1、函数的表示方法1.结合丰富的实例,使学生在具体情境中了解自变量与函数的意义 .2.结合实例,初步了解数值表、图像、表达式这三种函数的表示方法 .3.能确定简单函数的自变量的取值范围 .1.观察在许多问题中的变量之间存在着函数关系 .2.探究函数与自变量的对应关系 .3.理解如何求函数解析式、自变量的取值范围 .1.通过学习函数概念,提高学生的分析、综合能力,渗透由特殊到一般、由具体到抽象的思考方法,向学生渗透数形结合的思想 .2.感受现实生活中函数的普遍性,体会事物之间的相互联系与制约 .【重点】了解函数的意义,会求自变量的取值范围及函数值 .【难点】函数概念的抽象性及列函数关系式 .第 1
2、课时 1.探究具体问题中的数量关系和变化规律 .2.通过实例,了解函数的定义及其表示方法 .1.经历思考、分析、观察等数学活动过程,发展合情推理,有条理地、清晰地阐述自己的观点 .2.逐步感知变量间的关系 .1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲,让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用 .2.提高学生参加数学活动的积极性和好奇心 .【重点】函数的概念 .【难点】函数概念的理解及表示 .【教师准备】 课件 18.【学生准备】 复习变量与常量 .导入一:【课件 1】 下面是一张心电图,心电图中显示了心脏部位的生物电流( y)随时间( x)的变化,则对于 x 每一个确定的值
3、, y 是否都有唯一确定的对应值?教师让学生细心观察,讨论并思考:对于 x 每一个确定的值, y 都有唯一确定的对应值 .教师归纳:万物皆变,这种一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在 .函数就是深刻认识变化世界的数学工具 .导入二:【课件 2】 高速行驶的列车的行驶里程随着行驶时间而变化 .气象站自动温度记录仪描述的某一天的温度曲线,气温随时间的变化而变化 .函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型 .设计意图 两个导入都是以现实生活为依托,让学生体会变量之间的关系,感受数学知识与现实生活的密切联系,从而激发学生的学习热情和求知欲 .活动 1 整体感知“观察与思考”过渡语 函数是
4、刻画和研究变化过程中量与量之间关系的一种重要数学模型,在现实生活中具有广泛的应用 .现在,我们开始学习函数 .思路一【课件 3】 思考并解决下列问题:(1)下表是欣欣报亭上半年的纯收入情况:月份 T 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月纯收入 S/元 456047904430420048704730根据这个表格你能说出 1 月 6 月,每个月的纯收入吗?(2)如图所示的是某市冬季某天的气温变化图 .观察这个气温变化图,你能找到凌晨 3 时、上午 9 时和下午 16 时对应的温度吗?你能得到这天 24 小时内任意时刻对应的温度吗?(3)我们曾做过“对折纸”的游戏:取一张纸,第 1 次对
5、折,1 页纸折为 2 层;第 2 次对折,2层纸折为 4 层;第 3 次对折,4 层纸折为 8 层用 n 表示对折的次数, p 表示对折后的层数,请写出用 n 表示 p 的表达式 .根据写出的表达式,是否可以得出任意次对折后的层数?依次引导学生回答上述三个问题,学生举例时尽可能多地让学生说出观察到的信息 .(1)能 .举例略 .(2)3 时、9 时和 16 时对应的温度分别为-3 ,1 和 4 .能得到这天 24 小时内任意时刻对应的温度 .(3)p=2n.能,举例略 .【思考】 (1)在问题(1)中有几个变量?随着月份 T 的变化,纯收入 S 怎样变化?(2)在问题(2)中有几个变量?有怎样
6、的变化规律?(3)在问题(3)中有几个变量?当 n 每取一个值时, p 是否都有唯一的值?教师引导学生讨论上面三个问题:(1)有两个变量,月份对应一个值,纯收入也有一个值和它对应;(2)有两个变量,温度随时间的变化而变化;(3)有两个变量, n 每取一个值时, p 都有唯一的值与之对应 .设计意图 通过练习让学生感知问题中两个变量的存在,认识变量之间的单值对应 .【课件 4】 在上述三个问题中,分别指出其中的变量,并说明在同一个问题中,当其中一个量变化时,另一个量是否也在相应地变化,当其中一个量取定一个值时,另一个量是否也相应地取定一个值 .引导学生总结出:三个实例中的两个变量之间分别具有相互
7、依赖关系,当其中一个变量变化时,另一个变量也相应地变化,并且当其中一个变量取定一个值时,另一个变量也相应地取定一个值 .说明:一般地,在某个变化过程中,有两个变量 x 和 y.如果给定 x 的一个值,就能相应地确定 y 的一个值,那么,我们就说 y 是 x 的函数 .其中, x 叫做自变量 .请你说一说,课件 3 的(1) (3)中哪个变量是哪个变量的函数?自变量是谁?指学生回答,得出:(1)欣欣报亭的纯收入 S(元)是月份( T)的函数, T 是自变量;(2)某市某一天的气温 T()是时刻 t 的函数, t 是自变量;(3)折纸的层数 p 是折纸次数 n 的函数, n是自变量 .此处教师应指
8、出:(1)“自变量”是指在它的取值范围内可以随心所欲地、自由自在地取它想取的值 .(2)“函数”中的“函”是相关的意思,是指这两个变量间有相关的关系 .每一个自变量的函数值是唯一被确定的 .设计意图 通过实例,从三个不同角度描述变化规律,感受变量之间的对应关系 .知识拓展 (1)函数不是数,函数的本质是对应,函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系,必须是“对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值和它对应” .例如:“一个数与它的绝对值”,若一个数用 x 表示,它的绝对值用 y 表示,其中 x 可以取任意实数,即自变量的取值范围是全体实数,对应关系是一个数与它的绝对值对应,一个数
9、的绝对值是这个数的函数 .又如:式子 y=x2中,变量 x 每取一个值, y 都有唯一的值与之对应,所以 y 是 x 的函数;式子 y2=x 中,尽管 x 与 y 之间有一种关系,但由于变量 x 在 x0 的范围内每取一个值,y 都有两个确定的值与之对应,所以说 y 不是 x 的函数 .(2)自变量与函数用什么字母表示无关紧要,自变量可以用 x 表示,也可以用 t,u,p,中的任何一个表示,函数可以用 y 表示,也可以用 t,u,p,中的任何一个表示 .(3)在我们所研究的范围内,如果两个变量之间虽有一定的关系,但它们之间存在“不唯一确定”的对应关系,也就是说,这种关系不是“唯一确定”的关系,
10、那么这两个变量之间就不存在函数关系 .(4)函数的定义中指出“对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与之对应”,但对于自变量x 的每一个不同的值, y 不一定都是不同的值与之对应 .思路二1.共同探究,获取新知 .【课件 5】 问题 1:师:这个问题中,有哪几个变量?学生讨论,教师参与 .生 1:时间 .生 2:海拔高度 .师:很好 .观察上图,热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米?师:你能求出升空后 3 min,6 min 时热气球到达的海拔高度吗?生:能设计意图 用师生共同探究的方法来唤起学生的参与意识,同时,也活跃了课堂气氛,锻炼了学生的合作能力 .2.合作交流,深化理解 .【课件
11、 6】 问题 2:师:这个问题中,有哪几个变量?生:两个变量,时间和用电负荷 .师:任意给出这天中的某一时刻,如 4.5 h,20 h,你能找到这一时刻的用电负荷 y(103兆瓦)是多少吗?你是怎么找到的?找到的值是唯一确定的吗?学生小组讨论,教师参与学生交流 .师:这一天的用电低谷、用电高峰时负荷各是多少?它们是在什么时刻达到的?生:4 .5 h 和 13.5 h.师:很好 .问题 3:汽车在行驶过程中,由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住,某型号的汽车在路面上的刹车距离 s m 与车速 v km/h 之间有经验公式: s=.这个式子中涉及哪几个变量呢?生 1:刹车距离 .生 2:车
12、速 .师:当刹车时车速分别是 40 km/h,60 km/h 时,相应的滑行距离分别是多少(结果保留一位小数)?找两名学生板演,学生求出结果后集体纠正 .设计意图 通过教师的点拨,师生的合作交流为学习定义打下良好基础 .3.继续探究,深化定义 .师生共同探究问题 1,2,3 中变量和常量的关系:问题 1 中, t=3 时, h=1890;t=6 时, h=1980.问题 2 中, t=4.5 时, y=10;t=20 时, y=16.问题 3 中, v=40 时, s6 .3;v=60 时, s14 .1.教师口述定义:一般地,在某个变化过程中,有两个变量 x 和 y.如果给定 x 的一个值,
13、就能相应地确定y 的一个值,那么,我们就说 y 是 x 的函数 .其中, x 叫做自变量 .师:你能说出问题 1 中的自变量和函数吗?学生小组讨论 .生:热气球上升高度 h 是自变量时间 t 的函数 .师:你能说出问题 2 中的自变量和函数吗?生:用电负荷 y 是自变量时间 t 的函数 .师:问题 3 中呢?生:刹车距离 s 是自变量车速 v 的函数 .师:大家掌握得太好了,真为你们骄傲!设计意图 通过小组讨论交流达到“兵教兵”的目的,实现知识内化 .活动 2 知识深化“大家谈谈”过渡语 函数体现的是“一一对应”的思想,即在自变量取值范围内每取一个值,另一个变量都有唯一的值与其对应 .【课件
14、7】 请你谈谈:1.如果 y 是 x 的函数,那么哪个量是自变量,哪个量是自变量的函数?2.在上面的“观察与思考”中,我们认识了用“数值表、图像、表达式”三种方式分别表示的函数,请你再用这三种方式各举一个表示函数关系的例子 .学生举例,讨论交流 .设计意图 进一步理解函数模型,辨析自变量与函数,初步体会数值表、图像、表达式这三种函数的表示方法 .活动 3 巩固新知“做一做”【课件 8】 做一做1.改革开放以来,我国城乡居民的生活发生了巨大变化 .下表是国家统计局公布的近几年人民币储蓄存款余额的情况:年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010存款余额 /亿元14105116
15、1587172534217885260772303302在这里,存款余额(亿元)与年份两个量之间是否具有函数关系?若具有函数关系,请指出其中的自变量和关于自变量的函数 .2.海水受日月的引力而产生潮汐现象 .海水早晨上涨的现象叫做潮,黄昏上涨的现象叫做汐,潮与汐合称潮汐 .某港口的某一天,从 0 时至 24 时的水位情况如图所示 .变量 h 与变量t 是否具有函数关系?若具有函数关系,则哪个量是自变量,哪个量是这个自变量的函数?让学生利用函数的定义去加以判断 .引导学生得到:1.存款余额与年份具有函数关系,年份是自变量,存款余额是年份的函数 .2.h 与 t 具有函数关系, t 是自变量, h
16、 是 t 的函数 .设计意图 进一步掌握函数的概念,能正确地确定自变量,提高学生解决实际问题的能力,锻炼学生讲题说理的能力 .1.函数的定义:一般地,在某个变化过程中,有两个变量 x 和 y.如果给定 x 的一个值,就能相应地确定y 的一个值,那么,我们就说 y 是 x 的函数 .其中, x 叫做自变量 .2.对于函数的理解:(1)在某一个变化过程中有两个变量;(2)一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;(3)自变量的每一个确定的值,函数有且只有一个值与之对应,即单对应 .1.(2016南宁中考)下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是 ( )A BC D解析:根据函数的意义:对
17、于自变量 x 的任何一个值, y 都有唯一的值与之相对应,可知D 正确 .故选 D.2.下列说法正确的是 ( )A.若 y2x,则 y 是 x 的函数B.正方形的面积是其周长的函数C.变量 x,y 满足 y2=2x,y 是 x 的函数D.温度是变量解析:A .不符合函数的定义,故本选项错误;B .设正方形的周长为 L,面积为 S,用 L 表示S 的函数关系式为 S=L2,故本选项正确;C .不符合函数的定义,故本选项错误;D .在不同的情况下,温度不一定是变量,故本选项错误 .故选 B.3.下列四个关系式:(1) y=x;(2)y=x2;(3)y=x3;(4)|y|=x.其中 y 不是 x 的
18、函数的是 ( )A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)解析:根据函数的定义,可知满足对于 x 的每一个取值, y 都有唯一确定的值与之对应关系,可以得出(1) y=x,(2)y=x2,(3)y=x3满足函数的定义, y 是 x 的函数,而(4)| y|=x,当 x 取值时, y 不是都有唯一的值与之对应, y 不是 x 的函数 .故选 D.4.下列各选项中,两个变量之间的关系不能被看成函数的是 ( )A.小车下滑过程中下滑时间 t 与支撑物高度 h 之间的关系B.三角形一边上的高一定时,三角形面积 S 与该边的长度 x 之间的关系C.骆驼某日体温随时间的变化曲线所确定的温度与时间的关系
19、D.y 表示一个正数 x 的平方根, y 与 x 之间的关系解析:D .y 表示一个正数 x 的平方根,而 x 每取一个值, y 都有两个值与之对应,所以两个变量之间的关系不能看成函数关系,故此选项符合题意 .故选 D.5.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量 x 和 y 的数值,其中 y 不是 x 的函数的选项是 ( )x 1 2 3 4y -1 -2 -3 -4A x 1 2 3 4y 3 6 9 12Bx 1 4y -1,1 2,-2C x 1 2 3 4y 2 2 2 2D解析:只有选项 C 中, x 取 1 个值, y 有 2 个值与其对应,故 y 不是 x 的函数 .故选
20、C.6.已知 ABC 的底边 BC 上的高为 8 cm,当它的底边 BC 从 16 cm 变化到 5 cm 时, ABC的面积 ( )A.从 20 cm2变化到 64 cm2B.从 64 cm2变化到 20 cm2C.从 128 cm2变化到 40 cm2D.从 40 cm2变化到 128 cm2解析:当 ABC 的底边 BC 上的高为 8 cm,底边 BC=16 cm 时, S1=(816)2=64(cm2);底边 BC=5 cm 时, S2=(58)2=20(cm2).故选 B.7.一石激起千层浪,一块石头投入水中,会在水面上激起一圈圈圆形涟漪(圆形水波慢慢地扩大),如图所示(这些圆的圆心
21、相同) .(1)在这个变化过程中,自变量是 ; (2)如果圆的半径为 r,面积为 S,那么 S 与 r 之间的关系式是 ; (3)当圆的半径由 1 cm 增加到 5 cm 时,面积增加了 cm2. 解析:(1)圆的面积随着圆的半径的变化而变化,所以自变量是圆的半径;(2)根据圆的面积公式,如果圆的半径为 r,面积为 S,则 S 与 r 之间的关系式是 S= r2;(3)当圆的半径由 1 cm 增加到 5 cm 时,面积增加了 25-=24(cm 2).答案:(1)圆的半径 (2)S= r2 (3)248.在国内投寄平信应付邮资如下表:信件质量 x/克 0x20 20x40 40x60邮资 y/
22、元 0.80 1.60 2.40(1)y 是 x 的函数吗?为什么?(2)分别求当 x=5,10,30,50 时的函数值 .解析:(1)根据函数定义:设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y,对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一的值与其对应,那么就说 y 是 x 的函数, x 是自变量,可得 y 是 x 的函数;(2)根据表格可以直接得到答案 .解:(1) y 是 x 的函数,当 x 取定一个值时, y 都有唯一确定的值与其对应 .(2)当 x=5 时, y=0.80;当 x=10 时, y=0.80;当 x=30 时, y=1.60;当 x=50 时, y=2.40.9.观察如图所示的
23、图形,找规律,填表答题 .小梯形个数 n 1 2 3 4 n图形的边数 a 4 7 (1)把表补充完整,并回答其中哪个是自变量;(2)图形的边数 a 是小梯形个数 n 的函数吗?解析:(1)根据图形的变化,可得自变量;(2)根据函数的定义,可得答案 .解:(1)依次填 10,13,3n+1.图形的边数随着小梯形个数的变化而变化,梯形的个数是自变量 .(2)图形的边数 a 是小梯形个数 n 的函数,理由是有一个 n 值就有唯一确定的 a 值与之对应, a 是 n 的函数 .第 1 课时活动 1 整体感知“观察与思考”函数的定义活动 2 知识深化“大家谈谈”活动 3 巩固新知“做一做”更多文档请关注微传网：
