1、1函数奇偶性的应用一、 利用函数的奇偶性判断函数的单调性1 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反2 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断例若奇函数 f(x)在a，b上是增函数，且有最大值 M，则 f(x)在b，a上是增函数，且有最小值M .例若偶函数 f(x)在(，0)上是减函数，则 f(x)在(0，)上是增函数例 如果 f(x)是 R 上的奇
2、函数，且在3,6上有最大值 4，最小值 2，那么函数 f(x)在 6，3上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称，联想图象可知函数 f(x)在 6，3上的最大值为2，最小值为4.例若函数 yf( x)(xR)是奇函数，且 f(1)f (2)Cf(1)f(1) Df(2) f (1)解析：f(1)f (2)又已知 f(x)是奇函数，f(1)f(2)答案：B例 函数 yf(x )(xR)是奇函数，图象必过点A （a, f(a) B（-a, f (a)C（a, f (a ) D（-a, f (a)例设 f(x)是 R 上的偶函数，且在 0，)上单调递增，则 f(2) ，f ( )，
3、f(3)的大小顺序是_解析：f(x) 是 R 上的偶函数，f(2)f(2)，f( )f( )，又 f(x)在0，)上递增，而 2f(3)f(2)，即 f( )f(3)f(2) 答案：f( )f(3)f(2)例函数 f(x)是 R 上的偶函数，且在 0，)上单调递增，则下列各式成立的是( )Af(2)f(0)f(1)Bf(2)f(1)f(0)Cf(1)f(0)f(2)Df(1)f( 2)f(0)解析：f( x)是 R 上的偶函数，f( 2)f(2)，又 f(x)在0 ，)上递增，2f( 2)f(1)f(0)答案：B例已知函数 f(x)在区间5,5 上是奇函数，在区间0,5上是单调函数，且 f(3
4、)f(1)Cf(1)f(5)思路分析：要比较各函数值的大小，需判断函数在区间5,5 上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间0,5上的单调性解析：函数 f(x)在区间0,5 上是单调函数，又 31，且 f(3)f (1)选项 B 中，0 1，故 f(0)f(1) ，选项 D 中 f(3)0，x 2x 30，x 3x 10，则( )Af(x 1)f(x 2)f(x 3)0Bf(x 1)f( x2)f(x 3)f(x3)解析：利用减函数和奇函数的性质判断x1x 20，x1x 2.又 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数，f(x1)0.则当 nN 时，有( )Af(n)0 得 f(x)在 x(
5、，0为增函数又 f(x)为偶函数，所以 f(x)在 x0， )为减函数又 f(n) f(n)且 0n10 时，f(x)x32x3，求 f(x)在 x0，f(x )(x)32(x) 3x32x3.f(x)x32x 3(x 0 时， 。试求此函数的解析式。fxx()lg)122log()afxx【 若 函 数 是 奇函 数 ， 求 实例 】 数 的 值 22222 ()0log()log)01.0lo0.aaafxxxfa由 ，得 ，即 ， 所 以 因 为 ， 所 以 因 为 奇 函 数 的 定 义 域 为 全 体 实 数 ，所 以 函 数 在 原 点 有 定 义 ，则 定 义 法 ：， 即 ，则
6、 ， 得性 质【 法 ： 解 析 】5解：（1）当 x0 时， ，于是 ；ff()()0f()0（2）当 x0 时， f(x) x22 x2.(1)求 f(x)的解析式；(2)画出 f(x)的图象，并指出 f(x)的单调区间解(2)先画出 y f(x)(x0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应 y f(x)(x0 时，f(x)x| x2|，求 x0，f( x)(x)|(x)2|.又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)( x )|(x) 2| x|x 2|.故当 x0，则 x( 3,0)；当 x0 时，f(x)0.fa fba b(1)若 ab，试比较 f(a)与 f(b)的大小；(2)解不等
7、式 f(x )b，则 ab0，依 题意有0 成立， f(a)f(b)0.fa f ba b又 f(x)是奇函数，f(a) f (b)0，即 f(a)f(b)(2)由(1)可知 f(x)在1,1上是增函数则所求不等式等价于Error!例：定义在 R 上的偶函数 在 是单调递减，若 ，则 的取值范围是如何？)(xf)0,)123()12(afaf10例. 已知函数 是奇函数，当 x0 时，f(x)有最小值 2，其中 ，且fxabcb()()210， bNf()152（1）试求 f(x)的解析式；（2）问函数 f(x)的图象上是否存在关于点（ 1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。解：知函数 是奇函数， ，则 c0yfa()， fxf()(由于 ，所以 ，又 ，又 ，于是fxbb()12ab22ab)1525202b解得 ，又12N所以 b1，a1所以 fx()（2）设点（x 0，y 0）存在关于点（1，0）对称点（ ，y 0），此两点均在函数 的图象上，则2xyx21yx0 20， ()联立以上两式得 ，即 ，从而，当 时，得 ；当 时，01x012x012y02x012得 02即存在点（ ），（ ）关于点（1，0）对称。12， ，11
