1、有趣的九宫格填数 江苏省泗阳县李口中学 沈正中九宫格填数是幻方中最简单的一种填数形式。如果一个n 2矩阵的每行、每列及两条 对角线的所有数之和都相等，且这些数都是从1到 n2的自然数，这样的方阵就称 为n 阶幻方。有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数问题。九宫格 实质上是幻方中n 3时的三阶幻方。三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书” ，在北周的甄弯注数术记遗 一书中， 记有三阶幻方的填法：九宫内，二四 为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。我国南宋时期杰出的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。他曾将幻方命名为“纵横 图” (三阶幻方也叫 络书或九宫图
2、 ， 并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四 阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无 误。 杨辉在在续古摘奇算法中，总结 出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排（1、 2、3，4、5、6，7、8、9），上下对调（1、9），左右相换（7、 3），四 维挺出（4、2、8、 6）。”意思是：先把l 9九个数依次斜排（如下图一），再把上l 下9两数对调（如下图二），左 7右3两数互换（如下图三），最后把四面的2、 4、6、8向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。1 9 9 4 2 4 2 4 2 4 9 2 7 5 3 7 5 3 3 5 7 3
3、5 7 8 6 8 6 8 6 8 1 6 9 1 1图一 图二 图三 图四三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋转90，又可以得到另外的4种填法。例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫 做中心数，中心数也就是这 9个数的中位数。从 1到9 这9个数的和为：1+2+3+8+9=45；则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为：453=15。在1到9这9个数中，和为15的3个数，只能是：9+5+1、9+4+2、8+6+1、 8+5+2、
4、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每条对角线上3个数只能是其中某个算式中的 3个数。九宫格中，经过中心数的有一行、一列和两条 对角线，即 这个数必须在4个不同的算式中出现，在上面的算式中只有5符合要求。同理， 经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列和一条对角 线，即四个角上的数字必须同时在3个不同的算式中出现，只有2 、4、6、8符合要求。先填好中心数和四个角上数字，再完成其它填空，就完成幻方填写了。幻方不仅是有趣的数学游戏，而且有很重要的实用价值，应用前景也广泛，相关介绍请查阅资料。三阶幻方中数字有趣的排列是有顺序的，如四个偶数在四角，从某个方向看奇偶数的是按大
5、小有序排列的等等；熟记简单三阶幻方的填法口诀，填写三阶幻方的9个数，不论如何变化，只要将它们按大小的顺序排列 编号，均可按口 诀“对号入座”完成填空；幻方中的两个公式：幻和中心数3；幻和总数3，可以在已知幻和的情况下，先求出中心数，或在已知中心数的情况下，先求出幻和。下面举几例来说明九宫格填数。【题1】：将下面左边方格中的9个数填入右边九宫格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和相等。【解析】：把这九个数按从小到大的顺序依次编号，1、2、 3号为“6”，4、5、6号为“8”， 7、8、9号为“10”。按口诀：九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。对号入座，如右图
6、可以填好表格。【题2】：将9个连续自然数填入33的方格内，使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于60。【解析】：由已知条件可知，这个幻方，幻和 为60，中心数为：603=20 。所以这9个连续的自然数为：16、 17、18、19、20、21、22、23、24。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如上图所示。【题3】：下图中，要使每一行，每一列，两条对角线上三个数的和都是27，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 应各是多少？【解析】：由题意可知，幻和为27，中心数 为：273=9，所以C 等于9。填好中心数后，根据幻和，依次求出其它方格里的数：D=27
7、-6-9=12；G=27-5-12=10；A=27-10-9=8 ；B=27-8-5=14；E=27-6-8=13；F=27-9-14=4。【题4】：在下面一个三阶幻方中已填入了一个数，请在其它8个空格内填上适当的数，使得9个方格内是9个 连续自然数。【解析】：由已知条件可知，这个幻方的中心数为12。所以这9个连续的自然数为：8、9、 10、11、12、13、14、15、16。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如左图所示。【题5】：在下面两个图形中的空格内填入不大于15且互不相同的自然数（其中已各填好一个数），使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于30
8、。【解析】：由题意可知，幻和为30，中心数为：303=10。如下图，可以分 别填好两个方格图中的一条对角线。因为中心数是10，经过 中心数每一组另外两个数必须一个大于10，一个小于10，所以两个方格 图中剩下6个数中有3个数大于10且不大于15。题目左图中，大于10的数可能是11、 13、14、15，数字14如果和8同行列，14+8+8=30，8重复出现与题意不符；如果数字14与12同行列，14+12+4=30，而4+10+16=30，必须出现16，与题意不符。所以，左 图中大于10的三个数只能是 11、13、15，剩下的3个数是：9、 7、5，通 过尝试检验、或 “对号入座”可以完成表格，如右图一所示。同理，题目右图中大于10的数可能是11、 12、13、15，数字12如果和6同行列， 12+6+12=30，12重复出现与题意不符；如果数字12与14同行列，12+14+4=30，而4+10+16=30 ，必 须出现16，与题意不符。所以，右图中大于10的三个数只能是11、13、15，剩下的 3个数是：9、 7、5，通过尝试检验、或“ 对号入座”可以完成表格，如上图二所示。
