1、1,第2章 一阶逻辑,2.1 一阶逻辑基本概念 2.2 一阶逻辑合式公式及解释 2.3 一阶逻辑等值式,2,2.1 一阶逻辑基本概念,个体词谓词量词一阶逻辑中命题符号化,3,基本概念个体词、谓词、量词,个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如a, b, c, 1, 2无限个体域，如N, Z, R, 全总个体域: 宇宙间一切事物组成,4,基本概念 (续),谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质
2、F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如 L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：xy，0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命 题变项,5,基本概念(续),量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如 x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等如 x 表示在个体域中存在x,6,一阶逻辑中命题符号化,例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲符号化为 p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a
3、：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a),7,例1(续),(2) 是无理数仅当 是有理数在命题逻辑中, 设 p： 是无理数，q： 是有理数. 符号化为 p q, 这是假命题 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数符号化为(3) 如果23，则33，q：3y，G(x,y)：xy,符号化为 F(2,3)G(3,4),8,一阶逻辑中命题符号化(续),例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为 x G(x)(2) 设G(x)：
4、x用左手写字, 符号化为 x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x)(2) x (F(x)G(x) 这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.,9,一阶逻辑中命题符号化(续),例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): xyx(F(x)y(G(y)L(x,y) 或 xy(F(x)G(y)L(x,y) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数, L(x
5、,y)：xy x(F(x)y(G(y)L(x,y) 或 xy(F(x)G(y)L(x,y) 两者等值,10,一阶逻辑中命题符号化(续),几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特别要求，用全总个体域量词顺序一般不能随便颠倒否定式的使用 思考： 没有不呼吸的人 不是所有的人都喜欢吃糖 不是所有的火车都比所有的汽车快 以上命题应如何符号化？,11,2.2 一阶逻辑公式及解释,字母表 合式公式(简称公式) 个体变项的自由出现和约束出现 解释 永真式（逻辑有效式） 矛盾式（永假式） 可满足式,12,字母表,定义 字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, , ai, bi, ci, , i 1
6、(2) 个体变项：x, y, z, , xi, yi, zi, , i 1 (3) 函数符号：f, g, h, , fi, gi, hi, , i 1(4) 谓词符号：F, G, H, , Fi, Gi, Hi, , i 1(5) 量词符号：, (6) 联结词符号：, , , , (7) 括号与逗号：(, ), ，,13,项,定义 项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, , xn)是任意的n元函数，t1,t2,tn 是任意的n个项，则(t1, t2, , tn) 是项.(3) 所有的项都是有限次使用 (1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n
7、元函数和复 合函数还是项,14,原子公式,定义 设R(x1, x2, , xn)是任意的n元谓词，t1,t2, tn 是任意的n个项，则称R(t1, t2, , tn)是原子公式. 原子公式是由项组成的n元谓词. 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4)等均为原子公式,15,合式公式,定义 合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 只有有限次地应用(1)(4)形成的符
8、号串是合式公式. 请举出几个合式公式的例子.,16,个体变项的自由出现与约束出现,定义 在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相 应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有出现都 称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称 为是自由出现的. 例如, 在公式 x(F(x,y)G(x,z) 中,A=(F(x,y)G(x,z)为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次出现均为约束出现，y与z均为自由出现. 闭式: 不含自由出现的个体变项的公式.,17,公式的解释与分类,给定公式 A=x(F(x)G(x) 成真解释: 个体域N, F(x): x2, G(x): x1代入得A=x(x2x1) 真命题
9、成假解释: 个体域N, F(x): x1, G(x): x2代入得A=x(x1x2) 假命题问: xF(x)xF(x) 有成真解释吗？xF(x)xF(x) 有成假解释吗？,18,解释,定义 解释I由下面4部分组成：(a) 非空个体域DI(b) DI中一些特定元素 等(c) DI上一些特定函数 等(d) DI上一些特定谓词 等 说明：被解释的公式A中的个体变项均取值于DI若A中含个体常项a、 函数f、 谓词F, 就分别解释 成 、 、,19,解释 (续),被解释的公式不一定全部包含解释中的4部分. 闭式在任何解释下都是命题， 注意不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题.,20,公式的分类,永真式
10、（逻辑有效式）：无成假赋值 矛盾式（永假式）：无成真赋值 可满足式：至少有一个成真赋值几点说明： 永真式为可满足式，但反之不真 谓词公式的可满足性（永真性,永假性)是不可判 定的 利用代换实例可判某些公式的类型,21,代换实例,定义 设A0是含命题变项p1, p2, ,pn的命题公式，A1,A2,An是n个谓词公式，用Ai处处代替A0中的pi (1in) ，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等都是pq的换实例，x(F(x)G(x) 等不是 pq 的代换实例. 定理 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代 换实例都是矛盾式.,22,代换实例(续),例1
11、 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N(b) (c) (d) 谓词 说明下列公式在 I 下的涵义,并讨论真值 (1) xF(g(x,a),x),x(2x=x) 假命题,(2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x),xy(x+2=yy+2=x) 假命题,23,例1(续),(3) xyzF(f(x,y),z),两点说明: 5个小题都是闭式,在I下全是命题 (3)与(5)说明，量词顺序不能随意改变,(5) xyzF(f(y,z),x),xyz (y+z=x) 假命题,(4) xF(f(x,x),g(x,x),x(2x=x2) 真命题,xyz (x+y=z) 真命题,24,代换实例(续),例2 证明下面公式既不是永真式，也不是矛盾式(1) x(F(x) G(x)(2) x(F(x)G(x)(3) xy(F(x)G(y)H(x,y) 不难对每一个公式给出一个成假解释和一个成真 解释, 从而证明它们既不是永真式，也不是矛盾 式.,
