1、第 1 页 共 10 页立体几何建系设点专题考点分析：引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一所谓“建立适当的坐标系” ，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、熟悉几个补形建系的技巧基本模型：长方体 ；（1）三棱锥 ,其中 .PABC,2ABC特点： ；四个面均为直角三角形。面建系方法：（2）四棱锥 P-ABCD,其中 ABCD 为矩形。,PABCD面建系方法：（3）正四面体 A-BCD 建系方法：（4）两个面互相垂直建系方法PABCABCDP第 2 页 共 10 页二、
2、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等） ，利用自身对称性可建立空间直角坐标系例 1、已知两个正四棱锥 PABCD 与 QABCD 的高都为 2，AB4（1）证明：PQ平面 ABCD；（2）求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；（3）求点 P 到平面 QAD 的距离第 3 页 共 10 页途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系例 2、在直三棱柱 中，ABBC ，D 、E 分别为 的中点1AB
3、C1BAC底（1）证明：ED 为异面直线 与 的公垂线；1（2）设 ，求二面角 的大小121A练习题：如图，平面 PAC平面 B， AC是以 为斜边的等腰直角三角形，,EFO分别为 ， ， 的中点， 16， 10P（I）设 G是 的中点，证明： /FG平面 OE；（II）证明：在 内存在一点 M，使 平面 B，并求点 M到 OA， B的距离第 4 页 共 10 页x yzMABDCOP途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系例 3如图，在四棱锥 中，底面 四边长为 1 的菱形， ， OABCD 4ABC， ， 为 的中点
4、。OA底2M（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。练习题：在三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是边长为 32的正三角形，点 A1在底面 ABC 上的射影 O 恰是 BC 的中点（）求证：A 1ABC；（）当侧棱 AA1和底面成 45角时，求二面角 A1ACB 的大小余弦值；AB OCDA1B1C1第 5 页 共 10 页三、求点的坐标的两条途径途径一、作该点在 xOy 面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标） 。途径二、过该点和 z 轴作 xOy 面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。例 4. 如图，正三棱柱
5、 ABC-A1B1C1 的底边长为 a,侧棱长为 2a 建立适当的坐标系，写出 A，B，A 1，B 1 的坐标；求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系” ，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则 A（ 0，0，0） B（0，a,0）练 4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。（1）如图，在四棱锥 中， 底面PABCDP是 的中点.,60,ABCD,ABCEP（2）如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点12D1 A BCA1 B1C1Mz y
6、xAPEB CDABC D1A1CB第 6 页 共 10 页立几建系设点专项练习1. 在正方体 AC1 中，E、F 分别为 D1C1 与 AB 的中点，则 A1B1 与截面 A1ECF 所成的角的正弦值为（ ）Asin Bsin Csin D都不对363262. 如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=AA 1，则 AC1与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为（ ） A 2B 5 C 46D 363.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，求异面直线 BD 与 B1C 的距离。4.四棱椎 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PC为正三角形，平面 PCD 平面 ABCD
7、，E 为 PD 的中点，ACB（1）求证：PB 平面 AEC；（2）求二面角 EACD 的大小.第 7 页 共 10 页5.如图，已知四棱锥 PABCD，底面 为菱形， PA平面 BCD，60ABC， EF， 分别是 ， 的中点（1）证明： ；（2）若 H为 P上的动点， H与平面 PA所成最大角的正切值为 62，求二面角EAFC的余弦值6.如图，ABCD 是边长为 a 的菱形，且BAD=60，PAD 为正三角形，且面 PAD面ABCD （1）求 cos AB， PD的值；（2）若 E 为 AB 的中点，F 为 PD 的中点，求| EF|的值；（3）求二面角 PBCD 的大小PB E CDFA
8、第 8 页 共 10 页7.如图，四棱锥 PABCD中， 底面 ABCD， P 底面 ABCD为梯形，/AB， ，点 E在棱 上，且 2E（1）求证：平面 平面 P；（2）求证： 平面 E；（3） （理）求平面 AC和平面 B所成锐二面角的余弦值8.三棱锥 COAB的底面 是边长为 4的正三角形， CO平面 AB且 2C，设D、 E分别是 、 的中点。 （I）求证： B平面 DE；（II）求二面角的余弦值第 9 页 共 10 页9.如图所示， AF、 DE分别是圆 O、圆 1的直径， AD与两圆所在的平面均垂直，8D.BC是圆 的直径， 6BAC, /E.(I)求二面角 的大小；(II)求直线 与 EF所成的角的余弦值.第 10 页 共 10 页10.如图，已知四棱锥 ，底面 为菱形， 平面 ，PABCDPABCD， 分别是 的中点60ABCEF， ，（）证明： ；（）若 为 上的动点， 与平面 所成最大角的正切值HH为 ，求二面角 的余弦值2 PB E CDFA
