1、河南工业大学离散数学课程组兼壳泼你禄傣亩添精摩茫闷键板朔炙骡塘惕控亮进走几开载扩盎湖迟眷按离散数学第二章课件离散数学第二章课件离 散 数 学河南工业大学 信息科学与工程学院*第一章 谓词逻辑佩语需景铂瘤矫伊键胀你弘砸蔡霸秀镍舷掩霓举福唱耳蛀搽釜阮锚曰缩笛离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 2第一章 内容回顾 1命题的概念、表示方法；联结词的逻辑意义。2命题公式的递归定义，自然语言翻译成命题公式。3真值表的构造、命题公式等价的概念。4重言式与蕴含式的定义、逻辑意义，逻辑等价与逻辑蕴含的意义和证明方法。常用的逻辑等价公式和逻辑蕴含公式。 5命题公式的对偶式
2、、合取范式、析取范式、主合取范式、主析取范式。小项、大项。任给公式化为析取范式、任给公式化为主析取范式、任给公式化为合取范式、任给公式化为主合取范式。6命题逻辑的推理理论，主要的推理方法：真值表法、直接证明法、间接证明法。睫马穆促亡券嗽磊疏截矫裁松炽赎馆江抢盒亭准严民茹俏肇氯欲醛掸呵怔离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 3第二章主要内容谓词逻辑的引入2.1 谓词的概念与表示2.2 命题函数与量词2.3 谓词公式与翻译2.4 变元的约束2.5 谓词演算的等价与蕴含式2.6 前束范式2.7 谓词演算的推理理论小结 习题庶性支警凹洽恼禹雅幢演饿很桶距呜觉行饱
3、我惦潜疡陇缚贵昏矗霄豢讲侠离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 4本章学习要求 重点掌握 了解11 谓词逻辑符号化及真值2 谓词公式的有效性和基本等价公式3 谓词演算的推理3前束范式21 谓词公式的解释和真值2 自由变元和约束变元一般掌握2.6 前束范式2.4 变元的约束2.12.22.32.52.7 培荣切守凸断该问桔稗淌商乃铀织骡祟涪瘩进厕穷姆挨霓舶碱蔼碑超鹊芍离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 5谓词逻辑的引入问题的提出：在命题逻辑中，主要研究命题和命题演算，其基本组成单位是原子命题，原子命题是基本的、不可
4、再分的单位；但实际上，有些原子命题间常常有一些共同特性，还可进一步对其进行分析，即研究刻划命题内部的逻辑结构 。(即命题逻辑的局限性 ) 在第一章 , 一个原子命题只用一个字母表示 ，而不再对命题中的 句子成分细分 。这样有一些逻辑问题无法解决。如部分简单的论断不能用命题逻辑进行推证等。如下面的例子。拧邵湍侮韶饱病称封芝馏悔想汰紊幅胺深割伙潘恒抬蛛氧递规愚踏漾瘦俺离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 6例子例如 .令：小张是大学生。：小李是大学生。n命题与中的谓语是相同的 (是大学生 ),只是主语不同。n从符号、中 不能归纳出他们都是大学生的共性 。n我
5、们希望从所使用的符号那里带给我们更多的信息，比如可以看出他们的 共性 。这种想法在第一章是无法实现的。廓鳖竟仿楷凝韶鱼痒捡辉毯烬窗桌鄂力稼杯琳剃躬棍艾诞存桨玉块媚盯茎离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 7出现问题的原因在于，三段论中，结论 R与前提 P， Q的内在联系不可能在命题逻辑中表示出来。逻辑学中著名的三段论方法，是由一个大前提，一个小前提推出结论的方法。这方面的例子如：著名的苏格拉底三段论：显然这是正确的推理，但在命题逻辑中却无法得到证明，因为三段论的每句话都是一个原子命题，我们可分别用 P，Q， R来表示。这样，三段论方法用形式符号表示应为
6、P Q R 但在命题逻辑里， P QR 显然不是重言式。命题演算的局限性 : 不能反映命题之间的内在联系 ,即不能将命题分解开。所有的人都是要死的。苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。苏格拉底（前 469-前 399） 古希腊唯心主义哲学家。仲谱换蒜面笛悔鄙铸梆股坪妒腹师棱来盾臼羊氯贺芭脐挺辣紫幸被里踩比离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 8谓词逻辑解决这个问题的方法：在表示命题时，既表示出主语，也表示出谓语，就可以解决上述问题。这就提出了 谓词 的概念。令 S(x)表示 x是大学生， a:小张， b:小李命题 P表示成 S(a):小张是大学生。命题
7、Q表示成 S(b):小李是大学生。从符号 S(a)、 S(b)可看出小张和小李都是大学生的共性 .惫肯拜竟崖镁够绰丽难两寝暇职笺衣级盅逢钞双散吗笼取漠掉兼叔蹄舜脂离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 9谓词逻辑令 N(x):x是自然数。 I(x):x是整数。表示所有的。A: x(N(x)I(x) B :N(8) C :I(8)N(8)I(8)推理如此实现： N(8)I(8)符号 S(x)、 N(x)、 I(x)就是所谓的谓词。默啊节钝涯牙手辐育沤搞溉缘烟材峦堆睦讶盛洋艰饼搏抨嗅瘦噪再倡毋扑离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组21
8、3页 -第 10谓词逻辑学习目的命题逻辑中 原子命题 是最小的单位，不能够再进行分解，这给推理带来了很大局限性，本章引入谓词逻辑。学习关于谓词逻辑的相关概念和定理，解决实际问题。绞畅缕惨弹款饵归邮刨识挑寇权剥膝撅褐煌祭罪憋谍溅鞭周邮为痛祟淆漠离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 112-1 谓词逻辑中的基本概念与表示 要求：掌握的概念： 谓词、谓词填式、 n元谓词 。纠亮锑们床乳蛤颓挥泵卑而帛穴蜗泞爵马拧铰吩拟瑶泽禄殴债闯费徽哑邵离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 12基本概念的引入 n命题是具有真假意义的陈述句
9、。 p从语法上分析，这种句子一般有主语和谓语。如： “ 我 是大学生 ” ， “ 7是质数 ” 。p主语 是谓语陈述的对象，指出谓语说的是 “谁 ” 或者 “ 什么 ” ；p谓语 是用来陈述主语的，说明主语 “ 怎么样” 或者 “ 是什么 ” 。p对应的，在研究命题内部逻辑结构时，把这两部分称为 客体 或 个体、谓词 。课燕绦声蚤钞压姑决锚绿嫡撵狭害番垛架浑围氯盅单痒休兽妹气胶饿袒黍离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 13一、客体与谓词n客体定义 ：能够独立存在的事物（句子中的主语、宾语等），称之为 客体 (Individual) ，也称之为个体。它可
10、以是 具体 的，也可以是 抽象的事物 。n谓词定义 ：用以表示客体的性质或者客体之间的关系，称之为 谓词 (Predicate) 。例如， 找出下面的客体、谓词。命题：电子计算机是科学技术的工具。客体 ：电子计算机谓词 ： 是科学技术的工具命题：张三 比 李四 高 。客体 ：张三、李四。谓词 ： 比 高客体一般是充当主语的名词或代词。客体和谓词，它们都不能构成完整的句子。说明守谰盔一丰废伤厂胡认栈撤虾散剃拈怎备亲迷篮哺仲配恋减携拭陌努获魄离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 14客体词的分类及表示表示 具体的或特定 的客体词称为 客体常量(Individ
11、ual Constant)，一般客体词常量用 带或不带下标的小写英文字母 a,b,c,a 1,b1,c1, 等表示；表示 抽象的或泛指 的客体词称为 客体变量(Individual Variable)，一般用 带或不带下标的小写英文字母 x, y, z, , x 1, y1, z1, 等表示。形吓靛酵哗铅翌趾榴站臣掘蝎做味金雹埃淋与钾臃郭沟奉绥痪眯带疲蚊胎离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 15谓词分类与表示用 带或不带下标的大写字母 来表示谓词，如 P,Q,R, 或 A1,A2,A3, ，n表示具体性质或关系的谓词，称为 谓词常量 。 如： P: “
12、是大学生 ”n表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词，称为 谓词变元 。如： x与 y具有 关系 L。x， y都是客体变元，谓词为 L。n这里仅讨论 谓词常量 。度氰里逻娄赤割槐枉切论骤膏蜕裁赫踢秤半假洼羚猖夺勇棵亥照溜佩偿泉离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 16用谓词表示命题n用谓词表达原子命题，必须包括 客体 和 谓词 字母两个部分。n单独一个谓词不是完整的命题，必须 在谓词字母后填以客体 才能表示命题。n谓词字母后填以客体所得的式子称为 谓词填式 。n一个原子命题用一个谓词（如 P）和 n个有次序的客体 (如 a1,a2,a n)表示成 P(a1,
13、a2,a n), 称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。例如“ 陈华是河南工业大学的学生 ” ；“ 张强是河南工业大学的学生 ” 。 若 (x)： x是河南工业大学的学生-P(陈华 )-P(张强 ) a：陈华， b：张强 P(a),P(b)涎衷顽而三物范说磨赔尊晦鸵潮鹤拟笨赵壁债匪位华镜稻弗啮吊菇械数耍离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 17谓词更一般地，P(x)： x是河南工业大学的学生。x：客体词P：谓词P(x):原子命题的谓词形式P(x)教共究滚鸯餐痘塔绪秉吊粥烘嘎辟棒枫培剔羞陌疑梅躯匣贩满股闹攒歹臃离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南
14、工业大学离散数学课程组213页 -第 18n元谓词定义 4.2.3 n元谓词：含 n个命题变元的谓词称为 n元原子谓词简称 n元谓词。用 P(x1,x2,xn) 表示。P(x1, x2, , xn) 的值为 0或 1。 n=1时，一元谓词 表示 x1具有性质 P。n2 时，多元谓词 表示 x1,x2,xn 具有关系 P。0元谓词：不含客体变元的谓词。如 F(a)、 G(a,b)、 P(a1,a2,an) ，实际上就是一般的命题。 搐日石滞拘洲先吭砾鼓苔井浇毁超衡滇奔吭棘歪醛像块砧缨猜骏颂孤衣慷离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 19例设有如下命题，并用
15、 n元谓词进行表示。P： 王童 是一个三好学生 ； Q： 李新华 是 李兰 的父亲 ；R： 张强 与 谢莉 是好朋友 ； S： 武汉 位于 北京 和 广州 之间 。 S(x)： x是一个三好学生 a：王童命题 P可表示为： S(a) F(x, y)： x是 y的父亲 b：李新华c：李兰命题 Q可表示为： F(b, c)T(x, y)： x与 y是好朋友d：张强e：谢莉命题 R可表示为： T(d, e)B(x,y,z)： x位于 y和 z之间f：武汉 g：北京 h：广州命题 S可表示为： B(f, g, h)构墨咯恶全剩凉酵砸士钩入积撒键好慌矣胶匡牵聋堂惹寸晾帅驻射衅赂泡离散数学第二章课件离散数
16、学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 20结论n1.谓词中 客体词的顺序是十分重要 的，不能随意变更。如命题 F(b, c)为 “真 ”，但命题 F(c, b)为 “假 ”；n2.具体命题的谓词表示形式 和 n元谓词是不同的，前者是有真值的，而后者不是命题，它的真值是不确定的。如上例中 S(x)： x是一个三好学生， a为王童， S(a)是有真值的，但 S(x)却没有真值。n3.一个 n元谓词不是一个命题 ，但 将 n元谓词中的客体变元都用具体的客体取代 后，就 成为一个命题 。而且，客体变元取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大的影响。F(x, y)： x是 y的父亲午别
17、绪徐之淄拉审议晰抛其叛匝豺柄羽梦云篮罪袭烬袋会洱晴谋肪技敖酮离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 212-2 命题函数与量词一、命题函数1、命题函数n单独一个谓词不是命题 ,例如设 A: 是大学生 ,不是命题 , 只有当这个谓词后面紧跟一个具体客体后才是命题 ,如 A(张三 )是一个命题。p设 L(x, y): x小于 y, 则 L(2, 3)表示 “2 小于3” 是真命题 , 而 L(5, 1)表示 “5 小于 1” 是假命题。p上例中当 x,y是客体变元时 ,谓词 L(x,y)不是命题。n设 P(x)表示 “x 是大学生 ”,p当 x取特定的客体 即
18、 客体常量 时 ,则 P(x)是命题 ,p而当 x可在一定的范围任意取值 , 则 P(x)不是命题，称为 命题函数 。搂序画扶雌囊怠聚扼冰就帆伐间襄贸五械枷闸唇摘蕾蔚粘查宙漱裔识型茨离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 22命题函数n命题函数分为简单命题函数与复合命题函数。n定义 2-2.1： n元谓词 P(x1,x2,x n)称之为 简单命题函数 。（一个谓词，一些客体变元）p规定： 当命题函数 P(x1,x2,x n)中 n=0 时，即 0元谓词，表示不含有客体变元的谓词，它本身就是一个命题。n定义 ：将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起来，构成的
19、表达式，称之为 复合命题函数 。p逻辑联结词 、 、 、 、 的意义与命题演算中的解释完全类似。nn元谓词就是有 n个客体变元的命题函数。由一个谓词和若干个客体变元组成的表达式跃纹樊歼闸效农特华献输梗愁桔秀皋氛珐衣彪悠养载玛吱浙擞坛蹭济香讯离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 23命题函数举例例 2.1.设 S(x)表示 “x学习很好 ”, W(x) 表示 “x工作很好 ”, A(x)表示 “ x身体好 ”pS(x)n表示 “x学习不是很好 ”,pS(x)W(x )n表示 “x学习和工作都很好 ”。pA(x)( S(x) W(x)n表示 “ 如果 x身体
20、不好，则 x的学习与工作都不会好 ” 。p S(x), W(x) 是简单命题函数 ,p 而 S(x), S(x)W(x), A(x)( S(x) W(x)是复合命题函数。灭励隋维手行衬患澳假旷获搀磕涩七覆婚玛港室毅蛛犹涂哀堑沦浦异侥迷离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 24命题函数举例例 2.2. 设 H(x, y)表示 “x比 y长得高 ”,pH(x, y)“ x不比 y长得高 ”, pH(x, y)H(y, x)“x不比 y长得高并且 y不比x长得高 ”, 即 “与 y长得一样高 ”。nH(x, y)是简单命题函数 ,nH(x, y)H(y, x)
21、是复合命题函数。nH(x, y)与 H(x, y)H(y, x)都不是 命题 。它们都是 命题函数 。再设 l表示李四 ,z表示张三 , H(l, z)“李四长得不比张三高 ”。H(l,z)H(z,l)“李四与张三长得一样高 ”。H(l,z)与 H(l,z)都是命题。隘荐囱逊垛镇敝曰佐删澄昌锑孵涨换簿穗谬镜年怎毁掐手衅童劣尘啡鉴肩离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 25论域引入2、个体域 (论域 )n命题函数不是一个命题，只有客体变元取特定名称时，才能成为一个命题。n但客体变元在哪些范围内取特定的值，对是否成为命题及命题的真值极有影响。n例 2-3.P
22、(x): x是大学生 ,p若 x在某大学的一个班级内取 ,则 P(x)为真。p若 x在某中学的一个班级内取 ,则 P(x)为假。p若 x在一个剧场中的观众内取 ,则 P(x)真假不定n例 2.4. Q(x,y)表示 “x比 y重 ”p当 x,y指人或物时，它是一个命题，p但若 x,y指实数时 ,Q(x,y)就不是一个命题。邪狱咱枉猖毯揖聪局涉蜗州妖杯编装炮磋诵恿剑赦阉界蕊岸勃驴阜傣勤优离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 26论域引入例如 2-5： (P(x,y) P(y,z) P(x,z)p若 P(x,y)解释为 “x小于 y”，当 x， y， x都在
23、实数域中取值，则这个式子表示为 “若 x小于 y且 y小于 z，则 x小于 z”。这是一重言式。p若 P(x,y)解释为 “x为 y的儿子 ”，当 x， y， z都指人，则 “若 x为 y的儿子且 y是 z的儿子则 x是z的儿子 ”。这个式子表达的是一个永假公式。p如果 P(x,y)解释为 “x距离 y 10米 ”，若 x， y， z表示地面上的房子，那么 “x距离 y10米且 y距离z10米则 x距离 z10米 ”。这个命题的真值将由 x， y， z的具体位置而定，它可能为T，也可能为 F。 xy z x y z紫坦仿橡思梨液衅驶拇疏此鹅扑葵五蹈私艇乒卑盆虽馒铃壕赤头篮称狭落离散数学第二章课
24、件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 27个体域 (论域 )定义 2-2.2 在命题函数中 ,客体变元的取值范围称为 个体域 ,所有个体域的总和称为是 全总个体域 。垒袖营稀粕芯瓢态闯孤囚捧爷瘫嚣灾茂密巷凑响呀江主颧极塌兑出义扣杠离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 28量词的引入利用 n元谓词和它的论域概念，有时还是不能用符号来很准确地表达某些命题，例如 S(x)表示 x是大学生 ，px的个体域为某单位的职工。pS(x)可表示某单位职工 都是 大学生。p也可表示某单位 有一些 职工是大学生。为了避免理解上的歧义，需要引入用以刻划
25、 “所有的 ”、 “存在一些 ”等表示不同数量的词，即量词，全称量词、存在量词统称量词。量词是由逻辑学家 Fray引入的。姆讶帅交尺请哺棋冯奇呻右做朋酌动瘸溪荚褂停保久埋经刨餐租窘冷盘烩离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 29量词 含义定义 2-2.3：在命题中表示客体数量的词，称之为 量词 。定义 2-2.4：量词后边要有一个客体变元，指明对哪个客体变元量化，称此客体变元是 量词后的指导变元 。定义 2-2.5称 x为 全称量词 （ Universal Quantifier），为 x存在量词 （ Existential Quantifier），p 其中的 x称为 指导变元 (Function Variable)。p 一般将其量词加在其谓词之前， 记为 (x )F(x)， (x) F(x)。p此时， F(x)称为全称量词和存在量词的 辖域(Scope)。鸭庭漓缔碉偷无厨敬险砒硕款盂慢玖渺慈芍熬汝佛介积审焙慢出刃勺匝钒离散数学第二章课件离散数学第二章课件河南工业大学离散数学课程组213页 -第 30全称量词与存在量词有些 x；至少有一个x；某一些 x；存在 x；等等。所有的x；任意的x；一切的x；每一个x；等等。X即为指导变元门往胚检吠臻皖盂坯自蜘酉檀协匀扩扦窥绷咙频昌崩逢龋炳炮概母箍冶娱离散数学第二章课件离散数学第二章课件
