1、10.2 排列与组合,第十章 计数原理,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.排列与组合的概念,知识梳理,一定顺序,2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_ 的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示. (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示.,所有不同排列,所有组合,3.排列数、组合数的公式及性质,n(n1)(n2)(nm1),1,n！,n,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1
2、)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( ) (4)(n1)！n！nn！.( ) (5)若组合式 则xm成立.( ) (6) ( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 A.144 B.120 C.72 D.24,答案,解析,1,2,3,4,5,6,3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为 A.8 B.24 C.48 D.120,解析,答案,1,2,3,4,5,6,题组三 易
3、错自纠 4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A.192种 B.216种 C.240种 D.288种,答案,1,2,3,4,5,6,解析,1,2,3,4,5,6,所以共有12096216(种)排法.,5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为 A.180 B.240 C.540 D.630,解析,答案,1,2,3,4,5,6,故不同的选派方案种数为9036090540.,1,2,3,4,5,6,6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，
4、C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有_种.(用数字作答),解析,答案,1,2,3,4,5,6,45,解析 设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9545(种).,题型分类 深度剖析,1.用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排
5、法种数为 A.18 B.108 C.216 D.432,解析,答案,题型一 排列问题,自主演练,2.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有 A.1 108种 B.1 008种 C.960种 D.504种,解析,答案,3.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言.(用数字作答),解析,答案,1 560,解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，,排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实
6、际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.,典例 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？,题型二 组合问题,师生共研,解答,解 从余下的34种商品中，,某一种假货必须在内的不同取法有561种.,(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？,解答,某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.,(3)恰有2种假货在内
7、，不同的取法有多少种？,恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.,(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解答,至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.,(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解答,解 方法一 (间接法),至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.,方法二 (直接法),至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.,组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类
8、题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.,跟踪训练 (1)在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为 A.30 B.36 C.60 D.72,答案,解析,(2)(2017武汉二模)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A.60种 B.63种 C.65种 D.66种,答案,解析,命题点1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题 典例 (1)(2
9、018青岛模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为_.,题型三 排列与组合问题的综合应用,多维探究,答案,解析,60,所以出场顺序的排法种数为NN1N260.,(2)(2017上饶一模)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来
10、自于同一个家庭的乘坐方式共有 A.18种 B.24种 C.36种 D.48种,答案,解析,解析 根据题意，分两种情况讨论： A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，,故共有121224(种)乘坐方式，故选B.,命题点2 分组与分配问题 典例 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法.,90,答案,解析,(2)(2017广州调研)有4名优秀学生A，B
11、，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有_种.,36,答案,解析,(1)解排列、组合问题要遵循的两个原则 按元素(位置)的性质进行分类； 按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).,(2)分组、分配问题的求解策略 对不同元素的分配问题 a.对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 (n为均分的组数)，避免重复计数. b.对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程
12、中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数. c.对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数. 对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.,跟踪训练 (1)(2017全国)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A.12种 B.18种 C.24种 D.36种,答案,解析,(2)(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有_种不同的选法.(用数字作答),答案,解析,660,(3)把5件不同的产品摆
13、成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种.,答案,解析,36,课时作业,1.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是 A.9 B.10 C.18 D.20,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,2.(2017济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A.33! B.3(3！)3 C.(3！)4 D.9!,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析
14、 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法.,3.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为 A.16 B.18 C.24 D.32,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,4.(2018昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.有A，B，C
15、，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为 A.6 B.18 C.20 D.24,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2016四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A.24 B.48 C.60 D.72,7.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错
16、误方法共有_种.(用数字作答),解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11,8.(2017福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种.(用数字作答),解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,60,9.(2017豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有_种.,解析,答案,1,2,3,
17、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,36,10.用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有_个.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,240,11.(2018郑州模拟)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,120,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2017衡水
18、四模)某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法.(用数字作答),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,114,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故有901872(种)， 根据分类加法计数原理可知，共有4272114(种).,13.(2018合肥质检)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为 A.120 B.240 C.360 D.
19、480,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,14.将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有_种放法.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,150,15.在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有 A.96种 B.124种 C.130种 D.150种,拓展冲刺练,答案
20、,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能：,满足题意的安排方法共有9060150(种).故选D.,16.(2017洛阳预测)设三位数nabc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c1,2,3，9.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,综上，nn1n2165.,设ab，必须满足ba2b，此时，不能构成三角形的数字是,本课结束,
