1、函数奇偶性性质及其应用如果对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 f（x）叫ffx()(做奇函数；如果对于函数 f（ x）的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数)f（x）叫做偶函数。其判定的法则是：（1）看关系式是否出现 （此为奇函数）或ff()(（此为偶函数） ， （2）看定义域是否关于原点对称；（3）看图象是否关于原()点对称（此为奇函数）或关于 y 轴对称（此为偶函数） 。显然，法则（1） ， （2）与法则（3）是等价的。也就是说，一个函数不满足这三条法则中的任何一条，它是非奇非偶函数；如果函数 f（x）满足了法则（ 1） ， （2）或者满足法则（3 ） ，则可判定
2、它的奇偶性。因此，就奇偶性而言函数可以分为四类：奇函数；偶函数；既是奇函数又是偶函数；非奇非偶函数。设 f（x）是奇函数，如果当 x0 时， ，则fxg()g()()0（证明从略，类似情况略） 。设 f（x）是奇函数，如果当 x0 时，f（x）是增函数，则当 x0 时， 。试求此fxx()lg)12函数的解析式。解：（1）当 x0 时， ，于是 ；ff()()00（2）当 x1x21，例 6. （2004 年上海卷）设奇函数 f（x）的定义域是-5，5 。当 时，x05，f（x）的图象如图 1，则不等式 f（x）0 时，f（x）有最小值 2，fxabcb()()210，其中 ，且bN15（1）
3、试求 f（x）的解析式；（2）问函数 f（x）的图象上是否存在关于点（ 1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。解：知函数 是奇函数， ，则 c0yfxab()0， fxf()(由于 ，所以 ，又 ，又 ，于是fb()12a2b2ab)152250b解得 ，又1N所以 b1，a1所以 fx()（2）设点（x 0，y 0）存在关于点（1，0）对称点（ ，y 0） ，此两点均在函数2x的图象上，则y1xy20011， ()联立以上两式得 ，即 ，从而，当 时，得022x02；当 时，得02x0即存在点（ ） ， （ ）关于点（1，0）对称。1， 12，湖南省永州市第一中学（425006）
