1、14.2 不等式选讲,第十四章 系列4选讲,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集,知识梳理,(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|c ； |axb|c .,(a，a),caxbc,axbc或axbc,(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想. 2.含有绝对值的不等式的
2、性质 (1)如果a，b是实数，则 |ab| ，当且仅当 时，等号成立. (2)如果a，b，c是实数，那么 ，当且仅当_时，等号成立.,|a|b|,|a|b|,ab0,|ac|ab|bc|,b)(bc)0,(a,3.不等式证明的方法 (1)比较法 作差比较法 知道abab0，ab，只要证明_ 即可，这种方法称为作差比较法. 作商比较法,ab0,(2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫作综合法，即“由因导果”的方法. (3)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已
3、知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫作分析法，即“执果索因”的方法.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若|x|c的解集为R，则c0.( ) (2)不等式|x1|x2|b0时等号成立.( ) (4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立.( ) (5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.不等式3|52x|9的解集为 A.2,1)4,7) B.(2,1(4,7 C.(2，14,7) D.(2,14,7),答案,解析,1,2,3,4,5,6,解答,解 当x
4、1时，原不等式可化为1x(5x)2， 42，不等式恒成立，x1； 当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2， x4，1x4； 当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(，4).,1,2,3,4,5,6,3.求不等式|x1|x5|2的解集.,题组三 易错自纠 4.若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a .,1,2,3,4,5,6,4或6,答案,解析,解析 方法一 当a1时，f(x)3|x1|， f(x)min0，不符合题意；,1,2,3,4,5,6,f(x)minf(a)a15，a6成立；,f(x)minf(a)a15，a4成立. 综上，a
5、4或a6.,方法二 当a1时，f(x)min0，不符合题意； 当a1时，f(x)minf(a)|a1|5， a4或a6.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,9,答案,解析,1,2,3,4,5,6,答案,解析,1,2,3,4,5,6,解析 设y|2x1|x2|,当x5；,1,2,3,4,5,6,题型分类 深度剖析,1.(2017全国)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|. (1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；,解答,题型一 绝对值不等式的解法,自主演练,解 当a1时，不等式f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40. 当x1时，式化为x2x40，,(
6、2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围.,解答,解 当x1,1时，g(x)2， 所以f(x)g(x)的解集包含1,1等价于 当x1,1时，f(x)2. 又f(x)在1,1上的最小值必为f(1)与f(1)之一， 所以f(1)2且f(1)2，得1a1. 所以a的取值范围为1,1.,2.已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0. (1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；,解答,解 当a1时， f(x)1化为|x1|2|x1|10. 当x1时，不等式化为x40，无解；,当x1时，不等式化为x20，解得1x2.,(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围
7、.,解答,所以a的取值范围为(2，).,解绝对值不等式的基本方法 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式. (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式. (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.,题型二 利用绝对值不等式求最值,师生共研,解答,典例 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；,解 x，yR， |x1|x|(x1)x|1， 当且仅当0x1时等号成立， |y1|y1|(y1)(y1)|2， 当且仅当1y1时等号成立， |x1|x|y1|y1|123. 当且仅当0x1，1y1同时成立时等号成
8、立. |x1|x|y1|y1|的最小值为3.,解答,(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.,解 |x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.,求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义. (2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|. (3)利用零点分区间法.,解答,当且仅当(2ab)(2ab)0时等号成立，,解答,(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数x的取值范围.,x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集. 解不等式得2x2， 故实数
9、x的取值范围为2,2.,题型三 绝对值不等式的综合应用,师生共研,解答,f(x)f(xm)|xa|xma|1， 又|xa|xma|m|， |m|1，1m1， 实数m的最大值为1.,解答,(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决. (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.,解答,跟踪训练 (2017全国)已知函数f(x)|x1|x2|. (1)求不等式f(x)1的解集；,当x1时，f(x)1无解； 当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2； 当x2时，由f(x)1，解得x2， 所以f(x)1的解集为x|x1.,解答,(2)若不等式f(x)x2x
10、m的解集非空，求m的取值范围.,解 由f(x)x2xm，得 m|x1|x2|x2x. 而|x1|x2|x2x |x|1|x|2x2|x|,题型四 用综合法与分析法证明不等式,师生共研,证明,证明,只需证明(abc)23. 即证a2b2c22(abbcca)3， 而abbcca1， 故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)， 即证a2b2c2abbcca.,所以原不等式成立.,用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由
11、此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.,证明,跟踪训练 (2017全国)已知a0，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；,证明 (ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a4b42a2b2) 4ab(a2b2)24.,证明,(2)ab2.,证明 因为(ab)3a33a2b3ab2b3 23ab(ab),所以(ab)38，因此ab2.,课时作业,基础保分练,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.解不等式|x1|x2|5.,1,2,3,4,5,6,7,8,
12、9,10,解 方法一 如图，设数轴上与2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.,显然，区间2,1不是不等式的解集.把点A向左移动一个单位到点A1，此时|A1A|A1B|145.把点B向右移动一个单位到点B1，此时|B1A|B1B|5，故原不等式的解集为(，32，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,方法二 由原不等式|x1|x2|5，,原不等式的解集为(，32，). 方法三 将原不等式转化为|x1|x2|50. 令f(x)|x1|x2|5，则,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,作出函数的图像，如图所示.,由图像可知，当
13、x(，32，)时，y0， 原不等式的解集为(，32，).,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.(2017烟台二模)若不等式log2(|x1|x2|m)2恒成立，求实数m的取值范围.,解 由题意可知|x1|x2|m4恒成立， 即m(|x1|x2|4)min. 又因为|x1|x2|4|(x1)(x2)|41， 当且仅当1x2时等号成立， 所以m1. 即实数m的取值范围为(，1.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,即|4a3b2|的最大值为6，所以m|4a3b2|max6. 即实数m的取值范围为6，).,3.对于任意实数a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a
14、3b2|m，求实数m的取值范围.,解 因为|ab|1，|2a1|1，,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证明 若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd. 因为abcd，所以abcd；,因为abcd，所以abcd，于是 (ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2. 因此|ab|cd|，即充分性成立.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,5.(2017洛阳模拟)已知关于x的不等式|2x1|x1|log2a(其中a0). (1)当a4时，
15、求不等式的解集；,解 当a4时，不等式为|2x1|x1|2.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)若不等式有解，求实数a的取值范围.,解答,6.(2017沈阳模拟)设f(x)|ax1|. (1)若f(x)2的解集为6,2，求实数a的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,(2)当a2时，若存在x0R，使得不等式f(2x01)f(x01)73m成立，求实数m的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解 当a2时，令h(x)f(2x1)f(x1) |4x1|2x3|,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证
16、明,证明 abc2， a2b2c22ab2bc2ca4， 2a22b22c24ab4bc4ca8， 82a22b22c24ab4bc4ca6ab6bc6ac，当且仅当abc时取等号，abbcac,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解 由题意可知，a2b2c22ab2bc2ca4， 4a2b2c2a2b2b2c2a2c23(a2b2c2)，当且仅当abc时取等号，a2b2,(2)若a，b，c都小于1，求a2b2c2的取值范围.,0a2.同理bb2，cc2. a2b2c2abc2，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
17、8.已知函数f(x)m|x1|x2|，mR，且f(x1)0的解集为0,1. (1)求m的值；,解 由f(x1)0，得|x|x1|m. |x|x1|1恒成立， 若m1，不等式|x|x1|m的解集为，不合题意； 若m1，不等式|x|x1|1的解集为0,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,当0x1时，得x1xm,0x1；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,由题意知，原不等式的解集为0,1.,m1.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)若a，b，c，x，y，zR，且x2y2z2a2b2c2m，求证：axbycz1.,证明 x2a22ax，y2b22by，z2c22
18、cz，当且仅当xa，yb，zc时等号成立. 三式相加，得 x2y2z2a2b2c22ax2by2cz. 由题设及(1)，知x2y2z2a2b2c2m1， 22(axbycz)，axbycz1，不等式得证.,解答,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.(2017银川模拟)已知函数f(x)|x1|，g(x)2|x|a. (1)当a1时，解不等式f(x)g(x)；,解 当a1时，不等式f(x)g(x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,所以实数a的取值范围为(，2.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解 a0，b0且ab1，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)求x的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解 对任意a，b(0，)，,|2x1|x1|9. 当x1时，不等式化为2x9， 解得7x1；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,x的取值范围为x|7x11.,本课结束,
