1、10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,第十章 计数原理,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法.那么，完成这件事共有 种方法.(也称加法原理) 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法.那么，完成这件事共有种方法.(也称乘法原理),知识梳理,Nm1m2mn,Nm1m2mn,3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原
2、理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.( ) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干
3、种不同的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法.( ) (5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是 A.12 B.8 C.6 D.4,答案,解析,1,2,3,4,5,6,解析 分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况， 因此第一、二象限内不同点的个数是326，故选C.,3.已知某公园有4个门
4、，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为 A.16 B.13 C.12 D.10,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法3412(种).,题组三 易错自纠 4.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 A.24 B.18 C.12 D.6,答案,1,2,3,4,5,6,解析,解析 分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有32212(个)奇数； 第2类，偶奇奇，个位有3
5、种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3216(个)奇数.根据分类加法计数原理知，共有12618(个)奇数.,5.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A.24种 B.30种 C.36种 D.48种,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 需要先给C块着色，有4种方法；再给A块着色，有3种方法； 再给B块着色，有2种方法； 最后给D块着色，有2种方法，由分步乘法计数原理知， 共有432248(种)着色方法.,6.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的
6、四位数中，“好数”共有_个.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 由题意知本题是一个分类计数问题. 当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况.当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有12种结果.,12,题型分类 深度剖析,解析 当a0时，关于x的方程为2xb0，此时有序数对(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求； 当a0时，44ab0，ab1， 此时满足要求的有序数对为(1，1)，(1,0)，
7、(1,1)，(1,2)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0). 综上，满足要求的有序数对共有13个，故选B.,1.(2017郑州质检)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为 A.14 B.13 C.12 D.10,解析,答案,题型一 分类加法计数原理的应用,自主演练,2.(2017济南模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为 A.240 B.204 C.729 D.920,解析,答案,解析 若a22，则百位数字只能选1，个位数字可选
8、1或0，“凸数”为120与121，共2个. 若a23，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有236(个). 若a24，满足条件的“凸数”有3412(个)，若a29，满足条件的“凸数”有8972(个). 所以所有凸数有26122030425672240(个).,3.(2016全国)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数.若m4，则不同的“规范01数列”共有 A.18个 B.16个 C.14个 D.12个,解析,答案,分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键
9、位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复. (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.,解析 从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条， 所以从E点到G点的最短路径有6318(条)，故选B.,典例 (1)(2016全国)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为,题型二 分步乘法计数原理的应用,师生共研,答案,解析,A.24 B.18 C.12 D.9,(2)有六名
10、同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法.,答案,解析,120,解析 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种).,1.本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？,解 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36729(种).,解答,2.本例(2)中若将条件“每项限报一人
11、，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？,解 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63216(种).,解答,(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.,跟踪训练 一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿
12、途风景，则不同(除交汇点O外)的游览线路有_种.(用数字作答),答案,解析,48,解析 根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法； 参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法； 参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法.由分步乘法计数原理知， 共有64248(种)不同游览线路.,命题点1 与数字有关的问题 典例 (2017天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.(用数字作答),题型三 两个计
13、数原理的综合应用,多维探究,1 080,答案,解析,故符合题意的四位数一共有9601201 080(个).,命题点2 涂色、种植问题 典例 (2017济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_.,96,答案,解析,解析 按区域1与3是否同色分类：,故由分类加法计数原理可知，不同的涂色种数为247296.,命题点3 与几何有关的问题 典例 (1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数
14、是 A.48 B.18 C.24 D.36,答案,解析,解析 第一类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)； 第二类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个. 所以正方体中“正交线面对”共有241236(个).,(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 A.60 B.48 C.36 D.24,答案,解析,解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6636， 另含4个顶点
15、的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6212， 故符合条件的“平行线面组”的个数是361248.,利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么. (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类. (3)弄清分步、分类的标准是什么. (4)利用两个计数原理求解.,跟踪训练 (1)(2017黄山模拟)建造一个花坛，花坛分为4个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花(不一定4种颜色都栽种)，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种.(用数字作答),108,答案,解析,解析 先栽第一块地，有4种情况，然后栽第二块地，有3种情况，第三块地有3种情况
16、，第四块地有3种情况，则共有4333108(种)不同的栽种方法.,(2)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有 A.144个 B.120个 C.96个 D.72个,答案,解析,解析 由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，,故选B.,典例 (1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 A.24种 B.4种 C.43种 D.34种 (2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4次，轮船有3次，问此人的走法可有_种.,利用两个基本原理解决计数问题,现场纠错,纠错心得,现场纠错,错解展示,错解展示：,(1)因为每个信
17、箱有三种投信方法，共4个信箱， 所以共有333334(种)投法. (2)乘火车有4种方法，坐轮船有3种方法， 共有3412(种)方法.,错误答案 (1)D (2)12,现场纠错,解析 (1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法. (2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有437(种).,答案 (1)C (2)7,纠错心得 (1)应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步.
18、(2)把握完成一件事情的标准，如典例(1)没有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误.,课时作业,1.(2017济南质检)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式的种数为 A.24 B.14 C.10 D.9,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,解析 第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4312(种)方式； 第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法. 所以由分类加法计数原理可知，共有12214(种)选择方式.,1,2,3,4,5,6,7,8,
19、9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018河北保定质检)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有 A.4种 B.6种 C.10种 D.16种,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式. 由分类加法计数原理可知，共有336(种)传递方法.,3.从集合1,2,3,4，10中，选
20、出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有 A.32个 B.34个 C.36个 D.38个,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，,解析,答案,4.(2018惠州调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 A.18个 B.15个 C.12个 D.9个,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知，这
21、个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4. 由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004； 由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031； 由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022； 由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有363315(个).,5.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有 A.12种 B.10种 C.9种 D.8种,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由分步乘法计数原理
22、可知，不同的选派方案共有2612(种).,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018驻马店质检)将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有 A.1种 B.3种 C.6种 D.9种,解析 因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色，故有3216(种)涂色方案.,7.集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是 A.9 B.14 C.15 D.21,解析,答案
23、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当x2时，xy，点的个数为177. 当x2时，PQ，xy. x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法. 因此满足条件的点共有7714(个).,8.(2018湖南郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.4 320种 B.2 880种 C.1 440种 D.720种,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 分步进行：
24、1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法. 根据分步乘法计数原理可知，共有6543344 320(种)不同的涂色方法，故选A.,9.设集合A1,0,1，B0,1,2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数为_.(用数字作答),解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 易知AB0,1，AB1,0,1,2,3， x有2种取法，y有5种取法. 由分步乘法计数原理， 知A*B中的元素有2510(个).
25、,10,10.(2017日照调研)从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,11.在某运动会的百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_种.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2 880,解析,答案,解析 分两步安排这8名运动员. 第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，
26、 安排方式有43224(种). 第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排， 安排方式有54321120(种). 安排这8人的方式有241202 880(种).,12.(2017昆明质检)某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层数的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有_种.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 分三类：(1)同一天两家
27、有快递：可能是2层和5层，3层和5层，3层和6层，共3种情况； (2)同一天三家有快递：考虑将有快递的三家插入没有快递的四家形成的空位中,有 种插入法，但需减去1层，3层与7层有快递，1层，5层与7层有快递2种情况，所以有 28(种)情况； (3)同一天四家有快递：只有1层，3层，5层，7层有快递1种情况.根据分类加法计数原理可知，同一天7家住户有无快递的可能情况共有38112(种).,13.(2017郑州质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为 A.72 B.120 C.192 D.240,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
28、15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，,若末位数字为4，因为有2个相同数字4，所以共有54321120(种)情况.综上，共有6060120240(种)情况.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当f(1)f(3)1时，f(2)2,3,4，有三种情况； f(1)f(3)2，f(2)1,3,4，有三种情况； f(1)f(3)3，
29、f(2)2,1,4，有三种情况； f(1)f(3)4，f(2)2,3,1，有三种情况. 因而满足条件的函数f(x)有12种.,15.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元的，1个8元的，1个10元的(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有 A.18种 B.24种 C.36种 D.48种,拓展冲刺练,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,根据分类加法计数原理可知，共有36
30、种情况.,16.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33，99,3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则 (1)4位回文数有_个；,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,90,解析 4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共有91090(种)填法，即4位回文数有90个.,(2)2n1(nN)位回文数有_个.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,910n,解析 根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.结合分步乘法计数原理，知有910n种填法.,本课结束,
