1、10.3 二项式定理,第十章 计数原理,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.二项式定理,知识梳理,r1,2.二项式系数的性质(3)当n是偶数时， 项的二项式系数最大；当n是奇数时， 与_ 项的二项式系数相等且最大. (4)(ab)n展开式的二项式系数和： .,1,1,2n,二项展开式形式上的特点 (1)项数为 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按 排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从 ， ，一直到 ， .,【知识拓展】
2、,n1,降幂,升幂,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1) anrbr是二项展开式的第r项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( ) (4)(ab)n的展开式第r1项的系数为 anrbr.( ) (5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编 2.(12x)5的展开式中，x2的系数等于 A.80 B.40 C.20 D.10,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,3.若 展开式的二项式系数之和为64，则
3、展开式的常数项为 A.10 B.20 C.30 D.120,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,4.若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为 A.9 B.8 C.7 D.6,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,解析 令x1，则a0a1a2a3a40， 令x1，则a0a1a2a3a416， 两式相加得a0a2a48.,题组三 易错自纠 5.(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,解析 (xy)n二项展开式第m项的通项公式为,6.已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN
4、)是一个递增数列，则k的最大值是 A.5 B.6 C.7 D.8,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，,解析,答案,6,1,2,3,4,5,6,7,题型分类 深度剖析,命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数 典例 (1)(2017全国) (1x)6的展开式中x2项的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35,解析,答案,题型一 二项展开式,多维探究,(2)(x2xy)5的展开式中，x5y2项的系数为 A.10 B.20 C.30 D.60,解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解. (x2xy)5(x2x)y5，,方法二 利用组
5、合知识求解.,解析,答案,解析,答案,解析,答案,2,求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可.,跟踪训练 (1)(2017全国)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为 A.80 B.40 C.40 D.80,答案,解析,所以x3y3的系数为804040. 故选C.,答案,解析,(2)(xa)10的展开式中，x7项的系数为15，则a_.(用数字填写答案),典例 (1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.,题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题,师
6、生共研,3,答案,解析,解析 设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5， 令x1，得0a0a1a2a3a4a5. ，得16(a1)2(a1a3a5)， 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)， 所以8(a1)32，解得a3.,(2)(2018汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_.,1或3,答案,解析,解析 令x0，则(2m)9a0a1a2a9， 令x2，则m9a0a1a2a3a9， 又(a0a2a8)2(a1a3
7、a9)2 (a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39， (2m)9m939，m(2m)3， m3或m1.,答案,解析,255,当r5时，2n3r1，n8. 对(13x)8a0a1xa2x2a8x8， 令x1，得a0a1a828256. 又当x0时，a01， a1a2a8255.,(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. (2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4 ，偶数项系数之和为a1a3a5 .,答案,解析,答案,解析
8、,(2)(2017绵阳模拟)(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|等于 A.1 024 B.243 C.32 D.24,解析 令x1，得a0a1a2a3a4a5|a0|a1|a2|a3|a4|a5|1(3)5451 024.,典例 (1)设aZ且0a13，若512 012a能被13整除，则a等于 A.0 B.1 C.11 D.12,题型三 二项式定理的应用,师生共研,答案,解析,答案,解析,(1x)2 0171i2 0171i1.,(1)逆用二项式定理的关键 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用
9、二项式定理求解. (2)利用二项式定理解决整除问题的思路 观察除式与被除式间的关系； 将被除式拆成二项式； 结合二项式定理得出结论.,答案,解析,前10项均能被88整除，余数是1.,答案,解析,1,解析 当x0时，左边1，右边a0，a01.,二项展开式的系数与二项式系数,现场纠错,纠错心得,现场纠错,错解展示,(2)已知(xm)7a0a1xa2x2a7x7的展开式中x4项的系数是35，则a1a2a7_.,错解展示：,令x1可得4n1 024，n5，,错误答案 (1)5 (2)271,现场纠错,故展开式中含x项的系数为15.,(2)(xm)7a0a1xa2x2a7x7， 令x0，a0(m)7.
10、又展开式中x4项的系数是35，,m1，a0(m)71. 在(xm)7a0a1xa2x2a7x7中， 令x1，得01a1a2a7， 即a1a2a3a71. 答案 (1)15 (2)1,纠错心得 和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和.,课时作业,1.已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A.29 B.210 C.211 D.212,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,则奇数项的二项式系数和为2n129.故选A.,2.在x2(1x)
11、6的展开式中，含x4项的系数为 A.30 B.20 C.15 D.10,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以系数为15.,3.(2017广州测试)使 n(nN)展开式中含有常数项的n的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以n的最小值是5.,解析,答案,4.(2017邵阳模拟)(13x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为 A.21 B.35 C.45 D.28,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1
12、4,15,16,5.(4x2x)6(xR)展开式中的常数项是 A.20 B.15 C.15 D.20,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12x3rx0恒成立，r4，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为,解析 (x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，,x4项的系数为4a115，a4.,7.(2018漯河质检)若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n，则a0a1a2a
13、3(1)nan等于,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 在展开式中，令x2，得332333n a0a1a2a3(1)nan，,8. 展开式中不含x的项的系数为_.(用数字作答),解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,20,故不含x的项的系数为20.,9.若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.(用数字作答),解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10
14、,解析 f(x)x5(1x1)5，,10.(2017广州五校联考)若 的展开式中x3项的系数为20，则log2alog2b_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,令123r3，则r3，,log2alog2blog2(ab)log210.,11.(2017抚顺一中月考)在 (a0)的展开式中，常数项的系数是60，则 sin xdx的值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1cos 2,解析,答案,解析 由二项展开式的通项公式可知，,12.(2018河南南阳模拟)若(1xx2)6a0a1xa
15、2x2a12x12，则a2a4a12_.(用数字作答),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,364,解析 令x1，得a0a1a2a1236， 令x1，得a0a1a2a121，,令x0，得a01，,13.若 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为 A.40 B.20 C.20 D.40,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 令x1，得(1a)(21)52，a1.,令52r1，得r2.令5
16、2r1，得r3.,14. 的展开式中，不含x的各项系数之和为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,令y1，得各项系数之和为(34)91.,15.(2018珠海模拟)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于 A.45 B.60 C.120 D.210,拓展冲刺练,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.若 展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x的有理项；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设展开式中的有理项为Tr1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,r为4的倍数，又0r8，r0,4,8.,(2)展开式中系数最大的项.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设展开式中Tr1项的系数最大，则,故展开式中系数最大的项为,本课结束,
