1、第四篇图论,1.命题逻辑,2.谓词逻辑,3.集合与关系,4.函数,6.布尔代数,5.代数结构,目录,.图论,第一篇数理逻辑,第二篇集合论,第三篇代数结构,绪论,用命题逻辑处理苏格拉底三段论：,谓词逻辑,又例: 张华是大学生,李明也是大学生。,所有的自然数都等于1.(F); 存在着自然数等于1.(T),P,Q,R,人总是要死的,苏格拉底是人,苏格拉底是要死的。,若论证有效则有: PQR,即 PQR 永真.,谓词逻辑,对简单命题作进一步分析,分离出个体和谓词, 并考虑到泛指和特指 (全称和存在),在此基础 上,研究命题的逻辑结构及命题间的推理关系。,Predicate Logic,第二章,-1 谓
2、词的概念与表示,-2 量词,-3 谓词公式,-5 等价式与重言式,-7 谓词演算的推理理论,26 前束范式,谓词逻辑,-4 谓词公式的解释,命题是具有确定真值的陈述句。,2-1 谓词的概念和表示,如 “电子计算机是科学技术的工具。”,个体:思维的对象,可以是具体的事物或抽象的概念,谓词:刻画个体性质或个体之间关系的词。,1. 个体和谓词,陈述句由主语和谓语两部分构成，,主语,谓语,个体,谓词,一元谓词: 与一个个体相关联的谓词.(描述个体性质),N元谓词: 与N个个体相关联的谓词.(描述个体间的关系),谓词逻辑 谓词的概念和表示,(a).他是三好学生。,(b).7 是质数。,(c).每天作广播
3、操是好习惯。,(d).5 大于 3.,(e).地球绕着太阳转。,一元谓词。 谓词刻画个体性质,(f).张明和张亮是兄弟。,(e).上海位于南京和杭州之间。,谓词刻 画个体 间关系。,在谓词逻辑中,命题是由一个谓词和若干有序个体组成的。,谓词逻辑 谓词的概念和表示,二元谓词,二元谓词,二元谓词,三元谓词,2.个体和谓词的表示,命题由一个谓词和若干个体组成,谓词逻辑 谓词的概念和表示,用大写字母 A, B , C, D,. 代表谓词。 用小写字母代表个体 ：用小写字母 a , b, c. 表示特定个体: 个体常元用小写字母 x,y,z.表示任意个体：个体变元.,一个 n 元谓词记作: A ( x1
4、 , x2, xn) 其中 x1 , x2,xn 为个体变元.当A ( x1 , xn)中个体变元用个体常元: a1,an 代入后, A(a1an) 就成为一个命题。,则 A (a) 表示命题: 张华是大学生,A (b) 表示命题: 李明是大学生。,例: 令 A(x) : x 是大学生; a:张华 , b:李明,命题由一个谓词和若干个体组成，但并非任意个体都和任意谓词都能构成命题。,如 2 是偶数,(T),个体域:个体的取值范围,用D表示,如谓词 “. 是偶数” 的个体域 D: 全体整数。“.是要死的” D:全体生物 或 D: 人类,全总个体域:所有个体的集合称之。,谓词逻辑 谓词的概念和表示
5、,3 是偶数,(F),x 是偶数 (不是命题),当谓词确定后,其允许的个体取值范围称为个体域。,则 A (a) 表示命题: 张华是大学生,A (b) 表示命题: 李明是大学生。,例: 令 A(x) : x 是大学生; D:人类 a:张华 ,b:李明,又例: 上海位于南京和杭州之间。,令 L (x ,y,z) : x 位于 y 和 z 之间, D: 城市,则命题符号化为: L(a,b,c),谓词逻辑 谓词的概念和表示,则 L(2,3) 表示命题: 23. (真),又例: 设 L (x,y) : x 小于 y, D: 实数集合,则 L(5,1):表示命题: 51. (假),a:上海 b: 南京 c
6、:杭州,当谓词及其个体域确定后，命题的真值与个体的取值有关，因此一个谓词可看作是一个以个体为自变量,函数值取真值的函数。,由简单命题及连接词可构成复合命题。,与命题逻辑同,张华和李明都是大学生。,例1,P (x) : x 是大学生 , D:人, a:张华, b:李明,命题符号化: P(a)P(b),如果张三比李四高, 李四比王五高, 则张三比王五高。,命题符号化: P(a,b) P(b,c) P( a,c),例3,p:(x,y) x 比 y 高, D: 人;,a: 张三, b: 李四, c: 王五,2 既是偶数又是素数。,例2,P (x) : x 是偶数 , Q(x): x 是素数 , D:整
7、数, a: 2,命题符号化: P(a) Q(a),谓词逻辑 谓词的概念和表示,3.复合命题,例如: 张华的母亲爱张华.设 P(x,y):x爱y; D:人; f(x): x的母亲; a:张华 命题符号化: P ( f (a), a ),例如: 2与3之和小于2与3之积.设 P(x,y):x小于y; D:整数; f(x,y): x与 y之和g(x,y): x与 y之积 ; a:2 ; b:3 命题符号化: P( f(a,b), g(a,b) ) 或 P( 2+3, 23 ),自变量和函数值均为个体域中的个体.用小写字母f,g.表示.,谓词逻辑 量词,4.个体函数,例如: 张华的母亲爱张华.,-1
8、谓词的概念与表示,-2 量词,-3 谓词公式,-5 等价式与蕴含式,-7 谓词演算的推理理论,26 前束范式,谓词逻辑,-4 谓词公式的解释,例如: 任何人都是要死的.(T),有些人是聪明的.(T),所有的自然数都等于1.(F),存在着自然数等于1.(T),对个体域中的 所有个体成立,对个体域中的 某些个体成立,当命题的主语是泛指时,命题的真值还取决于谓词与个体域中个体的数量关系.,谓词逻辑 量词,2-2 量词,1.全称量词与存在量词,两种,量词:命题中表示个体数量的词。,全称量词(Universal Quantifier): 表示个体域中全体个体的词，记作 相当于 “任意”,“凡是”,“所有
9、”.,若个体域中所有个体x,均使A(x)为真,记作(x)A(x),存在量词(Existential Quantifier): 表示个体域中部分个体的词， 记作 相当于 “存在”,“至少有一个”,“有些”.,若个体域中存在某些个体x,使A(x)为真,记作(x)A(x),谓词逻辑 量词,设H(x): x 是要死的,任何人都是要死的。,例如:,则命题表示为: (x)H(x),个体域D: 人类,又例如: 有些人是聪明的.,设A(x): x是聪明的,个体域 D:人类,则命题表示为: (x)A(x),谓词逻辑 量词,当在全总个体域中讨论命题时,需在命题表示中增加一个特性谓词,以给出个体变元的个体域。,2.
10、特性谓词,(1)带全称量词的命题,特性谓词作为 加入.,任何人都是要死的,例如:,M(x):x是人,则命题表示为：(x)(M(x)H(x),改为:,谓词逻辑 量词,设 H(x):x是要死的 个体域D: 全人类 则命题表示为：(x)H(x)。,H(x):x是要死的,条件式的前件,例如:有些人是聪明的.,个体域 D：人,设A(x)：x是聪明的,则命题表示为: (x)A(x),改为:,A(x)：x是聪明的,则命题表示为: (x)(M(x)A(x),(2)带存在量词的命题,特性谓词作为合取项加入。,为何特性谓词以前件加在全称量词后,而以合取项加在存在量词后? 能否改为:,(x)(H(x) M(x) 和
11、 (x)(M(x) A(x) ?,谓词逻辑 量词,M(x):x是人,3.命题符号化,谓词逻辑 量词,日常用语翻译,用谓词逻辑处理苏格拉底三段论：,人总是要死的, 苏格拉底是人,所以,苏格拉底是要死的。,a: 苏格拉底,M(x): x是人,(x) (M(x) P(x),M(a),P(a).,令,谓词逻辑 量词,例题,P(x): x是要死的,推理形式为: (x) (M(x) P(x), M(a) P(a).,1.判断是否复合命题(看有几个主谓结构或连接词). 2.对复合命题找出每个原子命题. 3.对每个原子命题分出主语和谓语,主语若是泛指需加量词和特性谓词.并用符号表示. 4.分析各原子命题的关系
12、,确定连接词.,存在着最小的自然数.,谓词逻辑 量词,P61 例题,补例 兔子比乌龟跑的快,例题3 尽管有人聪明, 但未必一切人都聪明.,例题1 并非每个实数都是有理数.,每个人都有自己喜欢的职业.,R(x): x是实数,设 Q(x): x是有理数,故符号化为: (x) (R(x) Q(x),M(x): x是人,设 P(x): x是聪明的,(x)(P(x) M(x) ) (x)(M(x)P(x),命题逻辑 逻辑连接词,作 业,2-1， 2-2 （1）（e）,（f）,（g）,（h） 2-3 （3）,本节重点掌握的概念: 个体，谓词, 量词, 个体域。本节重点掌握的方法: 命题符号化。特别注意特性
13、谓词的两种使用方法。,谓词逻辑 谓词公式,1.个体和谓词 2谓词的表示: P(x1,x2,.xn)每个命题有一个谓词和若干个体组成.当谓词确定后, 命题的真值依赖个体,因此采用函数的记法表示谓词,自变 量的取值范围称为个体域 D 3.量词:当句子的主语是泛指的时候,必须引入量词符号 4.特性谓词: 若在全总个体域讨论问题,还需在命题表达中 增加特性谓词,以说明命题中个体的取值范围. 5.命题符号化“每个计算机系的学生都学离散数学“存在着偶素数”,谓词逻辑 谓词公式,北京是中国的首都 甲是乙的父亲 3介于2与4之间 3大于2仅当3大于4。 张三和李四是同班同学 天下乌鸦一般黑 火车都比汽车跑得快
14、 有的火车比所有汽车快。,课堂练习,在谓词逻辑中符号化：,-1 谓词的概念与表示,-2 量词,-3 谓词公式,-5 等价式与蕴含式,-7 谓词演算的推理理论,26 前束范式,谓词逻辑,-4 谓词公式的解释,2-3 谓词公式,如 P, P(x), P(x,y), P( f(x), y ), P(a, y) 均原子公式。,1. 谓词公式,补充定义(项) 1).个体常元和个体变元是项. 2).若f 是n元个体函数,t1,.,tn是项,则 f(t1,.tn)是项. 3).只有有限次运用1),2)规则得到的符号串是项.,如 x, a, f(x), g(x,y), g( f (x),a).,谓词逻辑 谓词
15、公式,项代表公式中以各种形式出现的个体.,原子公式: 把A(t1, t2, tn)称为谓词演算的原子公式, 其中, t1, t2, tn是项.,不含个体变元的原子公式是原子命题.,定义 2-3.1 谓词演算的合式公式wff,由下述各条组成： (1)原子谓词公式是合式公式。 (2)若A是合式公式,则A是合式公式。 (3)若A和B都是合式公式,则(AB),(AB), (AB)和(AB)是合式公式。 (4)如果A是合式公式,x是A中出现的任何变元,则 (x)A和 (x)A都是合式公式。 (5)只有经过有限次的应用规则(1),(2),(3),(4)所得到的公式是合式公式。,简称谓词公式,如,xy P(
16、 x, y),x P( f(x), y),谓词逻辑 谓词公式,P(a,y) Q,2.变元的约束,若给定为一谓词公式,它可带有如下子公式:,( x) A( x ) 或 ( x) A( x ),指导变元,辖域,约束变元,其中,、 后的 x 称为该量词的指导变元; A(x)称为量词的作用域或辖域(scope);在辖域中 x 的一切出现称为x在中的约束出现,x称为约束变元;在中除约束变元以外所出现的变元称为自由变元。,P63例题1,如,x(M(x)R(x) ,yP(x, y)R(y),谓词逻辑 谓词公式,闭式:不含自由变元的公式.开式:含有自由变元的公式.其中,含有k个自由变元 x1, x2,.xk的
17、公式称为k元谓词,记作A(x1,x2,.xk ),0元谓词为闭式.,例如 ( x) P( x,y,z ),x是小于100的质数: L(x,100),又如 任意的实数x,都存在着实数y,使得xy.（不存在最大实数）,令 P(x,y): xy , R( x): x是实数,x y(R( x)R(y) P( x, y ) ),谓词逻辑 谓词公式,闭式 (T),二元谓词,一元谓词,由命题符号化得到的公式是闭式.,-1 谓词的概念与表示,-2 量词,-3 谓词公式,-4 谓词公式的解释,-5 等价式与蕴含式,-7 谓词演算的推理理论,26 前束范式,谓词逻辑,谓词公式的真值与那些因素有关?谓词公式的真值能
18、否像命题逻辑那样总可由真值表给出?,例,xy (P(x) Q( f(x,a), y ,z )R) 的真值,给出个体域,指定谓词,2-4.谓词公式的解释,指定个体函数和个体,指定自由变元,谓词逻辑 谓词公式的解释,令 P(x,y): xy , D:自然数,x y P( x, y )(闭命题),(F),例,(T);,令 P(x,y): x+y=0 ,D:自然数,Q(x,y)P( x, y )(开命题),例,令D: 自然数; P(x,y): xy; Q(x,y): x+y=0 ,令x=2, y=1, (T) ; 令 x=1, y=2, (F),为公式中的每个自由变元指定个体域DI中的一个个体.,谓词
19、公式的一个解释I(Interpretation),解释I下的一个赋值,1).指定一个个体域DI. 2).为每个个体常元符号指定DI中的一个个体. 3).为每个n元个体函数符号指定DI上的n元个体函数. 4).为每个n元谓词符号指定一个DI上的n元谓词,闭式在一解释下有一确定真值.,开式在一组解释I及I下一个赋值下, 有一确定真值.,补例,谓词逻辑 谓词公式的解释,给定解释I和I 中的赋值如下: DI:自然数集, L(x,y):xy, E(x,y):x=y, h(x,y):xy, v1: x=0, v2: x=1 求公式在解释I下的真值.,(1) y (E(x,y) L(x, y ),(2) y
20、z E( h( y,z ), x ),解 在解释I下 E(x,y)为 x=y; L(x, y )为xy,当赋值为v1时,命题解释为:对任意自然数y,均有0y (T),当赋值为v2时,命题解释为:对任意自然数y,均有1y (F),解 在解释I下, E( h( y,z ), x ) 为 yz =x,当赋值为v1时,命题为:对任意自然数y,存在z 使得 yz=0 (T) 当赋值为v2时,命题为:对任意自然数y,存在z 使得 yz =1 (F),谓词逻辑 谓词公式的解释,补例,补例,设解释I的个体域为 a1, a2, an , 则在解释I下,xA(x) A(a1)A(a1).A(an),xA(x) A
21、(a1)A(a1).A(an),当个体域DI中的元素个数有限时,可将变元的所有 可能取值一一列举出来,此时量词可消除.,谓词逻辑 谓词公式的解释,谓词逻辑 谓词公式的解释,求下列闭式在解释I下的真值,给定解释I如下:D= 2, 3 , f (2)=3, f (3)=2, P(2)=T P(3)=F, Q(2, 2)=T, Q(3, 3)=T,Q(2, 3)=F, Q(3, 2)=F.,解,1) x(Q( f(x), x)P(x) 2) x( y)Q( x, y),1). 原式=(Q( f (2), 2)P(2) ) (Q( f (3), 3)P(3) ) =(Q(3, 2)P(2) )( Q(
22、2, 3)P(3) ) =(FT) (FF) =T,2). 原式= x (Q(x, 2) Q( x, 3 ) = (Q(2, 2) Q( 2, 3)(Q(3, 2) Q(3, 3)= (T F) (F T) =T, yx Q( x, y)的真值?,补例,谓词逻辑 谓词公式的解释,求(x)(y)(P(x)Q(x, y) 在解释I的真值,DI=1,2, P(1)=F, P(2)=T, Q(1,1)=T,Q(2,2)=T; Q(1,2)=F, Q(2,1)=F.,原式= (x)(P(x) Q(x,1)(P(x) Q( x, 2) ),= (P(1) Q(1,1)(P(1) Q( 1, 2 )(P(2
23、) Q(2,1)(P(2) Q( 2,2 ),= (FT) (F T) (F F) ( T T) ),= F,补例,谓词逻辑 谓词公式的解释,课堂练习 1.“并非一切推理都能用计算机完成”符号化为( ) 2.设R(x):x是实数, P(x,y): x=y, 则命题“对任意的实数x, y, 有x+y= y+ x”符号化为( ) 3.不含有自由变元的谓词公式是命题. ( ) 4. y E(x,y) L(x, y, z )是二元谓词( ) 5.使一阶逻辑公式 y x F(y ,x) 为真的解释是 ( ) A.个体域为自然数集合，F(x,y)为 xy B.个体域为自然数集合，F(x,y)为 yx C.
24、个体域为自然数集合，F(x,y)为 x=y D. 均不属于A、B、C 6.在解释I:DI=a,b, P(a,a)=p(b,b)=0 P(a,b)=p(b,a)=1下,公式x y P(x,y)的真值为_,作 业,2-4 （2）（b）,（c）（3）(4)2-5 （1）（b）（2） (a), (d),谓词逻辑 谓词公式的解释,本节重点掌握的概念: 谓词公式, 自由变元,约束变元,开式, 闭式。 本节重点掌握的方法: 求谓词公式的真值,要点回顾,谓词逻辑 等价与蕴含式,1.个体和谓词 2.谓词的表示: P(x1,x2,.xn) 3.量词 4.特性谓词 5.谓词公式 6.谓词公式的赋值: 对谓词公式一个
25、赋值称为一个解释。闭式在一组解释下会求得一个真值；开式还需在此基础上对自由变元赋值，才能求出一个真值。例: 对任意的自然数x存在着自然数y ,使得 p(x,y) 成立.解释1：p(x,y) :x=y,(T) 解释2：p(x,y) :x+y=0,(F),-1 谓词的概念与表示,-2 量词,-3 谓词公式,-7 谓词演算的推理理论,26 前束范式,谓词逻辑,-4 谓词公式的解释,-5 等价式与蕴含式,定义2-5.2, 2-5.3 如果公式A在任何解释下均为真,称A为永真式; 如果 A在某个解释I和I的一个赋值下为真,称A可满足; 如果公式在任何解释下均 为假,称A为永假式.,2-5 等价与蕴含,1
26、.永真式,当个体域有限时,原则上可用真值表法判定一公式永真永假或可满足；但当个体域无限时,真值表法失效.,代入定理 、 等价演算,永真(永假)式的判定：,谓词逻辑 等价与蕴含式,命题逻辑永真式（永假式）的代换实例是谓词逻辑的永真式（永假式）。,设A是包含命题变元 P1, P2,.Pn的命题公式, B1,B2,.Bn是谓词公式, 用 B1,B2,.Bn 分别代替P1,P2,.Pn 在A中的所有出现,得到的谓词公式B称A的代换实例,命题逻辑永真式的代换实例称为重言式.,谓词逻辑 等价与蕴含式,命题逻辑的代入定理:一个重言式,对同一分量都用任何合式公式置换,结果仍重言.,谓词逻辑 等价与蕴含式,上式
27、可看作命题公式PP的代入实例,1) (x)P(x) (x)P(x),2 ) (xP(x)(xQ(x)xP(x) ),上式可看作命题公式 ( P(Q P) )的代入实例,而(P(Q P)(P (QP)F,所以, (xP(x)(xQ(x)x P(x) )为永假式,而PP T,所以, (x)P(x) (x)P(x)为重言式,判定公式的类型,重言式是永真式 ,但永真未必重言.,例如 xP( x ) xP( x ) 是永真式，但不是重言式.,补例,2.等价与蕴含,定义 2-5.1 设A,B是公式,若AB是永真式,则称 A,B等价.记作AB.,等价式的判定,等价演算:利用基本公式、等价的性质 和 置换定理
28、，推演出其他等价式.,定义 2-5.2 设A,B是公式,若AB是永真式,则称 A蕴含B.记作AB.,谓词逻辑 等价与蕴含式,AB 当且仅当 A B且B A,(1) 命题公式的推广,例如 PQPQ,用 xP(x) 代替 P;,(x)P(x)(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x),xQ(x) 代替 Q 得到:,(x)(P(x)Q(x)(x)R(x)(x(P(x)Q(x) ) (x)R(x),同理 P(x)Q(x)P(x)Q(x),利用代入定理,将命题逻辑的所有等价式推广到谓词逻辑.,谓词逻辑 等价与蕴含式,(2) 量词与联结词的关系,例 设 P(x) : x今天来校上课, D:学生则 P(x)
29、表示: x今天没来校上课,“并非所有人今天来校上课” (x)P(x) 等价 “有人今天没来校上课” (x)P(x),(x)P(x) (x)P(x),“ 没有人今天来校上课” (x) P(x) 等价 “所有人今天都没来校上课” (x)P(x),(x) P(x) (x)P(x),谓词逻辑 等价与蕴含式,(3) 量词作用域的扩张与收缩,(x)(A(x) B) (x)A(x)BB(x)A(x),( x)(A(x)B) ( x)A(x)BB (x)A(x),(x) A(x)B ( x) (A(x) B),(x) A(x) B (x)A(x) B),B (x) A(x) (B (x)A(x),B (x)A
30、(x) (B (x)A(x),由上式可推出,谓词逻辑 等价与蕴含式,(4) 量词与联结词之间的一些等价式,例,第一式中用 A代A ,用 B代B：,(x)(A(x) B(x) (x)A(x) (x)B(x),(x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x),与 “联欢会上所有人唱歌且所有人跳舞”意义相同,(x)(A(x)B(x) (x)A(x) (x)B(x),(x)(A(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x),(x)(A(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x),对满足分配律,对满足分配律,“联欢会上所有人即唱歌又跳舞. ”,谓词逻辑 等价与蕴含式,(x)(A(x)B(x) (x)A
31、(x)(x)B(x),(x)(A(x)B(x) (x)A(x) (x)B(x) ?,(x)(A(x)B(x) (x)A(x) (x)B(x) ?,(x)(A(x)B(x): 对所有的x, 有A(x)或B(x)成立.,(x)(A(x)B(x): 存在着x ,使A(x)和B(x)同时成立.,例 D:整数集合, A(x): x是偶数, B(x): x是奇数,(x)A(x)(x)B(x) (T) (x)(A(x)B(x) (F),谓词逻辑 等价与蕴含式,(x)A(x) (x)B(x): 对所有的x , A(x)成立;或对所有的x, B(x)成立.,(x)A(x)(x)B(x):存在着x,使A(x)成立
32、, 且存在x, 使B(x)成立.,(5) 量词与联结词之间的一些蕴含式,(x)A(x) (x)B(x) (x)(A(x)B(x),(x)(A(x)B(x) (x)A(x) (x)B(x),(x)(A(x)B(x) (x)A(x) (x)B(x),(x)(A(x) B(x) (x)A(x) (x)B(x),常见的等价式与蕴含式见表2-5.1,同理可得,谓词逻辑 等价与蕴含式,(6) 多个量词的使用,公式中多个量词的出现次序关系到命题的含义,不能随意交换.,例如,xy A(x,y): 对任意x ,都存在y, 使得A成立.,例 (x) (y)(x+y=0) 为真命题 , y = -x,yxA (x,
33、y) : 存在着y, 对所有的x 都有A成立.,(y) (x)(x+y=0) 为假命题,谓词逻辑 等价与蕴含式,y 的值独立于x .,y 的值依赖于x .,特殊情况:,全称量词之间可交换,存在量词之间可交换.,全称与存在之间存在如下关系:,I18 (x) (y)A(x,y) ( y)(x)A(x,y),I19 (x) (y)A(x,y) ( x)(y)A(x,y),I20 (y) (x)A(x,y) ( x)(y)A(x,y),I21 (x) (y)A(x,y) ( y)(x)A(x,y),I22 (x) (y)A(x,y) ( y)(x)A(x,y),I23 (y) (x)A(x,y) (
34、x)(y)A(x,y),谓词逻辑 等价与蕴含式,例题,谓词逻辑 等价与蕴含式,右式,验证 (x)(A(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x),(x)A(x) (x) B(x),(x)A(x) (x) B(x),(x)(A(x) B(x) ),(x)(A(x) B(x) ),证明 (x)P(x)(x)P(x)为永真式。,证明 (P(x)(Q(x) P(x) 为永假式。,例题,谓词逻辑 等价与蕴含式,(x)P(x) (x)P(x),分析真值法:左右 且 右左., 给定公式(x)P(x)(x)P(x) 一组解释I,若 (x)P(x) 在 I下为真,则(x)P(x)为假,即存在 aD,使P(a)为
35、假,即P(a) 为真,即(x)P(x)为真., 给定(x)P(x) (x)P(x) 一组解释I,若(x) P(x)在I下为真,则存在 aD,使 P(a)为真,即P(a)为假,即(x)P(x)为真.,则(x)P(x)为假,-1 谓词的概念与表示,-2 量词,-3 谓词公式,-5 等价式与蕴含式,-7 谓词演算的推理理论,26 前束范式,谓词逻辑,-4 谓词公式的解释,谓词逻辑 前束范式,2-6 前束范式,定义 2-6.1 一个公式,如果量词均在全式的开头,它们的作用域,延伸到整个公式的末尾,则该公式叫做前束范式。,前束范式简记为:,(v1)(v2).(vn) A,或,指导变元,母式(不含量词),
36、例如 (x) (y) (z)( Q(x,y) R(z),(x)P(x) ( x)Q(x) ?,Q(x,y) R(z),定理2-6.1 任一谓词公式,均和一个前束范式等价.,化前束范式的方法,(1).将公式中的连接词化为,.(非必须)(2).利用否定律,德.摩根律,及量词转化律,将否 定深入到谓词字母前.(3).利用换名规则或代入规则使所有约束变元均 不相同且使所有的自由变元与约束变元不同.(4).利用量词的的扩张与收缩,扩大量词的辖域 至整个公式.,谓词逻辑 前束范式,例如 (x) P(x,y)Q(x),(x)P(x) (x)Q(x),因为 (x)P(x) (y)P(y), (x)P(x) (
37、y)P(y), 所以,若谓词公式中有变元既约束出现,又自由出现,为避免混淆,可对约束变元进行换名或对自由变元代入, 使得一个变元在公式中只呈一种出现.,(1)对约束变元换名,其更改的变元名称范围是:量词 中的指导变元及该量词辖域中出现的该变元,而公式中其余变元不变.,(2)对约束变元换名时一定要更改为辖域中未出现的变元名.,换 名 规 则,例如 (x)P(x) (x)Q(x), (x)P(x) (y)Q(y),谓词逻辑 前束范式, (x) (y) (P(x) Q(y) ),(x) (P(x)R(x, y) Q(x,y)=?,代入规则,(1).代入须对公式中该自由变元的所有出现同时进行. (2)
38、.代入的变元不能与公式中其它变元同名.,例如 (x)P(x) Q(x,y),(x)P(x) Q(r, y),(x)(y)P(x,y) R(x,y,z), (x)(y)P(x,y) R(u,v,z), (x)(y)(P(x,y) R(u,v,z),谓词逻辑 前束范式,(v1) (v2) (vn)(,其中可能是量词或,vi (i=1,2,n)是指导变元, Aij是原子公式或其否定。,定义2-6.2 一个wff A如果具有如下形式称为前束合取范式,例如 (x) (z) (y)( P(x ,y) (z=b) (Q(y)(a=b),定理2-6.2 每一个wff A都可以转换为与它等价的 前束合取范式。,
39、谓词逻辑 前束范式,其中可能是量词或,vi (i=1,2,n)是客体变元,Aij是原子公式或其否定。,定义2-6.3 一个wff A如果具有如下形式称为前束析取范式,例如 (x) (z) (y)( P(x, y) (z=b) (Q(y) (a=b),定理2-6.3 每一个wff A都可以转换为与它等价的前束析取范式。,(v1) (v2) (vn)(,谓词逻辑 前束范式,谓词逻辑 前束范式,化前束范式的方法,(1).将公式中的连接词化为,.(非必须)(2).利用否定律,德.摩根律,及量词转化律,将否 定深入到谓词字母前.(3).利用换名规则或代入规则使所有约束变元均 不相同且使所有的自由变元与约
40、束变元不同.(4).利用量词的的扩张与收缩,扩大量词的辖域 至整个公式.,前束范式：(v1)(v2).(vn) A,谓词逻辑 前束范式,例题 xyz(P(x,z)P(y,z)uQ(x,y,u)化为前束析取范式 .,谓词逻辑 前束范式,例题 x yP(x) zQ(z, y) yR(x, y) 的前束合取范式,原式,消去多余,xP(x)zQ(z, y)y R(x, y),换名,xP(x)zQ(z, y)wR(x, w),自由,w,消去其它,x(P(x)zQ(z, y)wR(x, w),否定深入,x(P(x)zQ(z,y)wR(x,w),量词提出,x zw(P(x)Q(z,y)R(x, w),分配律
41、,xz w(P(x) R(x, w) (Q(z,y) R(x,w),量词,w,联结词,前束析取范式,作 业,2-5 （4）, （6） 2-6 (1) (a) (2) (a), (b),谓词逻辑 前束范式,本节重点掌握的概念: 谓词演算的永真式，重言式，等价式, 蕴含式; 前束范式. 本节重点掌握的方法: 证明永真式，等价式, 求前束合取范式, 析取范式.,-1 谓词的概念与表示,-2 量词,-3 谓词公式,-5 等价式与蕴含式,26 前束范式,谓词逻辑,-4 谓词公式的解释,-7 谓词演算的推理理论,2-7 谓词演算的推理理论,设H1,H2Hn和C是谓词公式, 当且仅当H1H2,HnC 称C是
42、一组前提H1,H2Hn的有效结论.,等价演算、 分析真值、 证明法。,判定谓词公式永真的各种方法都可用于判断推理正确性,谓词逻辑 谓词演算的推理.,等价演算：AB 即 A B T,例： xP(x) xQ(x) x（P(x) Q(x) ）,分析真值：设前件在一组解释下为真,推出后件也真； 或证明后件在一组解释下为假时，前件也为假。,要证C是一组前提H1,H2Hn的有效结论, 需证 : H1H2,HnC 是重言式 即证: H1,H2Hn 均为真时, C必为真.为描述这样一个推理过程,可构造一个命题公式序列: 其中每个公式或是前提,或是由某些前提利用推理规则推出的.序列的最后一个命题公式就是所要结论
43、.这样一个描述推理过程的命题公式序 列称为形式论证 (证明或演绎法).,证明法,谓词逻辑 谓词演算的推理.,P规则(前提引入规则):前提在推理过程中的任何 时候均可引用. T规则(结论引入规则):在推理过程中,如有一个或 多个公式蕴含公式 S,则 S可引入推导过程.,推理规则,命题逻辑 推理理论,由于谓词公式中包含量词,还需增加一组处理量词的推理规则.,首先命题逻辑中的推理规则都可应用于谓词逻辑的推理中:,谓词逻辑 谓词演算的推理.,(1)全称指定规则 US,含义:若D中所有个体使A真,则 D中任一个体t也使A真.,例 (x) (y) (x y) P (不存在最大实数),例 (x) P(x)
44、: 所有的人都是要死的 P, P(a) : 苏格拉底是要死的. US, (y) (a y) US 或 (y) (x y) US,(y) (y y) ?,或 P(x) : x是要死的. US,使用限制: t 不能与其它指导变元同名.,(2)全称推广规则 UG,含义: 若D中任意一个体使A真,则D中所有个体都 使A真.,使用限制: x 不能是前提中的自由变元.,例: P(x) : x是偶数 D:正整数 . (1) P(x) P (2) (x) P(x) UG ?,谓词逻辑 谓词演算的推理.,(3)存在指定规则 ES,含义:若D中存在个体使A真,则D中必有某个体c使A真.,使用限制:(x)A(x)为闭式,c为一个新常元(歧义名称).,(4)存在推广规则 EG,含义: 若项t使A真,则D中存在个体使A为真.,谓词逻辑 谓词演算的推理.,使用限制: x 不能与A(t)中的自由变元或指导变元同名,例,(2) (y) (x y) US,(3) x a ES,(1) (x) (y) (x y) P,取 D:有理数,(4) (x) (x a) UG,(5) (y) (x) (x y) EG,谓词逻辑 谓词演算的推理.,不是闭式,例,(2) F(a) ES,证明: (x) F(x) F(a),(1) (x) F(x) P,不是新常元,(1) (x)Q(x) P,(2) (x)Q(x) P,
