1、有趣的九宫格填数江苏省泗阳县李口中学 沈正中九宫格填数是幻方中最简单的一种填数形式。如果一个 n2矩阵的每行、每列及两条对角线的所有数之和都相等，且这些数都是从 1 到 n 2的自然数，这样的方阵就称为 n 阶幻方。有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数问题。九宫格实质上是幻方中 n3 时的三阶幻方。三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书” ，在北周的甄弯注数术记遗一书中，记有三阶幻方的填法：九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。我国南宋时期杰出的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。他曾将幻方命名为“纵横图” (三阶幻方也叫络书或九宫图)， 并
2、给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。杨辉在在续古摘奇算法中，总结出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排（1、2、3，4、5、6，7、8、9），上下对调（1、9），左右相换（7、3），四维挺出（4、2、8、6）。”意思是：先把 l9 九个数依次斜排（如下图一），再把上 l 下 9 两数对调（如下图二），左 7 右 3 两数互换（如下图三），最后把四面的 2、4、6、8 向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。1 9 9 4 2 4 2 4 2 4 9 27 5 3 7 5 3 3 5 7 3 5 78
3、6 8 6 8 6 8 1 69 1 1图一 图二 图三 图四三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三列对调，可以得出 4 种填法，将其中的任意一种填法旋转 90，又可以得到另外的 4 种填法。例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。通常我们把幻方中每行 3 个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫做中心数，中心数也就是这 9 个数的中位数。从 1 到 9 这 9 个数的和为：1+2+3+8+9=45；则三阶幻方每行 3 个数字之和即幻和为：453=15。在 1 到9 这 9 个数中，和为 15 的 3 个数，只能是：9+5+1、9+4+
4、2、8+6+1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每条对角线上 3 个数只能是其中某个算式中的 3 个数。九宫格中，经过中心数的有一行、一列和两条对角线，即这个数必须在 4个不同的算式中出现，在上面的算式中只有 5 符合要求。同理，经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列和一条对角线，即四个角上的数字必须同时在 3个不同的算式中出现，只有 2、4、6、8 符合要求。先填好中心数和四个角上数字，再完成其它填空，就完成幻方填写了。幻方不仅是有趣的数学游戏，而且有很重要的实用价值，应用前景也广泛，相关介绍请查阅资料。三阶幻方中数字有趣的排列是有顺序的，如四个偶
5、数在四角，从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等；熟记简单三阶幻方的填法口诀，填写三阶幻方的 9 个数，不论如何变化，只要将它们按大小的顺序排列编号，均可按口诀“对号入座”完成填空；幻方中的两个公式：幻和中心数3；幻和总数3，可以在已知幻和的情况下，先求出中心数，或在已知中心数的情况下，先求出幻和。下面举几例来说明九宫格填数。【题 1】：将下面左边方格中的 9 个数填入右边九宫格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和相等。【解析】：把这九个数按从小到大的顺序依次编号，1、2、3 号为“6”，4、5、6 号为“8”，7、8、9 号为“10”。按口诀：九宫内，二四为肩，六八为足，左
6、七右三，戴九履一，五居中央。对号入座，如右图可以填好表格。【题 2】：将 9 个连续自然数填入 33 的方格内，使每一横行、每一竖行及两条对角线的 3 个数之和都等于 60。【解析】：由已知条件可知，这个幻方，幻和为 60，中心数为：603=20。所以这 9 个连续的自然数为：16、17、18、19、20、21、22、23、24。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如上图所示。【题 3】：下图中，要使每一行，每一列，两条对角线上三个数的和都是27，A，B ，C ，D ，E，F，G 应各是多少？【解析】：由题意可知，幻和为 27，中心数为：273=9，所以 C 等于
7、9。填好中心数后，根据幻和，依次求出其它方格里的数：D=27-6-9=12；G=27-5-12=10；A=27-10-9=8；B=27-8-5=14；E=27-6-8=13；F=27-9-14=4。【题 4】：在下面一个三阶幻方中已填入了一个数，请在其它 8 个空格内填上适当的数，使得 9 个方格内是 9 个连续自然数。【解析】：由已知条件可知，这个幻方的中心数为 12。所以这 9 个连续的自然数为：8、9、10、11、12、13、14、15、16。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如左图所示。【题 5】：在下面两个图形中的空格内填入不大于 15 且互不相同的自然
8、数（其中已各填好一个数），使每一横行、每一竖行及两条对角线的 3 个数之和都等于 30。【解析】：由题意可知，幻和为 30，中心数为：303=10。如下图，可以分别填好两个方格图中的一条对角线。因为中心数是 10，经过中心数每一组另外两个数必须一个大于 10，一个小于 10，所以两个方格图中剩下 6 个数中有 3 个数大于 10 且不大于 15。题目左图中，大于 10 的数可能是 11、13、14、15，数字 14 如果和 8 同行列，14+8+8=30，8 重复出现与题意不符；如果数字 14 与 12 同行列，14+12+4=30，而 4+10+16=30，必须出现 16，与题意不符。所以，左图中大于10 的三个数只能是 11、13、15，剩下的 3 个数是：9、7、5，通过尝试检验、或“对号入座”可以完成表格，如右图一所示。同理，题目右图中大于 10 的数可能是11、12、13、15，数字 12 如果和 6 同行列，12+6+12=30，12 重复出现与题意不符；如果数字12 与 14 同行列，12+14+4=30，而 4+10+16=30，必须出现 16，与题意不符。所以，右图中大于 10 的三个数只能是 11、13、15，剩下的 3 个数是：9、7、5，通过尝试检验、或“对号入座”可以完成表格，如上图二所示。
