋定理,在保守力的作用下，正压流体中的涡旋线随着流体运动。即在此条件下，涡旋线永远由相同的流体质点组成。推论：在有势正压无粘条件下，涡线、涡面和涡管具有保持性。亥姆霍兹涡旋第一定理在正压和保守力的作用下，涡管的强度不随时间而改变。 亥姆霍兹涡旋第二定理,葛罗米柯兰姆方程,已知欧拉方程,由向量公式,于是欧拉方程,正压质量力有势,或,兰姆方程,佛里德曼方程,兰姆方程,两侧取旋度,方程各项,佛里德曼方程,或,关于方程的说明：,影响理想流体涡量变化的因素？,变形,外力,流体
33、非正压性,正压、保守力,即使没有质量力和表面力的作用，流体的角速度也有可能改变。主要是由于变形引起转动惯量发生变化。,如果初始状态,佛里德曼方程,3.11.3 佛里德曼方程,一、葛罗米柯兰姆方程,已知欧拉方程,兰姆方程,如果流体是正压的，则,又如果质量力有势,对式（3-11-10）两侧进行旋度运算可得,二、佛里德曼方程,代入得,这就是佛里德曼型的理想流体运动方程，或简称佛里德曼方程。,讨论：理想、无旋、质量力有势时,流体是正压的。,在保守力场的情况下，对于正压流体,显然，在没有表面力和质量力的条件下，角速度也有可能改变。主要是由于流体的变形，使其转动惯量发生变化，根据动量矩守恒原理，角速度必然会发生相应的变化。,若开始时,这就说明在保守力和正压的条件下，如果原来是无旋的运动，则永远是无旋的运动。从而证明了正压流体在保守力的作用下的速度势永存定理。,
