1、3.3 定积分与微积分基本定理,第三章 导数及其应用,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.定积分的定义 给定一个在区间a，b上的函数yf(x)： 将a，b区间分成n份，分点为ax0x1x2xn1xnb. 第i个小区间为xi1，xi，设其长度为xi，在这个小区间上取一点i，使f(i)在xi1，xi上的值最大.设Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.在这个小区间上取一点i，使f(i)在xi1，xi上的值最小，设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn. 如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同
2、时趋于某 ，称A是函数yf(x)在区间a，b上的定积分.,知识梳理,一个固定的常数A,ba,3.微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)F(x)，则有 f(x)dx F(b)F(a).,1.定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零. 2.若函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”),基础自测,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,1,2,4
3、,5,6,解析,3,7,答案,1,1,2,4,5,6,答案,解析,3,7,4.汽车以v(3t2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是 m.,解析,1,2,4,5,6,3,7,答案,题组三 易错自纠 5.直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为,解析 如图，y4x与yx3的交点为A(2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积.,解析,1,2,4,5,6,答案,3,7,解析,1,2,4,5,6,3,答案,3,T3.,7,解析,1,2,4,5,6,答案,3,7,题型分类 深度剖析,题型一 定积分的计算,自主演练,1. e|x|dx的值为 A.2 B.2e
4、 C.2e2 D.2e2,解析,答案,1ee12e2，故选C.,解析,答案,3.(2018唐山调研)定积分 (x2sin x)dx .,解析,答案,运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分. (2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.,解析,题型二 定积分的几何意义,多维探究,解析 由定积分的几何意义知， 表示圆(x1)2y24和x1，x3，y0围成的图形的面积，,命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分,答案,解析 根据定积分的几何意义 表示圆(x
5、1)2y21和直线x2，xm和y0围成的图形的面积，,解析,答案,1,解析,命题点2 求平面图形的面积 典例 (2017青岛月考)由曲线xy1，直线yx，y3所围成的封闭平面图形的面积为 .,答案,4ln 3,由xy1，yx，可得B(1,1)，由yx，y3，得C(3,3)，,(1)根据定积分的几何意义可计算定积分. (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； 借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； 把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； 计算定积分，写出答案.,解析,答案,(2)如图所示，由抛物线yx24x3及其在点A(0
6、，3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为 .,解析,答案,解析 由yx24x3，得y2x4.易知抛物线在点A处的切线斜率k14，在点B处的切线斜率k22. 因此，抛物线在点A处的切线方程为y4x3，在点B处的切线方程为y2x6.,因此，由题图可知所求的图形的面积是,解析,题型三 定积分在物理中的应用,师生共研,典例 一物体作变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在 s6 s间的运动路程为 m.,答案,定积分在物理中的两个应用 (1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程s v(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力F(x)的作
7、用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是W F(x)dx.,解析,跟踪训练 一物体在变力F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时，F(x)做的功为,答案,课时作业,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,3.已知函数yf(x)的图像为如图所示的折线ABC，则 (x1)f(x)dx等于 A.2 B.2 C.1 D.1,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,
8、9,10,11,12,13,14,15,16,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1，故选D.,4.(2018大连调研)若 3ln 2(a1)，则a的值是 A.2 B.3 C.4 D.6,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,a2ln a13ln 2，解得a2.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2017湖南长沙模拟)设a cos xdx，b sin xdx，则下列关系式成立的是 A.ab B.ab1 C.ab D.ab1,解析,1,
9、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,(cos x)sin x，,sin 1cos 11，sin 11cos 1，即ab.故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.定积分 |x1|dx等于 A.1 B.1 C.0 D.2,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t (t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A.125ln 5 B.825
10、ln C.425ln 5 D.450ln 2,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,282425ln 5425ln 5.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,2, (sin xcos x)dx(sin xcos x),解析 所求面积S cos xdxsin x,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,11.(2017济南模拟)设a0，若曲线y 与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
11、1,12,13,14,15,16,答案,解析,解析 封闭图形如图所示，,12.已知二次函数yf(x)的图像如图所示，则它与x轴所围成的面积为 .,解析 根据f(x)的图像可设f(x)a(x1)(x1)(a0). 因为f(x)的图像过(0,1)点，所以a1，即a1. 所以f(x)(x1)(x1)1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,技能提升练,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,解析 由题意得，所求阴影部分的面积,故选A.,解析,答案,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
12、,11,12,13,14,15,16,A.S1S2S3 B.S2S1S3 C.S2S3S1 D.S3S2S1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 S1，S2，S3分别表示曲线yx2，y ，yex与直线x1，x2及x轴围成的图形的面积，通过作图易知S2S1S3.,拓展冲刺练,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.若函数f(x)在R上可导，f(x)x3x2f(1)，则 f(x)dx .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,4,解析 因为f(x)x3x2f(1)， 所以f(x)3x22xf(1). 所以f(1)32f(1)，解得f(1)3. 所以f(x)x33x2.,本课结束,
