1、 数分近一周知识点总结本周学习了第二章数列极限。由于在数学分析中，变量的取值范围是限制在实数集合内，我们本章学习的重点便是实数系的基本性质和定理。首先，经过严格的证明，引出了具有连续性的实数系，而确界存在定理就是R 连续性的表述之一非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界，即非空有界数集的上（下）确界是唯一的。接着，高中学习过的数列在数分课上也被进一步深化无穷大量、无穷小量、极限等概念的引入，让我们知道数列是发散或收敛的。数列极限有唯一性，且收敛数列必有界，而有界数列未必收敛。由此展开的系列推论与性质，如夹逼性、保序性和四则运算定理也为我们数列运算和学习收敛准则（单调有界数列必收
2、敛）提供了思路和工具。数学是良好的工具。应用极限，我们研究了兔群增长率变化情况，、e、Euler 常数的起源，感受了极限的魅力。接下来学习的闭区间套定理也解决了我们上一章遇到的问题实数集是否可列。Bolzano-Weierstrass 定理是将收敛准则条件改动而得到的“稍弱的结论” ，更重要的是它为我们最终证明Cauchy 收敛原理提供了强有力的支持。而 Cauchy 原理也说明了实数系的另一个性质完备性。回顾本章，我们会发现实数系的完备性等价于实数系的连续性，本章学习的5 个实数基本定理也是相互等价的。下面我们以 5 定理互证为例题补充：聚点有界数列的一个收敛子列的极限称为该数列的聚点，又称
3、称极限点，因此Bolzano-Weierstrass 定理又称聚点定理。下面我们用聚点定理代替 B-W,是等效的例题：实数系完备性基本定理的循环证明摘 要:循环论证了实数系的 5 个基本定理,并最终形成所有完美的论证环,体现了数学论证之美.(单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛(闭区间套定理） 设 为一闭区间套：,nab1. 1,2nnab2. lim()0则存在唯一一点 ,1,2.nab(聚点定理)又称 Bolzano-WEierstrass 定理 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点 ，即在 的任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可S S以属于 ，也可以不属于 ）或表述为：有界数
4、列有至少一个收敛子列。S(柯西收敛准则) 数列 收敛的充要条件是： N， , na0,n、 m恒有 （后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称|-|0,若 S,都有 - ,则存在有理数 ,使 - - .即 是xxx数集 的最小上界.S于是,我们证明了所需结论.三.用单调有界定理证明柯西收敛准则证 若 收敛，设“nalimna则有对 ， ，当 时有 0Nna/2任取 ，则有 m/2从而 naan即 是 列Cuchy设 是 列“n(i) 则对 ， ，当 时有 01N1n1nNa从而 11Naa取 ， ， 21Nn22Nna从而 222na 取 ， ， 1knkkkNna从而 kk
5、kNna即得对 有 ，由 的任意性有1kkn1kkna(ii)由 列的定义，任取 ，则 ，当 时有Cuchy0N,m nma取 则1N1nNa所以 为有界序列n由 有 为有界序列kakn由有界单调收敛定理有 收敛，设ka0limkna(iii)下证 0limn因为对 ， ，当 时有 Kk0kn/2由 是 列有naCuchy当 时有 kkna/2所以 + 0nk0kna所以 收敛，且a0limn证毕四.单调有界定理证明聚点定理证 设 是以有界无限点集 ,则在 中选取一个由可数多个互不相同的点组成SS的数列 ,显然数列 是有界的.nana下面我们从 中抽取一个单调子列, 从而由单调有界定理该子列收
6、敛, 最后我们证明该子列的极限值 ,就是有界无限点集 的聚点 .分两S种情况来讨论.1)如果在 的任意一项之后 ,总存在最大的项( 因 是有界的且na S ,这是可能的 ). 设naS后的最大项是 ;11n后的最大项是 且显然 ;1n2a2n1a一般地, 后的最大项记为 ,( =1,2,). 这样,就得ka1kk到了 的 一个单调递减的子数列 ,因为 有界,根单调有界定理n knn知, 收敛 .k2)如果 1)不成立. 即从某一项后, 任何一项都不是最大的 (为证明书写简单起见 ,不妨设从第一项起,每一项都不是最大项). 于是, 取 =1na, 因 不是最大项 , 所以必存在另一项 ( ).又
7、因为 也不1a1n 2na122是最大项, 所以又有 ( ), 这样一直下去,就得到 3na232 n的一个单调递增的子列 且有上界 单调有界定理知, 收敛。k kna总之不论 属于情形 1）还是情形 2）都可作出 的一个单调收n敛的子列.设 = ,今证 是 的聚点 .对 0,存在自然数 ,使得时 limknaSKk时，K- ) 且 , k 1knak1kna1kn即 的 领域内含有 中异于 的点,故 是 的 聚点.SaSS单调递增时,类似可证区间套定理对其它定理的证明一.用区间套定理证明数列的柯西收敛准则证 必要性 设 = A.由数列极限定义,对任给的 0,存在 0,当limnxa Nm,n
8、 时有N| -A|0,存在 0,使得对一切 有NnN| - | ,即在区间 - , + 内含有 中几乎所有的项(这naNNana里及以下,为叙述简单起见,我们用“ 中几乎所有的项”表示“ na 中除有限项外的所有项”)na据此,令 = ,则存在 ,在区间 - , + 内含有 中121N1Na21Nna几乎所有的项.记这个区间为 , . 再令 = ,则存在 ( ) ,在区间 - , + 内含有 21212Na12 na中几乎所有的项.记 , = - , + , ,22Na21它也含有 中几乎所有的项,且满足na继续依次令 = , , , ,照以上方法得一闭区间列 , ,其312 n n中每个区间
9、都含有 中几乎所有的项,且满足na , , ,n=1,2, ,n1n- 0 (n ),n2即 , 是区间套,由区间套定理,存在唯一的一个数 , ( n nn=1,2, ). .现在证明 就是数列 的极限.事实上,对任给的 0 ,存在 0 ,na N使得当 时有 , U( ; ).nN因此在 U( ; )内含有 中除有限项外的所有项,这就证得 = .na limnxa二用区间套定理证明聚点定理证 因 为有界点集,故存在 ,使得 ,记 , = . S0MSM1,M现将 , 等分为两个子区间,因 为无限点集,故两个子区间至1少有一个含有中 无穷多个点 ,记此子区间为 , ,则 , S21 , ,且2
10、- = ( - )=M.211再将 , 等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间含有 中S无穷多个点,取出这样的一个子区间,记为 , ,则 , , 323 ,且3- = ( - )= .3122M将此等分子区间的手续无限地进行下去,得到一个区间列 , ,它n满足 , , ,n=1,2, ,n1n- = 0 (n ),2M即 , 是区间套,且其中每一个闭区间都含有 中无穷多个点.n S由区间套定理,存在唯一的一点 , , n=1,2, .于是对任给n的 0,存在 0 ,当 时有 , U( ; ).从而 U( ; )内含有NnN中无穷多个点, 为 的一个聚点.SS三.用区间套定理证明确界原理证 仅
11、证明非空有上界的数集 必有上确界.1.要找一数 ,使其是数集 上的上确界. 是 的上确界就要满足上确界S定义中的两个条件:大于 的数不在 中, 的任何领域内有 中的点. S这两条即为性质 . p如果 在闭区 , 间中,则闭区间应有性质 , :任何小 于的ababa数不在 中, , 中至少含有 中的一个点,该性质即为 .取 的SS*pS上界为 ,且 b ,取 ,则闭区间有性质 ; *p2. 将闭区间 , 等分为两个闭区间,则至少有一个闭区间 , 也有性a 1ab质 .如此继续得一闭区间列,满足*p , , , ;b1 nab= =0lim()nxali()2nx3. 由闭区间套定理得 属于所有的
12、闭区间 , ,n=1,2, , 并且每个n闭区间 , 有性质 ;nb*p4. 因为 , n=1,2, , 且 =0,故 a lim()nxba= = ,limnxlix由于对 ,有 ,从而 = ;又对 0,总存在 ,SnlinxN使得 - - .因而Na0xNab0xNa=sup .S四用区间套定理证明单调有界定理证 设 是单调有界数列 ,不妨设其为单调递增且有上界 ,现在来构造nx 1b以个闭区间套.在 中任取一项记作 , 这时 0 存在自然数 ,当 lixli()nbaNn时,N - nxn时,有,nab取 =max , ,当 时有NN - ( -1) . .11分别取 = ， =1,2,
13、 ,则对每一个正整数 ,存在相应的 ,使得n nn为 的上界 ,而 - 不是 的上界,故存在 ,使得nSS1S - . (1)1n又对正整数 , 是 的上界,故有 .结合(1)式得 - 0 ,存在 0 ,使得当 , 时有 NN| - |0 ,由 0( )及(2)式,a1对充分大的 同时有n- .12n又因 - 不是 的上界,故存在 ,使得 - .结合上式得nSSn1 - - = - .n这说明 为 的上确界.同理可证:若 为非空有下界数集 ,则必存在下确界.S二.用柯西收敛准则证明聚点定理证 1.取 为 的下界,对任意固定的自然数 ，存在自然数 , 使 = + annknxak满足：1） 至多
14、为有限点集；S(,)nx2） 为无限点集.12由 1.对任意的自然数 , , 0, 由于 = ,所以存在 使得1lim()nx0n, - ( - , + ),0n0从,S01(,)nxS()有 2）得 是无限点集；又,),S(S0()nx由 1）得 至多是有限点集 .因此,)( - , + ),是无限点集,即 是 的聚点 .S三.用柯西收敛准则证明闭区间套定理证 不妨设 是一列闭区间,满足如下两个条件:1) nab2)设 .则1,nnab， 1,2 lim()0nba,所以数列 是一基本数列.从而由柯西收00()man敛准则得: .lilimli()nnnbali(n)linn由于数列 单调增
15、加,数列 单调减少,可知 是属于所有闭区间 的唯一实数,从而区间套定理得证 .下面证明闭区间套的公,(12)nab共点是唯一的若 也属于所有的闭区间 ,则 ,当()nab0nba时, ,这与闭区间套的条件矛盾,即区间套的nlim0nba公共点是唯一的.四.用柯西收敛准则证明单调有界定理证 设 为一递增且有上界 M 的数列用反证法（ 借助柯西准则 ）可以na证明：倘若 无极限，则可找到一个子列 以 为广义极限，从而kna与 有上界相矛盾现在来构造这样的 n k对于单调数列 ，柯西条件可改述为：“ ,当 时，na +0,Nn满足 ”这是因为它同时保证了对一切 ，恒有|nN m|nmnNa倘若 不收
16、敛，由上述柯西条件的否定陈述： ，对一切 ，na 0N，使N0|nNnaa依次取 12111 0221 0,.kknkknnaN 使 ；使 ；使把它们相加,得到10kna故当 时，可使 ，矛盾所以单调有界数列 必定有极10MakknMna限 确界原理对其它定理的证明 一.用确界原理证明柯西收敛准则证 必要性是常规证法,故从略.只证充分性.1构造非空有界数集 ,因为欲证明数列 收敛，故数集 必须含有数列SnxS中的无限多个数,为此，令nx= |(- , ) 是空集或有限点集 ;xxn2由于满足柯西收敛准则充分条件的数列是有界的,故知数列 的下界nxa,上界 也是 的上界.所以 是非空有上界的数集
17、.由确界原理数集SbSS有上确界 =sup ;3对 0, (- , ) 是无限点集,否则,就与 =sup .矛盾.因(- ,nxS+ ) 至多含有 的有限多个点.故( - , + )含有 的无限nxnxnx多个点.设 ( - , + ),k= 1,2, ,且 时,总存在 使 11Nk1N| - | | - | + | - | ( n=1,2, ).再取 = ( - ), 由NNa 12Na的单调性,当 nN 时, + .这样,( - , + ) 内至多有 Sn n中的有限多个点.这与 是聚点矛盾,于是得到 ( n=1,2, ).n同理可证, ( n=1,2, ).因此,有 . 1,nab唯一性
18、的证明从略.二.用聚点定理证明柯西收敛准则证 设 是一 列 柯西列，则知 是有界的.若 中只有有限 多个nxnxnx项不相同,那么必有一项譬如 出现无限多次, 这时 就得到 的一个0n n收敛的子列 . 又因为 是柯西列，故对 0，存在自然数 , 当knxxN 时nmN - , 时由于 , 从而kNknN - ,nxk令 ,得 - .knx0即 = .limn0若 中有无限 多项互不相同, 数集 = 是一有界无限点集.根x Snx据聚点定理 , 至少有一 聚点 , 由聚点的定义 ,对任意的自然数 ,在S k中, 必含有 的 无限多项, 从而在 中可选出一项 ,且1()knx1()kknx,由于
19、 的任意性，所以 .同上可知 .nxlimknxlimn三.用聚点定理证明单调有界定理证 设 是一单调有界数列,下证 收敛,不失一般性.nana由聚点定理可知 至少有一个聚点,假设 都是 的聚点n bna则 , 使得 . 使得 .0kkknkknabk因为 所以bkk取 ,则 至多含有 中的 项,矛盾1knmnknnam从而 中只有一个聚点,记该点为 .a下证 .lin因为 是 的聚点,所以对 是无穷点集,0knan且 .所以 .knakna由 的单调性,取 ,则当 时有1N1nkna所以 limna四.用聚点定理证明确界原理证 设 为一有上界点集,若 为有限点集 EE则 必有上确界,且 su
20、p =max .x若 为无限点集,设 为 的任一上界,任取M0xE将 二等分,若 ,则令 , .否则0xM02xE012Mxa1b, .再将 二等分,若1ab1bE则记 , .否则 ,.122212这样重复下去,可得两数列 , , 其中 是 的上界, ,且有nanna12a 21bb由聚点定理可知, 有聚点,由聚点唯一,记为 .n 下证 为 的上确界.E1)对 ,有 ,即xnbx2)对 ,由 的构造可知 , ,使得0naE2nnab因为 所以 为 的上确界2na谢谢大家，也祝大家数分攀岩之路一路顺风！学年论文题 目： 实数完备性基本定理的循环证明学 院： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 2007 级数学 2 班 学生姓名： 齐淼 学 号： 2007710710225
